第一章 晶体结构

1. 第一章 晶体结构

2. 本章内容 • 晶体的宏观特性 • 晶体的微观结构 • 晶格的基本类型 • 典型的晶体结构 • 晶体的对称性 • 晶向指数和晶面指数 • 倒格子的基本概念

3. §1.1 晶体的宏观特性

4. §1.1 晶体的宏观特性 • 晶体外形的自限性 α-石英晶体（水晶） 方解石

5. §1.1 晶体的宏观特性 • 晶体的特定面夹角不变（Steno晶面角守恒定律） 同一品种的晶体，不论其外形如何，两个相应晶面之间的夹角保持不变。 α-石英晶体

6. §1.1 晶体的宏观特性 • 各向异性 • 折射率的方向性 • 解 理 性 • 云母的片状特征 • 周期性：原子有规则地、周期性地重复排列 • 长程有序 • 对称性：晶体经过某种动作后能自身重合的性质

7. §1.1 晶体的宏观特性 • 基元的提出 • 1784年， Haüy提出了原胞学说 • 现象：方解石晶体（CaCO3）碎裂成片，虽大小不同，却具同一形状； • 假设：全部晶体都是相同的碎片或砌块构成的； • 推理：一些坚实的、相同的、平行六面形的小“基石”（基元）有规则地重复堆集而成； • 应用：解释了Steno晶面角守恒定律。 • 现在把这种砌块(最小组成单元)称为单元晶胞（原胞），构成微观结构的基础。 • ENDof Section 1

8. §1.1 晶体的宏观特性 • 晶体的生长 螺旋生长模式 平面生长模式

9. §1.2 晶体的微观结构

10. §1.2 晶体的微观结构 • 基元 • 组成晶体的最小物质结构单元； • “基元”抽象成“点”↔晶体抽象成空间点阵。 • 空间点阵 • 基元的构成方式 • 布喇菲(A．Bravais) 空间点阵学说---Bravais格子 1.2.1 空间点阵与基元 化合物AB的晶体结构

11. §1.2 晶体的微观结构 晶体结构 基元 空间点阵 晶体结构＝基元＋空间点阵

12. 把空间点阵用三组不共面的平行线连起来，形成的空间网格,称为Bravais格子。把空间点阵用三组不共面的平行线连起来，形成的空间网格,称为Bravais格子。 网格的交点称为阵点，也称为格点。 Bravais格子(布拉菲格子) ＝ 空间点阵 §1.2 晶体的微观结构 说 明 • 基元 • A、B通常代表不同的原子； • A、B也可以是相同的原子，但周围“环境”不同。 • 单原子晶体：所有原子的种类相同，环境相同。 • 每个格点表示一个基元： • 格点可选在基元的任意位置，但每个格点在基元中的“环境”相同； • 格点代表基元，不受原子数目的限制。

13. a3 a2 a1 §1.2 晶体的微观结构 • 1.2.2 初基原胞与基矢 • 初基原胞—物理学原胞，单胞 • Bravais格子中的最小重复区域； • 每个初级原胞只包含一个格点； • 初基原胞反映了晶格的周期性。 • 基矢 • 任取一个Bravais格子的格点为原点，以初级原胞的三个棱边为矢量a1、a2、a3 ，称之为基矢; • 基矢a1、a2、a3的模分别为该方向的最小周期长度。

14. §1.2 晶体的微观结构 • 基矢选定之后，Bravais格子中的任一格点的位置矢量Rn Rn= n1a1+ n2a2+ n3a3 • n1，n2，n3：整数 • a1，a2，a3：基矢 Rn称为格矢，是Bravais格子的数学表示。 例： Rs= 4a1+2a2 2 3 Rs a2 1 4 a1 说明： • 初基原胞内仅含一个格点； • 基矢的选法并不唯一确定

15. c b a §1.2 晶体的微观结构 1.2.3 惯用原胞和轴矢 • 惯用原胞—晶体学原胞，晶胞 • 体积是初基原胞的几倍，能明显地反映晶格的周期性，又能明显地反映晶格的对称性。 • 轴矢 • 惯用原胞的三个不共面的棱边，分别用a、b、c表示。

16. §1.2 晶体的微观结构 1.2.3 威格纳-赛兹(Wigner-Seitz)原胞---对称原胞 作法： • 任选一格点为原点； • 将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢； • 作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。 二维斜格子的Wigner-Seitz原胞 体心立方格子的Wigner-Seitz原胞 即是最小的重复单元，又能显示点阵的对称性

17. §1.2 晶体的微观结构 • 引入W-S原胞的原因 • 优点： • W-S原胞本身保持了Bravais格子的对称性； • W-S原胞的取法要用于固体物理的后续章节(晶格振动、能带、电子运动论等)。 • 缺点： • W-S原胞的体积等参数的计算不方便； • 平移对称性不直观。 • ENDof Section 2

18. §1.3 格子的基本类型

19. (b) 六方晶格(a1=a2，φ=120) (d) 有心长方晶格(a1a2，φ=90) §1.3 格子的基本类型 1.3.1 二维Bravais格子 a2 a2 φ φ a1 a1 (a) 正方晶格(a1=a2，φ=90) a2 a2 φ a1 φ a1 (c) 长方晶格(a1a2，φ=90)

20. §1.3 格子的基本类型 • 1.3.2 三维Bravais格子 • 一般情况下，三维Bravais晶格原胞的基矢大小不等，其基矢之间的夹角也不等于特定的角度（60  、90  和120 等） • 称之为三斜晶格 • 在某些情况下，三维Bravais晶格惯用原胞轴矢的大小和夹角满足特定的约束条件 • 按惯用原胞将晶格分为七种晶系 • 立方、四方、正交、单斜、三斜和三方、六方

21. §1.3 格子的基本类型 • 立方晶系 c c b b a a (a)简单立方晶格 (a)体心立方晶格 (a)面心立方晶格 共同特征 a=b=c， = = = 90

22. c b a §1.3 格子的基本类型 • 初基原胞和惯用原胞 • 简单立方 • 只含有一个原子（格点） • 81/8=1 • 初基原胞=惯用原胞

23. §1.3 格子的基本类型 • 初基原胞和惯用原胞 • 面心立方晶格 • 惯用原胞中含有4个格点 • 81/8+6 1/2=4 • 惯用原胞不同于初基原胞 • 初基原胞的取法 • 初基原胞只含有一个格点， • 初基体积是惯用原胞的四分之一 面心立方晶格 惯用原胞和初基原胞

24. §1.3 格子的基本类型 • 初基原胞和惯用原胞 • 体心立方晶格 • 惯用原胞中含有2个格点 • 81/8+1=2 • 惯用原胞不同于初基原胞 • 初基原胞的取法 • 初基原胞只含有一个格点， • 初基原胞体积是惯用原胞的四分之一 • 体心立方晶格的惯用原胞也不是初基原胞 c b a

25. §1.3 格子的基本类型

26. §1.3 格子的基本类型 • 晶系和Bravais格子

27. §1.3 格子的基本类型

28. §1.3 格子的基本类型 • 晶系和Bravais格子 • Simple lattice: P • Primitive • Face-centered lattice: F • Body-centered: I • Interstitial • Base-centered: C • C-plane

29. §1.3 格子的基本类型 • 总结 • 晶体共分为七种晶系 • 立方、四方、正交、单斜、三斜 • 三角、六角 • 七种晶系共有14种Bravais格子 • 立方：简单，体心， 面心 • 四方：简单，体心 • 正交：简单，体心，底心，面心 • 单斜：简单，底心 • 三斜：简单 • 三角：简单 • 六角：简单

30. §1.3 格子的基本类型 • 1.3.3 晶系 晶体结构 的演变 • ENDof Section 3

31. §1.4 典型的晶体结构

32. §1.4 典型的晶体结构 • 原子的堆积 • 很多晶体的原子规则排列的形式是不同的，因此，它们具有不同的晶体结构。 • 有些晶体具有相同的原子规则排列的形式，只是原子间距不同，称它们具有相同的晶体结构。

33. §1.4 典型的晶体结构 • 原子的堆积 二 维 三维 简单立方 • Po 体心立方 • Li，K，γ-Fe 面心立方ABC • Be，Mg，Cu 六方密堆结构AB • Ti，Zn，Os

34. §1.4 典型的晶体结构 • 描述晶格原子堆积与排列的参数 • 原子半径 r • 原胞中相距最近的两个原子之间距离的一半。 • 原子与晶格常数a有一定的关系 • 配位数(Coordination Number, CN) • 晶体中任一原子最近邻的原子数目 • 反映了原子排列的紧密程度 • 致密度  • 空间利用率 • 晶体中原子所占总体积与晶体总体积之比 • 描述晶体中原子排列紧密程度

35. §1.4 典型的晶体结构 • 常见晶体结构的一些参数

36. §1.4 典型的晶体结构 • NaCl结构 • 所属Bravais格子为面心立方结构 • 每个惯用原胞中含有4个NaCl分子 • 每个原子周围被6个异号原子包围（CN=6） • 具有相同结构的化合物 • LiF，KCl，AgCl，MgO，SrO等

37. §1.4 典型的晶体结构 • CsCl结构 • 所属Bravais格子为简单立方格子 • 每个离子周围为8个异号离子（CN=8） • 一些常见的CsCl结构的化合物 • TiCl，CsBr，CsI

38. A(0, 1) §1.4 典型的晶体结构 B(3/4) • 金刚石结构 • 由两种不同环境的碳原子组成，组成[CC4]四面体 • 每种碳原子构成面心立方格子 • 每个碳周围有四个碳原子（CN=4） • 具有金刚石的物质 • Si，Ge，Sn A A(1/2) B B(1/4) y x

39. §1.4 典型的晶体结构 • 闪锌矿结构和铅锌矿结构 • 闪锌矿(-ZnS) • 属于面心立方Bravais格子 • 每个Zn周围有4个氧离子，构成[ZnO4]四面体 • 每个氧原子为二个四面体共有 • 纤锌矿(-ZnS) • 属于六方Bravais格子 • 每个[ZnO4]中的Zn不在四面体的中心 • 一些具有ZnS结构的化合物 • II-VI族化合物 • ZnO，CdS，ZnSe • III-V族化合物 • BN，GaAs，InP

40. §1.4 典型的晶体结构 • 方解石结构 • 分子式ABO3 • Ca原子 • 构成面心立方结构 • CO3原子团 • 构成面心立方结构 • Ca和CO3分别形成6配位结构，与NaCl结构相同 方解石晶体结构 方解石晶格结构

41. O §1.4 典型的晶体结构 • 钙钛矿结构 • 分子通式ABO3 • 属于简单立方Bravais格子 • 原子的位置 • A原子位于8个顶点位置； • B原子位于体心位置； • O原子位于6个面心位置。 • 原子的组合 • B原子与O原子构成[BO6]八面体； • A原子填充于[BO6]之间的空隙，与O原子形成十四面体。 • 许多重要的晶体具有钙钛矿 • BaTiO3，PbTiO3，MgSiO3 • 部分晶体结构包含有钙钛矿结构层 • YBa2Cu3O7，SrBi2Ta2O9 ENDof Section 4

42. §1.5 对称性

43. §1.5 对称性 • 对称性 • 经过一种对称操作后物体能自身重合的性质。 • 对称操作 • 对物体进行的能使之复原的动作； • （右图）绕面心连线进行的特定角度的转动，晶体能够复原； • 该转动是对晶体进行的一个对称操作 • 对称元素 • 对称操作所凭借的几何元素 • （右图）立方体面心的连线是进行旋转所凭借的转动轴； • 该连线是该晶体的一个旋转轴，是晶体的一个对称元素。 以立方体面心连线为轴，旋转90 (2/4)，晶体自身重合

44. §1.5 对称性 • 晶体操作 • 宏观对称性 • 点操作(晶体中至少一点保持不动) • 旋转、反演、镜象等 • 微观对称性 • 由旋转+平移操作构成 • 平移操作 • 周期平移 T • 分数周期平移 T/n

45. §1.5 对称性

46. §1.5 对称性 1.5.1 宏观对称性(续) 立方体有六个2次旋转轴。 立方体有三个4次旋转轴。 立方体有四个3次旋转轴。 立方体结构具有三个4次，四个3次和六个2次旋转轴

47. §1.5 对称性 • 1.5.1 宏观对称性(续) • 中心反演对称性 • 晶体存在的一个固定点，以该点为坐标原点O，将晶体中任一点的位矢r变为-r后，晶体能自身重合。 • 该操作称中心反演操作，记作i； • 该固定点称反演中心。 反演中心 i

48. §1.5 对称性 • 1.5.1 宏观对称性(续) • 镜像操作 • 晶体通过其中的一个平面 m作镜面反映后，晶体能自身重合。 • 该操作称镜像操作或反映； • 该平面称反映面或镜面，记作m或 镜面m • 说明：中心对称和镜像都不可能单纯地通过旋转获得的。

49. n 1 2 3 4 6 n n §1.5 对称性 • 1.5.1 宏观对称性 • 旋转反演对称操作 • 晶体绕某固定轴旋转旋转=2/n后，再通过某点O作中心反演晶体能自身重合。 • 该操作称旋转反演操作或象转操作； • 该固定轴称为n次(度)旋转反演轴或象转轴，记作 • 注：受平移周期性限制，只能有n=1，2，3，4，和6次旋转反演轴，记作 ， ， ， 和 具有 对称性的晶体不一定同时具有 i 和 n 的对称。 不都是独立的对称操作。

50. 180 1 I II 1 3包含 3+i 6包含 6+i 1= i 2=m 1 2 §1.5 对称性 • 独立的旋转反演轴 4次旋转反演轴 3次旋转反演轴 2次旋转反演轴 4 不包含i和4 为独立操作 同理有：