1 / 20

ETO w Inżynierii Chemicznej

ETO w Inżynierii Chemicznej. MathCAD wykład 4. Analiza danych. Aproksymacja danych. definicja.

overton
Télécharger la présentation

ETO w Inżynierii Chemicznej

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.

  2. Analiza danych Aproksymacja danych

  3. definicja • Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f(x) takich funkcji F(x), które w określonym sensie najlepiej przybliżają funkcję f(x).

  4. zastosowanie • gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem • gdy funkcja f(x) określona jest na dyskretnym zbiorze argumentów i znana jest postać funkcji aproksymującej otrzymuje się zależność ciągłą. Określa sie tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze • wyznaczanie parametrów na podstawie danych doświadczalnych

  5. rodzaje • aproksymacja interpolacyjna • aproksymacja jednostajna • aproksymacja średniokwadratowa

  6. aproksymacja interpolacyjna • żąda się spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x) przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych. Czasem uzupełnia się warunkiem równości pochodnych w węzłach (jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane).

  7. aproksymacja jednostajna • funkcję f(x) przybliżamy taką funkcją F(x) w całym przedziale [a,b], że maksymalne odchylenie osiąga minimum

  8. aproksymacja średniokwadratowa • funkcja aproksymująca wyznaczana jest z warunku, aby wartość wyrażenia była możliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję było najmniejsze • Przy znanej postaci funkcji aproksymującej wartość E jest funkcją parametrów tej funkcji

  9. aproksymacja średniokwadratowa • W przypadku dyskretnego zbioru argumentów funkcja celu przyjmuje postać:

  10. Jawna aproksymacja średniokwadratowa w MathCADzie • Dzięki procedurze: minimize(funkcja, p1, p2,...) można tak dobrać szukane parametry funkcji aproksymującej aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń miedzy wartościami stabelaryzowanymi a obliczonymi z funkcji. funkcja – to funkcja obliczającasumę kwadratów odchyłek miedzy wartościami danymi w zbiorze i obliczonymi funkcja aproksymującą. Argumentami są parametry funkcji aproksymującej

  11. Algorytm: • Utworzenie funkcji dopasowującej. Argumentami są zmienna niezależna oraz szukane parametry • Nadanie licznikowi wartości z zakresu od 0 do ilość punktów danych w zbiorze –1 • Ilość danych w zbiorze można uzyskać stosując funkcję length, której argumentem jest dowolna kolumna danych • Utworzenie funkcji obliczającej sumę kwadratów odchyłek między doświadczeniem a wartościami obliczonymi z funkcji. Zmiennymi utworzonej funkcji są parametry funkcji aproksymującej • Założenie startowych wartości parametrów • Wykonanie procedury Minimize na utworzonej funkcji i parametrach.

  12. Analiza danych • Dowolna funkcja o parametrach wyznaczonych narzędziem genfit:c:=genfit(X, Y, c0, F) • c0 – startowy wektor szukanych parametrów funkcji • c - wektor szukanych parametrów • F – funkcja wektorowa zmiennej niezależnej i wektora c, składająca się szukanej funkcji oraz jej pochodnych po parametrach • X – zmienne niezależne ze zbioru danych • Y – zmienne zależne ze zbioru danych

  13. Analiza danych • Aproksymacja wielomianem: • aproksymacja średniokwadratowa • składnia Z:= Regress(X, Y, s) • X wektor zmiennych niezależnych • Y wektor zmiennych zależnych • s – stopień wielomianu • Wynikiem jest wektor Z, którego s+1 ostatnich elementów to parametry wielomianu

  14. Analiza danych • Kubiczna funkcja sklejana (Cubic Spline) • aproksymacja interpolacyjna • składnia Z:=lspline(X, Y) • Wynikiem jest wektor Z, parametrów funkcji sklejanej • Funkcja wymaga posortowania danych W:=csort(W,i), W – macierz danych, i – nr kolumny porządkującej

  15. Analiza danych • Funkcja interpretująca równanie interp uwalnia od konieczności pisania równania:F(x):=interp(Z, X, Y, x) odpowiada np. Y(x):=Z4+Z5x+Z6x2 (przy Z wyznaczonym procedurą regress) • Z – wektor znaleziony przez procedurę aproksymującą • X, Y – wektory zmiennych zależnych i niezależnych ze zbioru danych • x – zmienna niezależna

  16. Można całkować Można różniczkować

More Related