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單元二 . DEA 衡量效率之介紹

單元二 . DEA 衡量效率之介紹. Charnes, Cooper, and Rhodes 於 1978 年提出衡量績效的方法時 ， 在評估項目 (KPI) 上可擴張到 多項 投入 與 多項 產出 指標，但也可應用到彼此不具關係的 望小項 與 望大項 等多項指標，該法後來被 Banker, Charnes and Cooper(1984) 稱為 資料包絡分析法 (Data Envelopment Analysis ，簡稱 DEA ) 。 在進行績效評估時，須先對指標間是否具投入與產出關係作判斷。 例如：若是對 醫院的 營運績效 作評估，而指標的選擇假設如下：

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單元二 . DEA 衡量效率之介紹

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  1. 單元二.DEA衡量效率之介紹 Charnes, Cooper, and Rhodes於1978年提出衡量績效的方法時，在評估項目(KPI)上可擴張到多項投入與多項產出指標，但也可應用到彼此不具關係的望小項與望大項等多項指標，該法後來被Banker, Charnes and Cooper(1984)稱為資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis，簡稱DEA)。 在進行績效評估時，須先對指標間是否具投入與產出關係作判斷。 例如：若是對醫院的營運績效作評估，而指標的選擇假設如下： 醫師數、護士數、病床數、機器設備數、門診人次、急診人次、 住院人次、手術人次，請問指標間是否具有投入、產出關係？ 答：有關，故須再分為哪些是投入項或是產出項的判斷(後面會簡單說明)。 例如：若評估的是醫療服務品質績效，因而指標變成為： 醫師與病床比、護士與病床比、慢性處方籤釋出率、藥方重複率( 即病人在不同科別間均就診，但卻有重複開出某些藥物)、急診暫 留二日以上比率、感染密度，請問指標間是否具有關係？ 答：無關，但須改成哪些是望小項或是望大項的判斷(後面會簡單說明)。

  2. 若是針對製造業廠商的經營績效而言，所選擇的指標就多屬具有投入與產出的關係。例如，在產出上製造業有專業化生產一種商品，但也有多元化產出的情況，一般若資料來源是財務報表，則因採金額計算，故就算有多種產品，最後仍是以營業收入毛額的統計項目表示，因而調整成單一產出。若是針對製造業廠商的經營績效而言，所選擇的指標就多屬具有投入與產出的關係。例如，在產出上製造業有專業化生產一種商品，但也有多元化產出的情況，一般若資料來源是財務報表，則因採金額計算，故就算有多種產品，最後仍是以營業收入毛額的統計項目表示，因而調整成單一產出。 又因所要評估的是經營績效，故對應的投入項就會是：營業成本、營業費用、固定資產等項目(後面會簡單說明)； 同理，若是針對企業內的某一部門進行績效評估，則投入、產出項目的數據須僅侷限在該部門，例如生產部門的生產績效、研發部門的研發績效、…等評估。

  3. CCR模式 壹、先說明應用在投入項與產出項上： 假設有2種投入(X1、X2)，有2種產出(Y1、Y2)的指標，因此應採效率方式評估。樣本A的效率為： 請問上式中，哪些變數是有數據？哪些變數是須要計算？ X1A、X2A、Y1A、Y2A是蒐集數據而來； α1A 、α2A、β1A、β2A則是利用DEA計算而得。 由於任一個決策單位(Decision Making Unit，簡稱DMU)均會受到評估(例如第k個決策單位，就寫成DMUk)，而為求比較方便，須將計算出來的各項指標權重(α1k、α2k、β1k、β2k)，限定在代入上式時所求得的效率(TEk)，不要超過1，如此就能直接比較DMU間的效率何者較佳。因此，整體模式可以寫成：

  4. DEA的效率(TE)評估，乃是採對DMUk最有利的方式衡量，故將計算所獲得的權重，選取可以使TE最大的解；且每個DMU均如此作，故對每個DMU都是公平。DEA的效率(TE)評估，乃是採對DMUk最有利的方式衡量，故將計算所獲得的權重，選取可以使TE最大的解；且每個DMU均如此作，故對每個DMU都是公平。 TEk=Max s.t. 要求計算所獲得的權重值α1k、α2k、β1k、β2k，須使TE位在[0，1]；且對其他樣本的模式，亦均要求如此，故每個DMU的TE就能作比較相對效率。

  5. 效率邊界線的形成 效率邊界線：由Y軸開始順時鐘旋轉，直到與第一個DMU相交才停止，如此可以將全部的DMU包絡起來。 除了上述的分數模式計算效率(TE)外，還可以改用右圖理解：若簡單以一個產出指標與一個投入指標為例，可將各個DMU的數據大小畫出其所在位置，你會發現哪些DMU是標竿，在績效改善時可以作為其他DMU的參考對象， 又由圖中你還會發現在績效評估時，須先選擇是要採投入導向(或產出導向)來衡量TE(=Y/X)，即固定Y(或X)不變，比較X(或Y)的大小。 Y · B C’’ YC C’ ·C ·H ·D ·A ·F ·G ·E 就DMUC而言，若相對效率(TEC＝YC/XC)是選擇： X XC O 1.投入導向：即在相同產出YC下，是否有其他DMU的投入比XC更少？ 結果發現若將DMUB與DMUD的數據，給予各種不同的權重(λ＞0)作加總，則可獲得BD上的各點數據，其中有一點C’的產出也是YC，但投入卻較XC更少，因此TEC(相對效率)＝YCC’/YCC，而且DMUC可參考DMUB與DMUD(因λB與λD均＞0)進行投入面的績效改善，因此會有XC減少幅度的訊息，但YC不會變，故投入導向只會提供DMU在各項投入指標的改善訊息。 2.產出導向：同理，也可在BD上找到一點C’’，其投入是與DMUC相同的XC，但產出卻比YC更多，因此TEC(相對效率)＝XCC/XCC’’，且DMUC仍是參考DMUB與DMUD(因λB與λD均＞0)進行績效改善(即YC的增加)， 故產出導向只會提供各項產出的改善訊息。 Slide #5

  6. 因此，若連接所有外圍的DMU，如圖中B、D、E等相對TE＝1所組成的效率邊界線，故該線可採一般化寫法： Y ·B ，而且式中A、… 、H在投入(或產出)導向下，將以XA、… 、XH(或YA、… 、YH)代入。 ·C 線內的DMU(如A、C、…)就透過與效率邊界線距離的遠近，來衡量其效率水準的高低。 若以投入導向為例，各個DMU的效率可寫為： ·H ·D ·A ·F ·G O X ·E 因不具效率的DMU，不會位在邊界線上，其數據自然不會被參考，因此λ會為0 ≠0 ≠0 同理，產出導向亦同。因此，就各個DMU而言，其效率的一般式為： Slide #6

  7. CCR的線性模式 Slide #7

  8. 幾個問題釐清 一、什麼情況應採投入導向或產出導向，來進行績效評估？ 答：主要視被評估者需要投入面或產出面的績效改善資訊而定。另外，也可依研究對象的特性而定，例如非營利事業(如公家機關、醫院等)就較需要投入面的改善資訊，以進行績效提升，這是因其特性是產出面(如服務人數)，就算給予增加多少服務人數的資訊，管理者也因無法參考與改善；但營利事業(如銀行)則投入導向或產出導向，大概均可，端視其所需改善績效的資訊而定。 二、DEA的邊界線由於是連接具有效率的DMU而形成，然後其他DMU的效率(TE)之高低，就是依距離效率邊界線的遠近來衡量，故DEA較適於橫斷面資料(Cross-section Data，即數據是處於相同時點)的樣本；否則，若不同時點(或年度)的樣本，其效率邊界線可能不一樣，因而在評估效率時就會有偏誤。

  9. 幾個問題釐清(續) DEA若採縱橫面資料(Panel Data，即一群樣本的歷年資料)，可能會因後面年度假設有技術水準進步發生時，其產出會較大或投入會較少，不論那一種均會使其位於效率邊界線上，造成TE=1者大部分是後面年度的DMU，但這是技術水準進步，而非管理者有效率，因此縱橫面資料評估出來的效率就不適當，故DEA較適合應用在橫斷面資料。 三、DEA有一個涉及評估出來的效率值(TE)，若要具有鑑別度，則根據Golany與Roll(1989)所提出的經驗法則要求：樣本數＞兩倍的指標數。 亦即，假設有K個DMU，而有N項投入(X)與M項產出(Y)，則： 否則DEA評估出來的各個DMU之績效值，將幾乎為1。 K＞2(N＋M)

  10. 幾個問題釐清(續) 因此，若遇到DMU的樣本數太少時，一般又會採取增加研究年度的方式，來使樣本數變多，但為使技術水準變動的影響降到最低，大都僅增加研究年度前、後各1年，即總共3年的因應方式，因實務上認為還在可接受的範圍，更何況DEA的評估對象，多是非營利單位，也較難發生管理技術的改變。 可再以圖形說明上述鑑別度不足的概念：

  11. 幾個問題釐清(續) 因圖形只有兩軸，若以投入導向說明，假設在相同的Y下，樣本有兩項X1、X2，又若DMU只有3筆，因3＜6=2×(1+2項目)。 因此，3個樣本很容易就位在(或形成)效率邊界線，如右圖所示。 導致DEA計算所獲得之績效值均會為1。 X2 A B C O X1 圖 投入導向的效率邊界線 Slide #11

  12. 幾個問題釐清(續) 四、如何確認蒐集來的評估項目中，哪些是產出項、投入項(或哪些是望大項、望小項)？ 答：利用Pearson相關係數檢定：產出項(或望大項)與投入項(或望小項)間因須具同向性(Isotonicity)，故要求相關係數的符號為正號，且最好具顯著性；若呈顯著負號，則表歸類錯誤，須重新判斷或篩選較不重要者刪除。 此外，產出項(或望大項)間不能具顯著相關，投入項(或望小項)間亦同，因可能是有相同意義的項目重複了，須刪除其中之一，除非能確認是分屬不同定義，則可不刪。

  13. 練 習 例一、以銀行業的經營績效為例，若選擇以下項目，則請判斷項目間是否具有投入與產出的關係？若有，請說明哪些是投入項，哪些是產出項？ 1.投資所得收入，2.短期放款，3.中長期放款，4.員工人數，5.固定資產(即機器設備土地)毛額，6.存款資金。 答：是具有投入與產出的關係； ：1.投資所得收入，2.短期放款，3.中長期放款； ：4.員工人數，5.固定資產(即機器設備土地)毛額， 6.存款資金。 注意：將來在電腦實習時，指令的下法上，Y=__項，X=__項。 產出項(Y) 投入項(X)

  14. 練 習 例二、以醫院的經營績效為例，若選擇以下項目，則請判斷項目間是否具有投入與產出的關係？若有，請說明哪些是投入項，哪些是產出項？ 1.醫師人數，2.護理人數，3.其他醫事人員數，4.總病床數，5.貴重儀器設備數，6.門(急)診人次，7.住院人日，8.手術人次，9.出院人次。 答：是具有投入與產出的關係； 6.門(急)診人次，7.住院人日，8.手術人次， 9.出院人次； 1.醫師人數，2.護理人數，3.其他醫事人員數， 4.總病床數，5.貴重儀器設備數。 注意：電腦實習時，指令的下法上，Y=__項，X=__項。 產出項： 投入項： Slide #14

  15. 如果評估項目不具投入與產出關係，則變成是在計算如何加權各項指標以獲得效能(TE)值。此時必須先根據研究對象的特性、或研究目的、或望大、望小之項數多寡，決定究竟要採望大導向或望小導向來衡量，以便進行指標數據的調整：如果評估項目不具投入與產出關係，則變成是在計算如何加權各項指標以獲得效能(TE)值。此時必須先根據研究對象的特性、或研究目的、或望大、望小之項數多寡，決定究竟要採望大導向或望小導向來衡量，以便進行指標數據的調整： 1.若採望大導向衡量效能，則凡是屬於望小項的指標，均應將數據取倒數的方式輸入資料檔，這時就能使其變成____項性質。 亦即，套用DEA軟體的格式： 但改成下述寫法： 注意：此時之指令，Y=__項；但因分母為1，表示投入項(X)還有1項，只是數據為1，故在建立資料檔時，各樣本的投入數據均要輸入1，因此X=__項。 CCR模式 貳、應用在望大項與望小項上： 望大 Slide #15

  16. 例三、各縣市的綠色績效之評估項目，假設為：1.空氣品質(含各類污染氣體濃度)，2.垃圾妥善率，3.資源回收率，4.廢水檢驗不合格率，5.垃圾清理及機具數，6.綠地面積，7.環境音量監測不合格時段數。例三、各縣市的綠色績效之評估項目，假設為：1.空氣品質(含各類污染氣體濃度)，2.垃圾妥善率，3.資源回收率，4.廢水檢驗不合格率，5.垃圾清理及機具數，6.綠地面積，7.環境音量監測不合格時段數。 由於項目間不具投入與產出的關係，且項目中屬於望大性質有__項，屬於望小性質有__項，因此以_____導向作為效能的評估。 將望小項取倒數的理由(或作法)說明： 「1.空氣品質(含各類污染氣體濃度)」、「4.廢水檢驗不合格率」、「7.環境音量監測不合格時段數」，若有些縣市的數據是較小者，其表現本就較佳，但因採望大衡量，故會被評為較差，此時取成倒數，就變成數據小者，其倒數值會變大，所以評比仍然是較佳，才不會出錯。 因此若採望大導向衡量效能，則下指令時，Y=__、X=__。 練 習 Slide #16

  17. 2.若採望小導向衡量效能，則凡是屬於望大項的指標，均應將數據取倒數的方式輸入資料檔，這時將使其變成望小項性質。但此時之效能模式，變成：2.若採望小導向衡量效能，則凡是屬於望大項的指標，均應將數據取倒數的方式輸入資料檔，這時將使其變成望小項性質。但此時之效能模式，變成： 因分子為1，表示產出項(Y)還有1項，只是數據為1，故在建立資料檔時，各樣本的產出數據均要輸入1，因此Y=__項；X=__項。 Slide #17

  18. 練 習 例四、以醫院的品質績效為例，若選擇以下項目：1.降血糖藥重複率，2.抗精神分裂藥重複率，3.抗憂鬱藥重複率，4.急診暫留二日比率，5.電腦斷層90日內重複率，6.剖腹產率，7.感染密度，8.平均住院日，9.粗死亡率，10.醫師病床比，11.護理人員病床比，12.醫事人員病床比。請問項目間是否具有投入與產出的關係？ 答：不具有投入與產出的關係； 一、望大項：10.醫師病床比，11.護理人員病床比，12.醫事人員病床比。 二、望小項：1.降血糖藥重複率，2.抗精神分裂藥重複率，3.抗憂鬱藥重複率，4.急診暫留二日比率，5.電腦斷層重複率，6.剖腹產率，7.感染密度，8.平均住院日，9.粗死亡率。 因望大項=3＜ 望小項=9，基於取倒數時，項數少可以較方便，因此採___衡量；當然若因望小項對樣本來講較重要，希望在績效評估後能獲得望小項的參考建議，則理由更適當。因此下指令時，Y=__、X=__。 一、望大項？ 二、望小項？ Slide #18

  19. 附錄(參考) DEA由原始分式型態轉成線性(對偶)型態 假設有K個DMU(k=1,…,K)；有N種投入(n=1,…,N) ； 有M種產出(m =1,…,M) 。 現針對DMUk進行管理效率評估，如下： TEk=Max s.t.

  20. 附錄(續) 上述模式之分數型態在實際求解時，一般會將其轉成線性型態，因為比較容易求解，故有所謂的投入導向與產出導向二種轉換方式。 下面的分子與分母可消掉 下面的分子與分母無法消掉

  21. 附錄(續) 請問上述線性型態模式的限制式，有幾條？ 答：至少有K條限制式，但K＞M+N，故可以再利用線性規劃中的對偶方法，繼續縮減限制式，因此模式可以再變成：

  22. 附錄(續) 限制式變成M+N條 此模式的效率(TEk)是出現在投入項(X1k，…，XNk)上，故稱為投入導向效率評估模式。

  23. 附錄(續) 若一開始是採分子調整為1的做法，則最後的模式之θk將出現在產出項(Y1k，…，YMk)上，因而稱為產出導向效率評估模式。 須注意的是，θk還要再取倒數才是效率(TEk)，因從限制式可看出， TEk ＝Y1k / (λ1Y1A+…+λKY1k) ＝ 1/θk。

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