Модель Риккера

1. Модель Риккера Качественный анализ

2. Основное уравнение (1) • = const, K = const > 0 • Параметр  характеризует воспроизводительную способность вида в отсутствии лимитирования; • параметр K характеризует емкость среды.

3. Существование и устойчивость положений равновесия Количество положений равновесия и характер их устойчивости зависит только от параметра .

4. Переход к безразмерной переменной С помощью замены уравнение (1) приводится к виду: (2) При 0 динамическая система (2) система имеет два положения равновесия X1*= 0 и X2*=1.

5. Динамика решений при  < 0 При любом начальном значении N0 < K наблюдается стабилизация на равновесном уровне N1*=0.

6. Динамика решений при  = 0 Любому начальному значению N0соответствует стационарное решение. Положения равновесия устойчивы, но не асимптотически.

7. Динамика решений при 0 <  < 1 При любом начальном значении N00 наблюдается стабилизация на равновесном уровне N2*=K (монотонное затухание отклонений).

8. Динамика решений при 1 <  < 2 При любом начальном значении N00наблюдается стабилизация на равновесном уровне N2*=K (затухающие колебания).

9. Динамика решений при  =2

10. Динамика решений при  = 2,2

11. Динамика решений при  = 2,6

12. Отличительной чертой скалярных динамических систем вида Nt+1=F(Nt)является возможность их простого итерирования при задании некоторого начального условия N0. Однако даже такое простое итерирование может оказаться чрезвычайно полезным. Один из создателей современной биоматематики, теоретический биолог Роберт Мэй еще в 1976 году писал: «Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами.»

13. Существование и устойчивость цикла длины 2 Цикл длины 2: (K(1-x0), K(1+x0)), x0 – положительный корень уравнения (3) Уравнение (3) имеет корни x0и –x0, если  > 2. Цикл является притягивающим, если (4) Условие (4) равносильно условию где

14. (x) 3 f(x) 1 X* - X* -1 0 1 Область устойчивости цикла длины 2