Matrizes Definição

1. Matrizes Definição Chama-se matriz a uma tabela de números dispostos em linhas e colunas

2. Matrizes Classificação Matriz Quadrada: número de linhas = números de colunas Matriz Retangular : número de linhas é diferente do números de colunas

3. Matrizes Notação Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aijonde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento. Observação: Se a matriz é quadrada de ordem n, então os elementos aij tal que i=j são chamados de diagonal principal e os elementos aij tal que i + j = n + 1 são os elementos da diagonal secundária.

4. Matrizes Igualdade de Duas Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos: A = B <=> aij=bij

5. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo mxn chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de linhas de A serão as colunas de At e vice-versa Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At .

6. Matrizes Tipos de Matrizes Matriz Nula Chama-se matriz nula a matriz na qual todos os seus elementos são iguais a zero.

7. Matrizes Operações com Matrizes Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij + bij Exemplo:

8. Matrizes Operações com Matrizes Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos cij= aij - bij Exemplo:

9. Matrizes Operações com Matrizes • Multiplicação • Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por • Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj • Observações: • O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. • Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p,

10. Matrizes Operações com Matrizes • Multiplicação • Exemplo: • Dadas as matrizes

11. Matrizes Lei de formação de uma matriz Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:

12. Matrizes Exercício Resolvido 04.21. Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que: Solução:

13. Matrizes Exercício Resolvido 04.21. Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que: Solução: 2a = 6 a=3 2d = 8 d=4 b + c = 5 Lembrando a análise combinatória O O O O O O +

14. Matrizes Produto de Matrizes Matriz Identidade Chama-se matriz identidade a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A.I=I.A=A

15. Matrizes Operações com matrizes Produto de número por uma Matriz Definimos o produto de um número por uma matriz m x n como sendo uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.

16. Matrizes Observações • O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam. • Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2 • Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2+ 2AB +B2