Un système est stable s’il revient à sa position d’équilibre après chaque contrainte extérieure.

1. Leçon 5: Performances des Systèmes Asservis I. Stabilité d’un Système I-1 Définition Un système est stable s’il revient à sa position d’équilibre après chaque contrainte extérieure. On peut dire aussi qu’un système est stable s’il ne présente pas de divergence temporelle à la sortie lorsqu’on lui applique en entrée un signal physique.

2. I-2 Condition de stabilité Soit la fonction de transfert ayant n pôles (Pj) et m zéros (Zi) avec n >m : Avec On utilise la décomposition en éléments simples pour déterminer la sortie en fonction de l’entrée et on écrit : ? Si l’un des pôles (Pj) entraîne une instabilité alors tout le système devient instable.

3. 1) Cas d’un pôle réel simple Soit un système de premier ordre ayant un pôle réel simple (P1) : L’originale de cette fonction est : ? D’après cette expression pour que le système réagit avec un comportement convergent il faut que P1 est strictement négatif (P1 <0)

4. et Avec 2) Cas de pôles complexes conjugués Dans le cas où la fonction de transfert est d’ordre 2 avec coefficients réels alors si P1 est un pôle complexe, son conjugué est aussi un pôle et on a On calcule la fonction de transfert H(P) : ? ? L’originale de la fonction de transfert est ? Le système possède un comportement stable si P1 a une partie réelle strictement négative

5. Pour avoir un système stable, les zéros de l’équation caractéristique doivent être à parties réelles négatives La stabilité de la boucle fermée est donc conditionnée par la position des zéros du polynôme I-3 Critères de Stabilité (pour les systèmes d’ordre supérieur à deux) Soit le système asservit suivant La FTBF du système est donnée par • Des critères algébriques et graphiques simples peuvent être utiliser pour déterminer la nature des pôles: • Critère de Routh • Critère du Revers ?

6. 1) Critère de Routh Hurwitz Le critère de Routh Hurwitz est un critère algébrique qui permet de savoir si les racines d’un polynôme à coefficients constants sont situées dans le demi plan gauche (partie réelle négative). Soit le polynôme : Condition 1: Condition 2: Critère de Routh : Les racines de l’équation caractéristique sont toutes à partie réelle strictement négative si tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh sont de même signe Une condition nécessaire de stabilité est que les coefficients ai du polynôme soient de même signe (condition vérifiée pour les systèmes physique)

7. Construction du Tableau de Routh

8. Avec Exemple : Soit la fonction de transfert Vérifier que le système est stable

9. et stable instable 2) Critère du Revers C’est un critère graphique qui utilise la FTBO du système on a : On utilise le lieu de Nyquist pour la FTBO et la courbe ne doit pas envelopper le point critique (-1,0) dans le plan complexe pour que le système en boucle fermer soit stable

10. Remarque : Le gain K de la fonction de transfert gonfle le lieu de Nyquist ce qui peut entrainer l’instabilité du système.

11. Marge de Stabilité :

12. Point A: l’intersection du lieu de Nyquist de la FTBO et le cercle unitaire centré sur l’origine du plan complexe Point B: est l’intersection du lieu et l’axe de Re(w) • Marge de gain : • Marge de phase : Marge de gain: ? ? Marge de phase: ? Marge recommandée pour un fonctionnement avec une bonne stabilité :

14. II. Précision des systèmes La sortie du système Y(P) en fonction de X(P) est: II-1 Introduction Donc l’erreur est : ? Pour le système représenté ci dessus, l’erreur du système est la différence entre l’entrée X(p) et la valeur fournit par la boucle de retour Xr(p) .

15. Pour , la FTBO devient : L’erreur en régime permanent est l’écart entre la consigne et la sortie du système quand II-2 Erreur en régime permanent ? ? Donc pour obtenir une erreur faible en régime permanent il faut augmenter les valeurs de K et a ce qui s’oppose à la condition de stabilité. Alors l’erreur dépend de X(p) et de la FTBO. Afin de déterminer l’erreur, en écrit la FTBO sous une forme générale En générale, les objectifs de stabilité et de précision d’un système asservis sont contradictoires.

16. Soit alors 1) Erreur indicielle On constate que l’erreur indicielle diminue pour une valeur croissante du gain K * Système de classe (a ≥1) D’après la limite de l’erreur indicielle, pour a ≥ 1 on a une erreur statique nulle * Système de classe 0 (a=0) Donc un système qui possède un intégrateur en boucle ouverte fournit une erreur indicielle nulle ?

17. Soit alors 2) Erreur de trainage Ainsi ? ? ?

18. Soit alors 3) Erreur en accélération Tableau récapitulatif ? ? ? ? ? ? Ainsi ? ? ? ? ?

19. 4) Influence d’une perturbation Soit le système suivant soumis à une perturbation z(t). L’erreur du système est donnée par : ? L’erreur en poursuite L’erreur de régulation

20. A fin d’évaluer l’erreur de régulation on pose X(P)=0 et on étudie le cas d’une perturbation échelon (Z(P)=1/p ) . L’erreur en régime permanent est due à la perturbation échelon : Les fonctions de transfert H(P) et G(P) sont données par : ? ? Au voisinage de P=0 on a :

21. Conclusion : L’erreur en régime permanent provoquée par la perturbation échelon est nulle s’il existe au moins un intégrateur en amont de la perturbation ? Et donc l’erreur ? ? ? ?

22. III. Le minimum à apprendre * Condition de stabilité Un système de premier ordre est stable si son pole est strictement négatif (P1 <0) Un système à pôles complexes conjugués possède un comportement stable si ses pôles sont a partie réelle strictement négative ( Re(P1)<0 ) * Critère de Routh Condition2: Le système est stable si tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh sont de même signe Condition1: Une condition nécessaire de stabilité est que les coefficients ai du polynôme soient de même signe

23. Tableau de Routh Avec ? ? ? ? ?

24. * Critère du Revers On utilise le lieu de Nyquist pour la FTBO et la courbe ne doit pas envelopper le point critique (-1,0) dans le plan complexe pour que le système en boucle fermée soit stable * Marge de gain ? * Marge de phase ? * Forme de l’erreur ?

25. * Erreur en régime permanent ? Pour obtenir une erreur faible en régime permanent il faut augmenter les valeurs de K et a ce qui s’oppose à la condition de stabilité ? ? ? ? ? ? ? ? ?

26. * Influence d’une perturbation ?