"calcolo combinatorio"

1. "calcolo combinatorio"

2. "calcolo combinatorio" si intende una branca della Matematica che studia i modi di raggruppare ed ordinarek oggetti presi da un insieme assegnato di n oggetti, con l'obiettivo finale di contare il numero dei possibili raggruppamenti od ordinamenti • Gli oggetti possono essere ripetuti oppure comparire una sola volta • L’ordine può essere importante oppure no • K può essere > < = n I raggruppamenti sono di sei tipi: tre semplici e tre con ripetizione

3. I diversi modi di “mischiare” n elementi in k posti (con e senza ripetizione)sono: • Permutazioni : n=k es: gli anagrammi • Disposizioni: l’ordine è importante! es: la pass word, la cassaforte … • Combinazioni: l’ordine non conta, è indifferente es: il terno al lotto, il concorso …

4. Una sequenza di n elementi si dice, genericamente, n-upla • (per n=2 si parlerà di "coppia", per n=3 di "terna", per n=4 di "quaterna", • per n=5 di "cinquina", per n=6 di "sestina", per n>6 di "sequenza di  6, 7, 8, ... elementi").  • Quando in un'n-upla consideriamo "importante" l'ordine in cui gli elementi si susseguono, parleremo di n-upla "ordinata", e la indicheremo con parentesi tonde: (x1, x2, …., xn) • NB (a,e,i)è diverso da (e,i,a) • Quando consideriamo irrilevante l’ordine, parleremo di n-upla "non ordinata" e useremo le graffe: • { x1, x2, …., xn}

5. N! • n! = 1.2.3. … (n-2).(n-1).n • oppure, in modo compatto n! = • Es. 7!=1. 2.3.4.5.6.7=5040 • Per convenzione 0!=1 1!=1 • n!=n.(n-1)! ( definizione “ricorsiva”)

6. n! • Simbolo inventato nel 1808 da Christian Kramp (Germania) a significare lo stupore con cui cresce rapidamente • In inglese è anche detto n-bang o, dagli studenti, n-shriek + urlo di terrore. • Nel 1950 Horace Uhler calcolò 450! senza calcolatori elettronici e lo chiamò “ il fattoriale delle Mille e una Notte perché ha 1001 cifre • 450! =17333687331126326593447131461045793996778112652090510155692075095553330016834367506046750882904387106145811284518424097858618583806301650208347296181351667570171918700422280962237272230663528084038062312369342674135036610101508838220494970929739011636793766165023730853896403901590836144149594432684204513784716402303182604094683993315061302563918385303341510606761462420205820006936352095967417183191538725617509521380556781309195429800229273803342553558164591996298912368598547771179158461351340068905647127658164836377126303774923360078072307462008554355068361448126606281145760960499187813428397924840592504537849487425060488481036571447957046788635742936714615176219148469743102979949740714485104716169664052397392602848408694007408998901127492905171514473431386633392492040661522692303043813960541966093224243809225137268851717904303214058238447936111678568236973036238404626507890688000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

7. M A O O M A O M A OAM MOA OMA AOM MAO AMO PermutazioniDati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”) in  n! modi diversi 1.ANAGRAMMI ( Permutazioni semplici ) Grafico ad albero rovesciato Pn= n!= n*(n-1)*(n-2)…..3*2*1 P3= 3! = 3*2*1=6

8. Dati n oggetti, essi si possono "mettere in fila" (o “mettere in coda”, o “mettere in colonna”) in  n! modi diversi Infatti, per la scelta del primo oggetto della fila abbiamo n possibilità; a ciascuna di queste n possibilità sono abbinate (n-1) possibilità di scelta per il secondo oggetto della fila; ad ognuna delle n·(n-1) possibilità per i primi due oggetti corrispondono (n- 2) possibilità di scelta per il terzo oggetto della fila; ... ; in totale, quindi, n oggetti possono essere ordinati (=messi in fila, o in coda, o in colonna) in n·(n-1)·(n-2)· … ·3·2·1 = n!  modi diversi.

9. 5! A A M A C A A A M C 3! A A A M C 5!/3! A M C A A

10. MAA AMA AMA AAM 2.ANAGRAMMI CON LETTERE UGUALI ( Permutazioni con ripetizioni ) M A A A A A M M A AAM MAA Anagrammiamo “ANAGRAMMIAMO”: n=12 α= 4 β=3 A si ripete 4 volte M si ripete 3 volte Calcoliamo: quanti numeri possiamo generare con le cifre 3,5,8 ? Ragiono…è come anagrammare…..3 oggetti in tre posti…allora la risposta viene dalle permutazioni semplici…..P3=3!=6….358;385;835;853;538;583

11. Il coefficiente BINOMIALE • si legge “coefficiente binomiale n su k” e si ha dunque  Esempi

12. Proprietà: Il coefficiente BINOMIALE 2005 sess.ordinaria maturità di ordinamento… Ma anche 1981 … e 2001

13. Il binomio di Newton • Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'n-esima potenza di un binomio. Tale formula è:  =

14. Triangolo di tartaglia Proviamo a verificare qualche valore

15. Dimostrazione della formula • (a+b)n = (a+b)(a+b) .... (a+b)   dove a secondo membro abbiamo n fattori. • Si può pensare di effettuare la moltiplicazione scegliendo, da ciascun fattore (a+b), il termine a, oppure il termine b, in tutti i modi possibili, per poi sommare algebricamente i prodotti così ottenuti. • Es se ho (a+b)7= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) posso prendere 5 a e 2 b a caso :a.a.a.b.b.a.a. oppure a.a.a.a.a.b.b oppure a.b.a.a.b.a.a = a5b2 • Ora, se io scelgo, ad esempio, k volte il fattore a e n-k volte il fattore b, avrò il monomio  akbn-k • Quante volte comparirà, questo monomio, nella somma finale? Tante volte quanti sono gli anagrammi con a ripetuto k volte e b ripetuto n-k volte • E tali modi sono  ...

16. Es “cattivello”…… ma che si è visto proprio alla maturità del 2000 e del 2001 Dimostrare che: Dim: Dividendo il primo e l'ultimo termine dell'uguaglianza per an abbiamo che: Oppure provare con 2n=(1+1)n cioè con a=1 e b=1…..

17. disposizioni • Se una prima scelta può essere fatta in r modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in s modi diversi, e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte, una terza scelta può essere effettuata in t modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in r·s·t... modi diversi

18. c d b a c a c d b b a c a b d d ab ca da ac ad cb cd db dc ba bc bd 3. CONCORSI (Disposizioni semplici) Ad un concorso si iscrivono 4 persone per 2 posti disponibili, quante sono gli esiti possibili tenendo conto dell’ordine di arrivo? Ragiono: al primo posto ci potrebbero finire le quattro persone a b c d, ma al secondo posto ci possono finire solo tre persone per ogni persona che è finita al primo posto

19. 4. CASSAFORTE (Disposizioni con ripetizione) Quante possibilità ci sono di formare una “combinazione” segreta di 4 cifre ? Queste sono due disposizioni accettabili. Ragioniamo: nella prima cella posso mettere 10 cifre diverse; ma anche nella seconda cella posso mettere 10 cifre diverse. Allora per ogni cifra della prima cella posso associare una delle possibili 10 cifre della seconda, e via così. 10*10*10*10=104 In generale le disposizioni di n oggetti da sistemare con ripetizione in k posti è nk(in questo caso k può superare n, vedi totocalcio). esempio: quante parole di quattro lettere posso comporre con 26 lettere a disposizione? 26*26*26*26=264 = 456.976 esempio: quante colonne di totocalcio sono possibili? 3*3….3*3*3 = 314 =4.782.969

20. combinazioni • Quando si gioca al lotto cinque numeri, non è richiesto di indovinare anche l’ordine con il quale questi numeri vengono estratti. • In questo caso se giocassi la cinquina 8;17;56:12;81 vincerebbe tanto quanto 56;12;8;17;81 oppure 81;56;17;12;8 • Queste tre cinquine sono praticamente la stessa cinquina anche se permuto i cinque numeri fra loro.

21. c b d a c a c d b b a c a b d d ab ac ad cd bc bd 5. GIOCO DEL LOTTO (Combinazioni) E come faccio a contare quante sono? Si tratta di considerare tutte le disposizioni possibili di 90 numeri in 5 posti senza considerare l’ordine. Ossia ogni disposizione va divisa per il numero di permutazioni di 5 oggetti. Allora quante cinquine sono possibili al gioco del lotto? Se nel concorso di 4 persone per due posti di lavoro, non tenessi conto del piazzamento ma solo dei vincitori, allora ab=ba come ac=ca ecc. si avrebbe allora : ca da cb db dc ba

22. A B C a b c c b a c b c ac ab bb bc cc aa 6. I SEGMENTI (Combinazioni con ripetizione) Ci si chiede quante combinazioni di n oggetti, anche ripetuti, si possono mettere in k posti (in questo caso k può superare n). Supponiamo di dover calcolare quanti segmenti posso costruire con 3 punti allineati, comprendendo anche il punto come segmento nullo Proviamo a fare un grafico ad albero. (Si ricorda che una combinazione considera ab=ba, ac=ca, ecc.) Primo estremo Secondo estremo Proviamo a contare: Supponiamo di voler intervistare un campione di due individui su una popolazione di 3; l’intervista può anche essere fatta due volte sullo stessa persona ma non interessa in che ordine viene fatta. Quanti sono i possibili campioni ?

23. La grande illusione….

24. Qual è la probabilità di azzeccare l' "estratto semplice"? Io gioco un numero, ad esempio il 44, e "spero che esca".  I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44.   Ma queste sono tante quante le quaterne costruibili utilizzando gli 89 numeri rimanenti, cioè La probabilità richiesta è pertanto Qual è la probabilità di azzeccare l' "ambo" ? Io gioco 2 numeri, ad esempio il 44 e il 55, e "spero che escano". I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè  e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44 e il 55.  Esse sono tante quante le terne costruibili utilizzando gli 88 numeri rimanenti, cioè La probabilità richiesta è pertanto

25. Qual è la probabilità di azzeccare il "terno" ? Io gioco 3 numeri, ad esempio il 44, il 55 e il 66, e "spero che escano". I casi possibili sono le cinquine non ordinate costruibili coi 90 numeri 1, 2, ... 90, cioè e i casi favorevoli sono tanti quante le cinquine che contengono il 44, il 55 e il 66. Esse sono tante quante le coppie costruibili utilizzando gli 87 numeri rimanenti, cioè  La probabilità richiesta è pertanto Qual è la probabilità di azzeccare la "quaterna"? Qual è la probabilità di azzeccare la "cinquina"?

26. Lotto = gioco iniquo! Notare come il lotto sia un gioco "iniquo": a fronte delle probabilità sopra calcolate, lo Stato restituisce soltanto: Ha senso giocare solo se si giocano piccole somme di denaro su combinazioni difficili, con la quasi certezza di perdere ma con la remota speranza di vincere grosse cifre.

27. L’emozione di un sogno milionario giustifica una piccola cifra giocata, ma quasi certamente persa. Lo “sfizio” di avere in tasca 1 possibilità su 622 milioni di aggiudicarsi il jeck-pot miliardario del super-enalotto può valere forse i pochi euro della giocata. Ma chi gioca centinaia di euro incrementa soltanto le entrate di quella che è stata chiamata … La tassa sugli illusi !!!