MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM By : IRA KURNIAWATI, S.Si, M.Pd

Standarkompetensi • Memahamidandapatmembuktikanteorema/rumusdengancarainduksimatematika • Menerapkanteorema binomial padapenjabaranbentukperpangkatan(a+b)n

MATHEMATICS INDUCTION • Salahsatumetodepembuktian yang absahdalammatematika. • Banyakdigunakanuntukmembuktikankebenaranteorema-teorema yang berlakuuntuksemuabilanganbulatataulebihkhususuntuksetiapbilanganasli.

InduksiMatematika • merupakanteknikpembuktian yang sangatpenting • dipergunakansecaraluasuntukmembuktikanpernyataan yang berkaitandenganobyekdiskrit.(kompleksitasalgoritma, teoremamengenaigraf, identitasdanketidaksamaan yang melibatkanbilanganbulat, dsb). • tidakdapatdigunakanuntukmenemukanrumusatauteorema, tetapihanyauntukmelakukanpembuktian.

InduksiMatematika Teknikuntukmembuktikanproposisidalambentukn P(n), dengansemestapembicaraanadalahhimpunanbilanganbulatpositif. Suatubuktidenganmenggunakaninduksimatematikabahwa “P(n) benaruntuksetiap n bilanganbulatpositif “ terdiridaritigalangkah: • Langkah basis: Tunjukkanbahwa P(1) benar. • Langkahinduktif: Diasumsikanbahwa P(k) benar, makadapatditunjukkanbahwa P(k + 1) benaruntuksetiap k. P(k) untuksuatu k tertentudisebuthipotesainduksi. • Konklusi:n maka P(n) bernilaibenar.

Langkah-langkahpembuktiandenganinduksimatematikadalahsebagaiberikut:Langkah-langkahpembuktiandenganinduksimatematikadalahsebagaiberikut: • Misalkan p(n) adalahsuatuproporsi / pernyataan yang akandibuktikankebenarannyauntuksetiapbilanganasli. • Langkah (1) : ditunjukkanbahwa p(1) benar. • Langkah (2) : diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganasli k danditunjukkanbahwa p(k+1) benar.

Apabilalangkah (1) danlangkah (2) telahdilakukandenganbenar, makadapatdisimpulkanbahwa p(n) benaruntuksetiapbilanganasli n. • Langkah (1) seringdisebut basis (dasar) untukinduksi, • sedangkanlangkah (2) disebutlangkahinduktif.

Contoh 1 • Denganmenggunakaninduksimatematikabuktikanbahwa 1+2+3+…+n= n(n+1) untuksetiapbilanganaslin Bukti : Misalkan p(n) menyatakan 1+2+3+…+n= n(n+1)

p(1) adalah 1 = . 1. (2) yaitu1 = 1, • jelasbenar • Diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganaslik, yaitu 1+2+3+… +k = k(k+1) benar Selanjutnyaharusditunjukkanbahwa p(k+1) benar, yaitu : 1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2)

Hal iniditunjukkansebagaiberikut : 1+2+3+… +k + (k+1) = (1+2+3+…+k) +(k+1) = k(k+1)+(k+1) = (k+1) ( k+1) = (k+1) (k+2) Jadi 1+2+3+… +k + (k+1) = (k+1) (k+2) berarti p(k+1) benar. Sehingga p(n) benaruntuksetiapbilanganaslin

Contoh 2 : Tunjukkanbahwa n < 2nuntuksetiapbilanganbulatpositif n. Solusi: Misalkan P(n): proposisi “n < 2n.” • Langkah basis: P(1) benar, karena 1 < 21 = 2.

Langkahinduktif: Asumsikanbahwa P(k) benaruntuksemuak bilbulatpositif, yaitu k < 2k. Kita perlumenunjukkanbahwa P(k + 1) benar, yaitu k + 1 < 2k+1 Kita mulaidari k < 2k k + 1 < 2k + 1  2k + 2k = 2k+1 Jadi, jikak < 2kmaka k + 1 < 2k+1 P(k+1) benar • Konklusi: • Jadi, n < 2nbenaruntuksetiap n bilanganbulatpositif. • Akhirdaribukti.

Basis induksitidakmestidiambil n=1, tetapidiambilsesuaidenganpermasalahan yang dihadapiataupernyataan yang ingindibuktikan.

Misalkanakandibuktikanbahwa p(n) berlakuuntuksetiapbilanganasli n ≥ t. Makalangkah-langkahpembuktiannnyadenganinduksimatematiksebagaiberikut. • Langkah (1) : ditunjukkanbahwa p(t) benar • Langkah (2) : diasumsikanbahwa p(k) benaruntuksuatubilanganasli k ≥ t, danditunjukkanbahwa p(k+1) benar.

Teorema Binomial • Kombinasi r objek yang diambildari n objekdiimbalkandengan C(n,r) ataudandirumuskansebagai:

Contoh Misalkanterdapat 5 objek, yaitua,b,c,d, dan e. apabiladari 5 objektersebutdiambil 3 objek, makabanyaknyacarapengambilan 3 objektersebutadalah

Sifat-sifatKoefisien Binomial

BUKTI SEBAGAI LATIHAN !!!

THANK YOU

MATHEMATICS INDUCTION AND BINOM THEOREM