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第28课时直角三角形与勾股定理 复习指南 ［学生用书P24］ 本课时复习主要解决下列问题. 1.直角三角形的有关概念,性质与判定

第28课时直角三角形与勾股定理 复习指南 ［学生用书P24］ 本课时复习主要解决下列问题. 1.直角三角形的有关概念,性质与判定 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集训］中的第1,2，3，6题. 2.勾股定理与逆定理，运用勾股定理进行计算 此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了［归类探究］中的例2(包括预测变形1~6)；［限时集训］中的第4,5，8，10，11，13，14题. 3.运用勾股定理解决实际问题 此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第7，9，12题. 考点管理 ［学生用书P24］

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第28课时直角三角形与勾股定理 复习指南 ［学生用书P24］ 本课时复习主要解决下列问题. 1.直角三角形的有关概念,性质与判定

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  1. 第28课时直角三角形与勾股定理 复习指南［学生用书P24］ 本课时复习主要解决下列问题. 1.直角三角形的有关概念,性质与判定 此内容为本课时的重点.为此设计了［归类探究］中的例1；［限时集训］中的第1,2，3，6题. 2.勾股定理与逆定理，运用勾股定理进行计算 此内容为本课时的重点，又是难点.为此设计了［归类探究］中的例2(包括预测变形1~6)；［限时集训］中的第4,5，8，10，11，13，14题. 3.运用勾股定理解决实际问题 此内容为本课时的难点.为此设计了［归类探究］中的例3；［限时集训］中的第7，9，12题.

  2. 考点管理［学生用书P24］ 1.直角三角形的概念 定义：有一个角是直角的三角形叫做，其中夹直角的两边 叫做直角边，另一条边叫做斜边. 2.直角三角形的性质 性质：（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一 半； （2）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°； （3）直角三角形中，斜边上的中线等于. 重要结论：（1），其中a，b为两直角边，c为斜边，h 为斜边上的高； （2）Rt△ABC的内切圆半径，外接圆半径 R==斜边的一半. 直角三角形 斜边的一半

  3. 3.直角三角形的判定 判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形； （2）一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形. 4.勾股定理及逆定理 定理:如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么. 定理变式： 逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理可作判定三角形是直角三角形的判定方 法.（2）勾股定理与逆定理的联系与区别在于： ①联系：两者都与三角形的三边有关且都包含等式； ②区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”作为条件到，而其逆定理是以“一个三角形的三边a，b，c满足”作为条件得到这个三角形是直角三角形，可见二者的条件和结论正好相反.

  4. 类型之一直角三角形的性质的运用 在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或直线AC上找到点P，使△PAB是等腰三角形，满足条件的点P的个数为. 【解析】在直线AC上可作4个，在直线BC上可作2个，共6个，填6. 【点悟】解决此题值得注意的是在BC上有以AB为底或为腰的三角形是等边三角形，即P点重合，不能多计. 类型之二勾股定理的有关计算 ［2011·预测题］如图28-1，正方形A的面积是，正方形B的面积是. 【解析】A=36+64=100，B=289-64=225. 预测理由勾股定理既体现数形结合思想， 又在日常生活中应用广泛， 各地中考中分值有增无减，并且题型愈来愈新.

  5. ［预测变形1］如图28-2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）［预测变形1］如图28-2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（） A.13B.26 C.47D.94 【解析】E的面积=A的面积+B的面积+C的面积+D的面积=47,选C. ［预测变形２］［2010·乐山］勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图28-3是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1． C

  6. 请解答下列问题： （1）S1＝ ； （2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则 ． 【解析】（1） (2) …，

  7. ［预测变形３］如图28-4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于2π.［预测变形３］如图28-4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于2π. 【解析】由勾股定理可证明S1+S2=π· =π. ［预测变形４］如图28-5，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一直线上，则（用含有a，b的代数式表示）． 【解析】 先证明△BCN≌△ENH, 得EH=BN，再根据勾股定理 ,得.

  8. ［预测变形５］［2010·丹东］已知△ABC是直角边边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，……如图28-6，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．［预测变形５］［2010·丹东］已知△ABC是直角边边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，……如图28-6，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是． 【解析】斜边依次为,，，…，，∴第n个等腰直角三角形的斜边长为.

  9. ［预测变形6］已知如图28-7，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为.［预测变形6］已知如图28-7，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为. 【解析】由勾股定理知 ,,∴S阴影=2×=.

  10. 类型之三利用勾股定理解决生活实际问题 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 【解析】分情况讨论，再利用勾股定理进行计算. 解：设在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6，由勾股定理有AB=10,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种情况. （1）如图①,当AB=AD=10时,可求得CD=CB=6，得△ABD的周长为32 m. （2）如图②，当AB=BD=10时，可求得CD=4，由勾股定理得AD=45，得△ABD的周长为（20+45）m. （3）如图③，当AB为底时，设AD=BD=x,则CD=x-6,由勾股定理得：x=253，得△ABD的周长为803 m.

  11. 【点悟】 （1）当符合条件的图形不只一个时，要分类讨论. （2）勾股定理是解决直角三角形中的边的问题的一个重要方法,要慎用.

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