第八节 曲线积分

1. 第八节 曲线积分 一、对弧长的曲线积分 总假定：曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线，且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成）。 例如，圆周、抛物线都是光滑曲线；四边形的周线是分段光滑曲线。 显然，光滑曲线或分段光滑曲线都是可求长的。 1. 对弧长的曲线积分的概念和性质

2. 曲线的质量 设在xOy面上有一条质量不均匀的物质曲线段L 。假定在其上各点的质量线密度 在L上是连续的。求曲线段L的质量m y B=Mn L （1）分割：在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1),… ,Mn(xn,yn)=B,把L分成n个小弧段。其 中第i个小弧段Mi-1Mi的长度记为 Mi Mi-1 M2 M1 A=M0 ( O x ( （2）近似:在Mi-1Mi 上任取一点 ，则

3. （3）求和： （4）取极限： （ 为最长的小弧段的长度）

4. 定义 设L为xOy面上的一条光滑曲线弧段，函数f(x ,y)在L上有界，用L上的点A=M0, M1, … , Mi-1,Mi,…,Mn-1, Mn=B将L分成n个小弧 段Mi-1Mi (i= 1,2,…,n)，设第i个小弧段的长度为 ，记 （即 为n个小弧段的最大长度），点 为第i个小弧段 上的任意一点，如果极限 存在，则称这个极限值为函数f(x ,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分，记作 ( 其中L称为积分曲线，f(x ,y)称为被积函数，ds称为曲线弧长元素

5. 可以证明：当函数f(x ,y)在光滑曲线弧L上 连续时， 总存在。 以后总假定：f(x ,y)在L上连续。 回顾：曲线的质量 对弧长的曲线积分的性质： 性质1 若改变L的方向，则对弧长的曲线积分值不变。即 （L-表示与L相反指向的同一曲线弧） 性质2 （其中L1+L2=L）

6. 若L为封闭曲线弧（两端点A与B重合），则记 2. 对弧长的曲线积分的计算方法 指出（证明从略）：弧长元素 （微小切线段的长度） （1）L: （参数方程）,则 （2）L: y=y(x) （普通方程），则

7. （3）L: x=x(y) （普通方程），则 例1 计算 ，其中L为圆x2+y2=a2在 第一象限内的圆弧。 y B(1,2) 2 例2 计算 ，其中L 是由y2=4x，直线x=1及x轴所围的闭曲线（如图）。 1 A 1 x O

8. 完全类似地，可定义三元函数f(x ,y,z)在空间曲线弧 上的对弧长的曲线积分为 注意到 的参数方程为 故 不举例了。

9. 二、对坐标的曲线积分 1. 对坐标的曲线积分的概念和性质 变力沿曲线作功 设有一质点位于平面力场 B=Mn y Mi L Mi-1 M2 M1 中,求质点沿光滑曲线弧L从A到B处,力场 所作的功W A=M0 （1）分割：在L上插入分点A=M0(x0,y0), M1(x1,y1), O x … ,Mn(xn,yn)=B,将L分成n个小弧段 （ （2）近似：在Mi-1Mi 上任取一点 ,则

10. （3）求和： （4）取极限：

11. 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x ,y),Q(x ,y)在L上有界，用L上的点A= 存在，则称这个极限值为函数P(x ,y)在有向曲线弧L 上对坐标x的曲线积分，记作 . 类似地,若极限 存在，则称这个极限值为函数Q(x ,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记为 M0(x0,y0),M1(x1,y1), … , Mn(xn,yn) =B, 将L分成 ( n个有向小弧段Mi-1Mi (i=1,2,… ,n).设 ( 在Mi-1Mi上任取一点 。如果极限

12. 即 称P(x ,y), Q(x ,y)为被积函数，L为积分弧段。 可以证明：当P(x ,y), Q(x ,y)在L上连续时， 与 均存在。 （总假定：P, Q在L上连续） 应用上常用组合积分

13. 或写为向量形式： （其中 ） 回顾：功 对坐标的曲线积分的性质： 性质1 （L-与L反向） 性质2 (L=L1+L2) 封闭曲线积分记号：

14. 布置作业： P238: 1. 2. 3. 4.