§ 3.1 微分中值定理

1. 第3章 §3.1 　微分中值定理 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

2. 则称 为 的极大值点, 称 为函数的极大值; 则称 为 的极小值点, 称 为函数的极小值. 一、微分中值定理 定义1 如果在该邻域内 , (1) (2) 极大值与极小 极大值点与极小值点统称为极值点; 值统称为极值. 定义2 导数为零的点称为函数的驻点.

3. 1. 罗尔( Rolle )定理 存在 且 证 设 则 证毕 即: 可导函数的极值点一定是驻点. 但反过来不成立. 费马(fermat)引理

4. 在( a , b ) 内至少存在一点 罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 故在[ a , b ]上取得最大 证 值M和最小值 m . 若 M =m , 则 因此

5. 若 M >m , 则 M 和 m中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设 则由费马引理得 注意: 1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,

6. 有且仅有一个小于1 的 例1 证明方程 正实根 . 证 1) 存在性 . 且 则 在 [0 , 1 ] 连续 , 设 由零点定理知存在 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 至少存在一点 故假设不 但 矛盾, 真!

7. 2. 拉格朗日中值定理 满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 证※ 问题转化为证 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 由罗尔定理知至少存在一 证毕 即定理结论成立 . 点 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数

8. 由 的任意性知, 注: 拉格朗日中值定理对于b<a也是成立的. 则 推论1 若函数 在区间 I上满足 在I 上必为常数. 证 在I上任取两点 日中值公式 , 得 在I上为常数 . 处处相等， 推论2 若两个可导函数f (x)，g (x)的导数 则它们只相差一个常数， 即存在 使 常数C，

9. 故所证等式在定义域 上成立. 例2 证明等式 证 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又

10. 例3 证明不等式 则 或[b, a]上满足拉 证 设 因此应有 格朗日中值定理条件, 在a与b在之间) 于是 因为 故

11. 弦的斜率 切线斜率 2. 柯西(Cauchy)中值定理※ 及 满足 : 则至少存在一点 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 使 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3) 在开区间 ( a , b ) 内 几何意义: 则

12. 内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 费马引理 拉格朗日中值定理 罗尔定理 柯西中值定理※ 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式

13. 思考与练习 1. 填空题 1) 函数 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理 条件, 则中值 方程 2) 设 有 上. 个根 , 它们分别在区间