KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

1. TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

2. Câu hỏi : Hãy nhận xét sự khác nhau cơ bản nhất của 2 hình trên. Ở H1 khi nối 2 điểm bất kì ta được 1 đoạn thẳng thuộc nó. Ở H2 có những điểm nối lại được 1 đoạn thẳng không thuộc nó.

3. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I. Khối đa diện lồi Định nghĩa: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi. Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.

4. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU II. Khối đa diện đều Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau đây: + Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. + Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.

5. Câu hỏi : Nêu ví dụ về khối đa diện không đều. Ví dụ: hình chóp tam giác vuông, hình lăng trụ tam giác,…. Câu hỏi : Khối chóp tứ giác đều, khối lăng trụ đứng tam giác đều có các cạnh bên bằng các cạnh đáy có phải là các đa diện đều không? Vì sao? Không. Vì: - Đối với khối chóp: đỉnh chóp là đỉnh chung của 4 mặt, còn các đỉnh ở đáy là đỉnh chung của 3 mặt. - Đối với khối lăng trụ: 2 mặt đáy là 2 tam giác đều, còn 3 mặt bên là các hình vuông.

6. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Chú ý: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau. Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, loại {3; 4}, loại {3; 5}, loại {5; 3}.

7. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU H2: Đếm số đỉnh và số cạnh của các hình đa diện đều.

8. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU H3: Chứng minh rằng: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều Giải: Cho tứ diện ABCD, cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA. Ta chứng minh các cạnh IN, IE, IM, IF, JN, JE, JM, JF đều có độ dài bằng a/2.

9. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Thật vây, đó là các đường trung bình của các tam giác CAD, ABD, ACB, BCD. Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD là tứ diện đều) Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2. Suy ra các tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN, JNE là các tam giác đều bằng nhau. Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 tam giác đều. Do đó đa diện ấy là đa diện đều loại {3; 4}, tức là hình bát diện đều.

10. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU H4: Chứng minh rằng: Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình bát diện đều. Giải: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. B.1: Chứng minh AB’CD’ là tứ diện đều Thật vậy, ta có: AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên Tương tự: Vậy AB’CD’ là tứ diện đều.

11. Bài 2:KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU B.2: Gọi I,J,E,F,M,N lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’ của hình lập phương. Sáu điểm này lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, B’D’, AB’, B’C’, CD’, D’A của tứ diện đều AB’CD’. Do đó theo câu H3 ta có sáu đỉnh đó là các đỉnh của hình bát diện đều.