云南农业大学经济管理学院 主讲 : 佘迎红

1. 云南农业大学经济管理学院 主讲: 佘迎红 E-mail: sheyinghongkm@yahoo.com.cn Tel: 13888581179

2. 4.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP 4.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 4.3 单纯形法 Simplex Method

3. 4.1 目标规划的数学模型 线性规划的局限性： 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题。而在现实生活中最优只是相对的，或者说没有绝对意义下的最优，只有相对意义下的满意。 1978年诺贝尔经济学奖获得者西蒙(H.A.Simon-美国卡内基-梅隆大学,1916)教授提出“满意行为模型要比最大化行为模型丰富得多”，否定了企业的决策者是“经济人”概念和“最大化”行为准则，提出了“管理人”的概念和“令人满意”的行为准则，对现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究。

4. 4.1 目标规划的数学模型 实际决策中，衡量方案优劣往往要考虑多个目标 • 生产计划决策中，通常要考虑产值、利润、满足市 场需求、降低消耗、提高质量、提高劳动生产率等。 • 生产布局决策中，除了要考虑运输费用、投资、原料供应、产品需求量等经济指标外，还要考虑到污染和其它社会因素等 。 • 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。

5. 4.1 目标规划的数学模型 目标规划是在LP的基础上发展起来的解决多目标规划问题最有效的方法之一。 目标规划由美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏(W.W.Cooper)在1961年出版的《管理模型及线性规划的工业应用》一书中首先提出。 目标规划是在给定的资源条件下，按所规定的若干目标值及实现这些目标的先后顺序，求总的偏差为最小的方案。

6. 4.1目标规划的数学模型 4.1.1 引例 【例4-1】 表 4-1

7. 4.1.1引 例 【解】设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3，则使企业在计划期内总利润最大的线性规划模型为： 最优解 X＝（50，30，10），Z＝3400

8. 4.1.1引 例 现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制定经营目标，其目标的优先顺序是： （1）利润不少于3200元； （2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5； （3）提高产品丙的产量使之达到30件； （4）设备加工能力不足可以加班解决，能不加班最好不加班； （5）受到资金的限制，只能使用现有材料不能再购进。 问企业如何安排生产计划才能到达经营目标。

9. 4.1.1引 例 【解】最优解实质是求下列一组不等式的解 通过计算不等式组无解，即使设备B加班10小时仍然无解。

10. 4.1.1引 例 目标规划是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽可能使得结果达到预定目标，即使不能达到目标也使得离目标的差距最小，这就是目标规划的求解思路，对应的解称为满意解。 • 设d-为未达到目标值的差值，称为负偏差变量。 • d +为超过目标值的差值，称为正偏差变量。

11. 4.1.1引 例 （1）设d1-是未达到利润目标的差值, d1+为超过利润目标的差值 • 当利润小于3200时, d1-＞０且d1＋＝0, 有 40x1+30x2+50x3+d1- =3200成立 • 当利润大于3200时，d1＋＞０且d1- ＝０，有 40x1+30x2+50x3-d1+ =3200成立 • 当利润恰好等于3200时，d1- =０且d1+ =0, 有 40x1+30x2+50x3=3200成立 实际利润只有上述三种情形之一发生，因而可以将三个等式写成一个等式 40x1+30x2+50x3+d1--d1+=3200

12. 4.1.1引 例 利润不少于3200理解为达到或超过3200，即使不能达到也要尽可能接近3200，可以表达成目标函数｛d1-｝取最小值，则有

14. 目标约束（软约束） 系统约束（硬约束） 4.1.1引 例 目标（达成）函数

15. 4.1.1引 例 满意解： 约束分析：

16. 4.1.2数 学 模 型 目标规划数学模型的构成要素： 目标函数：一定是“min”, 不含决策变量，不含“-”号。

17. 4.1.2数 学 模 型 说明 （1）目标规划数学模型的形式有：线性模型、非线性模型、整数模型、交互作用模型等 （2）一个目标中的两个偏差变量di-、 di+至少一个等于零，偏差变量向量的叉积等于零：d-×d＋=0 （3）目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数，求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级，顺序求最小值。

18. 4.1.2数 学 模 型 不同目标的重要程度有两种差别： • 绝对差别: 用优先因子Pj表示，P1》P2》…》Pk, 即Pl对应的目标绝对优先于Pl+1对应的目标。 • 相对差别: 具有同一级别优先因子的多个目标，可根据目标的相对重要程度，分别赋予它们不同的权值，以区别不同的偏差变量在同一优先级内的相对重要程度。

19. 4.1.2数 学 模 型 目标函数的三种基本表达形式 • 要求尽可能恰好达到规定的目标值　 minz=dk++dk- • 希望尽可能不低于目标值（允许超过）　 minz=dk- • 希望尽可能不超过目标值（允许少于）　 minz=dk+

20. 4.1.2数 学 模 型 （4）目标值是按决策者的意愿，事先给定的，因此也称为理想值。 （5）目标约束具有更大的弹性，允许结果与所制定的目标值存在正或负的偏差。 （6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序。

21. 4.1.2数 学 模 型 （7）多目标决策问题。多目标决策研究的范围比较广泛，在决策中，可能同时要求多个目标达到最优。例如，企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能最大，投资风险尽可能最小，属于多目标决策问题。本章的目标规划尽管包含有多个目标，但还是按单个目标求偏差变量的最小值，目标规划只是多目标决策的一种特殊情形。

22. 4.1.2 数 学 模 型 【补充例】 某企业生产A、B两种产品，已知有关数据如下： 决策者拟定下列经营目标，试建立目标规划数学模型。 1级目标：充分利用设备有效台时，不加班； 2级目标：产品A的产量不超过10，产品B的产量不少于4 （权系数按利润的比例确定）； 3级目标：实现利润130千元。

23. 4.1.2数 学 模 型 目标规划的一般模型

24. 4.1.2数 学 模 型 【例4-2】某企业集团计划用1000万元对下属5个企业进行技术改造，各企业单位的投资额已知，考虑2种市场需求变化、现有竞争对手、替代品的威胁等影响收益的4个因素，技术改造完成后预测单位投资收益率(（单位投资获得利润/单位投资额）×100％)如表4-2所示． 集团制定的目标是： （1）希望完成总投资额又不超过预算； （2）总期望收益率达到总投资的30%； （3）投资风险尽可能最小； （4）保证企业5的投资额占20%左右． 集团应如何作出投资决策．

25. 4.1.2 数 学 模 型 表4-2

26. 4.1.2 数 学 模 型 【解】设xj（j=1,2,…,5）为集团对第 j 个企业投资的单位数。 （1）总投资约束： （2）期望收益约束： 整理得

27. （4）企业5占20%的投资的目标函数为 ,约束条件 即 4.1.2数 学 模 型 （3）投资风险约束。这里用离差（rij-E(rj)）近似表示风险值

28. 4.1.2 数 学 模 型

29. 4.1.2数 学 模 型 【例4-3】车间计划生产甲、乙 两种产品，每种产品均需经过A、B、C三道工序加工。工艺资料如表4-3所示。 表4-3 （1）车间如何安排生产计划，使产值和利润都尽可能高 （2）如果认为利润比产值重要，怎样决策

30. 4.1.2数 学 模 型 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的日产量，得到线 性多目标规划模型：

31. 4.1.2数 学 模 型 （1）将模型化为目标规划问题。 产值最大（LP）的最优解：X(1) ＝（20，40），Z1＝3800 利润最大（LP）的最优解：X(2)＝（30，30），Z2＝540 将3800和540分别作为产值和利润的目标值 得到目标规划数学模型：

32. 4.1.2 数 学 模 型 （2）给 d2-赋予一个比d1-的系数大的权系数 ．

33. 补充作业 某单位领导在考虑单位职工的升级调资方案时，依次有以 规定： （1）月工资总额不超过60000元； （2）每级的人数不超过定编规定的人数； （3）现有II、III级中人的升级面尽可能达到现有人数的20%； （4）III级不足编制的人数可录用新职工，又I级职工有10%要退休。 其它资料见下表。 问该单位领导应如何拟订一个满意的方案。

34. 本节学习要点 4.1目标规划的数学模型 本节介绍了如何建立目标规划的数学模型及有关概念 1. 目标规划由哪些要素构成，与线性规划有哪些不同之处 2. 偏差变量的含义及其作用 3. 目标函数的表达方法 4. 优先级别的含义 下一节：目标规划的图解法

35. 4.2目标规划的图解法 对于只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来求解。求解时，首先必须满足所有系统（绝对）约束，在此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个目标约束。

36. 4.2目标规划的图解法 目标规划的图解法的思路 • 首先是在可行域 R 内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； • 然后再在R1 中寻找一个使P2 级各目标均满足的区域R2 ； • 接着再在R2 中寻找一个满足P3 级各目标的区域R3； • 如此继续直到寻找到一个区域Rk 满足Pk 级各目标，而不保证满足其后的各级目标，这时Rk即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。

37. 4.2目标规划的图解法 【例4-4】企业计划生产甲、乙 两种产品，这些产品需要使用两种材料，要在两种不同设备上加工。工艺资料如表4-4所示。 表4-4

38. 4.2目标规划的图解法 企业怎样安排生产计划，尽可能满足下列目标： （1）力求使利润指标不低于80元； （2）考虑到市场需求,甲、乙两种产品的生产量需保持 1:1 的比例； （3）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班； （4）设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少； （5）材料不能超用。

39. 4.2 目标规划的图解法 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量，目标规划数学模型为：

40. x2 (5) 6 (6) (4) (1) B D (2) 4 C (3) 满意解C(3,3) E 2 A 可行域 满意解 X＝(3,3) x1 F o 2 6 4 图4-1

41. 4.2 目标规划的图解法 结果分析： 满意解 X=(3,3) 即满意的生产方案是产品甲、乙各生产3件，此时，材 料Ⅰ消耗9公斤，材料Ⅱ消耗12公斤，均没有超出现有量。 将满意解代人各目标约束，得 （1） 完成利润180元，超过100元； （2） 满足产品比例要求； （3） 设备A的时间恰好用完； （4） 设备B要加班9小时

42. 4.2目标规划的图解法 目标规划的图解法步骤 1. 按照绝对约束画出可行域（满足系统约束和决策变量非负的解的集合）； 2. 不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线，并标出偏差变量变化时的直线平移方向； 3. 按优先级别和权重依次分析各级目标。

43. 满意解是线段 上任意点，端点是B(100/3，80/3)，C(60，0)。 决策者根据实际情形进行二次选择。 例4-5（1） x2 (1) 100 80 (2) (3) 60 (4) A 40 B 20 可行域为第1象限 x1 C 20 40 60 80 100 图4-2

44. 例4-5（3） x2 (1) 100 80 (2) (3) 60 (4) A 40 满意解是点 B，X=(100/3，80/3) B 20 x1 C 20 40 60 80 100 图4-4

45. 例4-5（2） x2 (1) 100 80 E (2) (3) D(80/9,560/9) 注：线段DA是第二目标函数的组合， 点A对应的偏差：d2-=100, d3＋=0 点D对应的偏差： d2-=0, 2d3＋=2×200/9=400/9 60 (4) A(20,40) 40 满意解是点 D，X=(80/9，560/9) 20 x1 F 20 40 60 80 100 图4-3

46. 4.2 目标规划的图解法 结论 目标规划可行解集非空时，一定存在满意解。 目标规划没有系统约束时，一定存在满意解。

47. 本节学习要点 4.2目标规划的图解法 本节介绍了目标规划的图解法 1. 画出系统约束和目标约束直线 2. 标明偏差变量大于零的变量X的取值区域 3. 按优先次序分别求各目标的最小值 4. 仔细体会例4-5（2）的计算要领 下一节：单纯形法

48. 4.3 单 纯 形 法 单纯形法求解目标规划可参照第1章的步骤，只是目标规划的检验要按优先级顺序逐级进行，不同的是： （1）首先使得检验数中P1的系数非负，再使得P2的系数非负，依次进行； （2）（最优解判别准则）当P1、P2、…、Pk对应的系数全部非负时得到满意解； （3）如果P1，…，Pi行系数非负，而Pi+1行存在负数，并且负数所在列上面P1，…，Pi行中存在正数时，得到满意解，计算结束。

49. 4.3 单 纯 形 法 【例4-6】用单纯形法求解下述目标规划问题 【解】以d1-、d2-、d3-为基变量，求出检验数，将检验数中优先因子分离出来，每一优先级做一行，列出初始单纯形表4-5。

50. 4.3 单 纯 形 法 表4-5 []