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第二章 矩陣

第二章 矩陣. 2.1 矩陣運算 2.2 矩陣運算特性 2.3 反矩陣 2.4 基本矩陣 2.5 矩陣運算的應用. Elementary Linear Algebra 投影片設計編製者

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第二章 矩陣

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Presentation Transcript

  1. 第二章矩陣 2.1 矩陣運算 2.2 矩陣運算特性 2.3 反矩陣 2.4 基本矩陣 2.5 矩陣運算的應用 Elementary Linear Algebra 投影片設計編製者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

  2. 第(i,j)個元素: 2.1 矩陣運算 矩陣 (Matrix) 列: m 行: n 大小: m×n 線性代數: 2.1節 p.58

  3. 第i個列向量 (row vector) 列矩陣 (row matrix) 第j個行向量 (column vector) 行矩陣 (column matrix) 方陣: m=n 線性代數: 2.1節p.59

  4. 對角矩陣 (diagonal matrix) 跡數 (trace) 線性代數: 2.1節 補充

  5. 範例： 線性代數: 2.1節補充

  6. 相等(equal)矩陣 A和 B的大小必須相同 範例 1：相等矩陣 線性代數: 2.1節 p.58

  7. 矩陣相加 (matrix addition) A和 B的大小必須相同 範例 2：矩陣相加 線性代數: 2.1節 pp.59-60

  8. 純量積 (scalar multiplication) 矩陣相減 (matrix subtraction) 範例 3：純量積與矩陣相減 與 求 (a) 3A, (b) -B, (c) 3A-B。 線性代數: 2.1節 p.60

  9. 解: (a) (b) (c) 線性代數: 2.1節 p.61

  10. 矩陣乘法 南部銷售額 = 線性代數: 2.1節p.61

  11. 北部銷售額 = 西部銷售額 =

  12. 第一季 第二季 第三季 第四季 第一季 第二季 第三季 第四季

  13. 矩陣相乘 (matrix multiplication) 相等 AB的大小 其中 線性代數: 2.1節 p.62&p64

  14. 範例 4：求解下列兩矩陣的乘積 與 解: 線性代數: 2.1節 pp.62-63

  15. 範例 1 2 3 4 線性代數: 2.1節 補充

  16. 範例 1 2 矩陣乘法不滿足交換律 線性代數: 2.1節 補充

  17. 線性方程式系統之矩陣形式 = = = x A b 線性代數: 2.1節 p.66

  18. 子矩陣 分割矩陣 (partitioned matrices) 線性代數: 2.1節 補充

  19. 矩陣A之行向量的線性組合 (linear combination) (A之行向量的線性組合) 線性代數: 2.1節

  20. 摘要與複習 (2.1節之關鍵詞) • row vector: 列向量 • column vector: 行向量 • diagonal matrix: 對角矩陣 • trace: 跡數 • equality of matrices: 相等矩陣 • matrix addition: 矩陣相加 • scalar multiplication: 純量積 • matrix multiplication: 矩陣相乘 • partitionedmatrix: 分割矩陣

  21. 2.2 矩陣運算的性質 • 三種矩陣基本運算: (1) 矩陣相加 (2) 純量積 (3) 矩陣相乘 零矩陣 (zero matrix)： n階單位矩陣 (identity matrix of order n)： 線性代數: 2.1節pp.75-81

  22. 矩陣相加與純量積的性質 則(1) A+B = B + A (2) A + ( B + C )=( A + B ) + C (3) ( cd ) A = c ( dA ) (4) 1A = A (5) c( A+B ) = cA + cB (6) ( c+d ) A =cA + dA 線性代數: 2.1節 p.75

  23. 零矩陣的性質 注意： • 0m×n: 所有m×n矩陣的加法單位矩陣 • -A: 矩陣A的加法反元素(additive inverse) 線性代數: 2.1節 p.77

  24. (1) A(BC) = (AB)C (2) A(B+C) = AB + AC (3) (A+B)C = AC + BC (4) c (AB) = (cA) B = A (cB) 矩陣相乘的性質 單位矩陣的性質 線性代數: 2.1節 p.78&p81

  25. 矩陣乘冪

  26. 矩陣的轉置 (transpose) 線性代數: 2.1節 p.83

  27. 範例:求下列每一個矩陣的轉置 (a) (b) (c) (a) 解: (b) (c) 線性代數: 2.1節 pp.83-84

  28. 轉置矩陣的性質 線性代數: 2.1節 p.84

  29. 對稱矩陣 (symmetric matrix) 若 A = AT ，則方陣 A 被稱為對稱矩陣 範例: 為對稱矩陣，則 a, b, c為何? 解: 線性代數: 2.1節

  30. 反對稱矩陣 (skew-symmetric matrix) 若 AT = -A，則方陣 A 被稱為反對稱矩陣 範例: 為反對稱矩陣，則 a, b, c為何? 解: 線性代數: 2.1節 p.86

  31. 注意: 是對稱矩陣 證明:

  32. 實數 ab = ba 乘法交換律 矩陣 (矩陣大小不同) 線性代數: 2.1節補充

  33. 範例 4：無交換性的矩陣相乘 對下列的矩陣證明 AB 和 BA 不相等 與 解: 注意: 線性代數: 2.1節 pp.79-80

  34. 摘要與複習 (2.2節之關鍵詞) • zero matrix: 零矩陣 • identity matrix: 單位矩陣 • transpose matrix: 轉置矩陣 • symmetric matrix: 對稱矩陣 • skew-symmetric matrix: 反對稱矩陣

  35. 2.3 反矩陣 反矩陣 (inverse matrix) 考慮 若存在一 矩陣使得 則 (1) A 是可逆(invertible)或非奇異(nonsingular)矩陣 (2) B為 A的反矩陣 注意: 若矩陣沒有反矩陣則稱此矩陣為不可逆(noninvertible)或奇異(singular)矩陣 線性代數: 2.1節 p.90

  36. 定理 2.7：反矩陣的唯一性 若 B 與 C 都是 A 的反矩陣，則 B = C 證明: 因此 B=C，所以一矩陣的反矩陣是唯一的 注意: (1) A 的反矩陣被表示成 (2) 線性代數: 2.1節 pp.90-91

  37. 實數 ac = bc , 乘法消去律 矩陣 (1) 若C是可逆，則A=B (2) 若C是不可逆，則 (消去法不成立) 線性代數: 2.1節 p.80

  38. 範例 5：消去法不成立的範例 對下列的矩陣證明AC=BC 解: 因此 但是 線性代數: 2.1節 p.80

  39. 利用高斯-喬登消去法求一矩陣的反矩陣 範例 2：求下列矩陣的反矩陣 解: 1 2 線性代數: 2.1節 p.92

  40. 1 2 所以 線性代數: 2.1節 p.92

  41. 注意： 若矩陣 A 不能夠用列運算將其化成單位矩陣 I， 則矩陣 A 為奇異矩陣。 線性代數: 2.1節 p.93

  42. 範例 3：求下列矩陣的反矩陣 解: R2+(-1)R1->R2 線性代數: 2.1節 p.94

  43. 線性代數: 2.1節 p.94

  44. 所以矩陣 A 是可逆的，其反矩陣為 注意： 我們可以藉由 和 的相乘來得到 以確認其為反矩陣 線性代數: 2.1節 pp.94-95

  45. 方陣的冪次 (power) 線性代數: 2.1節補充

  46. 定理 2.8：反矩陣的性質 若 A 是可逆矩陣，則有下列的性質: 線性代數: 2.1節 p.97

  47. 定理 2.9： 乘積的反矩陣 若 A 和 B 為大小為nxn的可逆矩陣， 則 AB 為可逆且 證明: 注意: 線性代數: 2.1節 pp.99-100

  48. 定理 2.10：相消性質 若 C 為可逆矩陣，則以下的性質成立 (1) 若 AC=BC，則 A=B (右相消性質) (2) 若 CA=CB，則 A=B (左相消性質) 證明: 注意: 若C 不是可逆，則相消法是不成立的 線性代數: 2.1節 p.101

  49. 定理 2.11：有唯一解的方程式系統 若 A 為一可逆矩陣，則此線性方程式系統Ax=b有唯一解 證明: ( A 為一非奇異矩陣) 為 Ax=b 的兩個解 (左相消性質) 此解為唯一 線性代數: 2.1節 pp.101-102

  50. 注意: 線性代數: 2.1節

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