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Démonstration du théorème de Pythagore

Démonstration du théorème de Pythagore. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. b. a. c. c. b. b. a. a. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c. c. c. b. b. b. a. a. a. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :. c.

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Démonstration du théorème de Pythagore

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Presentation Transcript

  1. Démonstration du théorème de Pythagore

  2. Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : c b a

  3. c c b b a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :

  4. c c c b b b a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :

  5. c c c c b b b b a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions :

  6. c c c c b b b b a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes

  7. c c c c c b b b b b a a a a a Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes

  8. c c c c b b b b a a a a a c a b c b Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes

  9. c c c b b b a a a b c a a c a c a b b c b Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes

  10. a c c b b b c a a b b c a a a c c a c a b b c b Prenons quatre triangles rectangles de mêmes dimensions : On dispose ces quatre triangles de deux façons différentes

  11. a c c b b b c a a a + b a + b a + b b b c a a a c c a c a b b c b On obtient deux quadrilatères ABCD de même coté : a + b Or si un quadrilatère a tous ses côtés de la même longueur alors c’est un losange Donc ABCD est un losange sur les deux figures B A A B C C D D

  12. a c c b b b c a a Angles droits a + b a + b a + b b b c a a a c c a c a b b c b ABCD est un losange et a un angle droit Or si un losange a un angle droit alors c ’est un carré Donc ABCD est un carré B B A A C C D D

  13. a c c b b b c a a a + b a + b a + b b b b c a a a a c c c a c a b b c b ABCD est un carré AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b B I B A M A N F G E S C C D D H R

  14. a c c b b b c a a a + b a + b a + b b b b c a a a a c c c a c a b b c b ABCD est un carré AGFI est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur a et possède un angle droit. Démontrons que MNRS est un carré Donc AGFI est un carré de côté a De même HFEC est un carré de côté b B I B A M A N F G E S C C D D H R

  15. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c c a b Démontrons que MNRS est un carré

  16. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b Donc les angles DRS et RNC sont égaux C D a R De même les angles DSR et NRC sont égaux c c a b Démontrons que MNRS est un carré SDR et RCN sont deux triangles semblables

  17. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c c a b Démontrons que MNRS est un carré Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires

  18. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires Or l’angle DRC est plat donc SRN mesure c a b Démontrons que MNRS est un carré Or les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires Donc les angles DRS et NRC sont complémentaires 90°

  19. a a c c N b b b B B A A M M b b S c c c a a a a c N N C D R a + b b S S b C D a R c c a b Démontrons que MNRS est un carré MNRS est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur et un angle droit. Donc MNRS est un carré.

  20. a c c b b b c a a a + b a + b a + b b b b B A M c a a a a c c c N a c S a b b c C D R b ABCD est un carré AGFI est un carré de côté a Donc MNRS est un carré de côté c HFEC est un carré de côté b I B A F G E C D H

  21. a c c b b b c a a a + b a + b a + b b b b B A M c a a a a c c c N a c S a b b c C D R b L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire: I B A F G E C D H

  22. c c b b a a c a b L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : b I A M A c a a c c N a F G E S c c b b b b c C C D D H a a R

  23. c c b b a a c a b L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a F G E S c c b b b b c C C D D H a a R

  24. c c b b a a L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : I M A a c c N a F G E S c c b b b b c C D D H a a R

  25. L’aire des deux figures est identique Si on enlève aux deux figures les quatre triangles rectangles on obtient deux nouvelles figures de même aire : L’aire du carré AGFI est a² L’aire du carré MNRS est c² L’aire du carré HFEC est b² Donc: a² + b² = c² I M A a c c N a F G E S c c b b C H R

  26. c b a² + b² = c² a Nous venons de démontrer le théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit est égal au carré de la longueur de l’hypoténuse.

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