实验二 FFT 的实现

实验二 FFT的实现 直接DFT计算 FFT基本原理 FFT的实现

实验目的 1.深刻理解DFT变换的时域及频域物理意义。 2.理解FFT算法的基本原理思想。 3.学习MATLAB中进行FFT计算的各种函数，以及工程中进行FFT计算的一些实用方法。 4.了解通过专用DSP处理器，编程进行FFT算法的实现。

实验内容 1、对给定序列按照DFT定义，在MATLAB中进行编程实现频谱分析。 2、在深刻理解FFT算法思想的基础上，在MATLAB中完成基-2拆分的FFT算法编程实现，并将其与前面直接计算DFT结果进行对比。

实验内容（续） 3、（拓展要求）对实序列进行FFT编程实现。 4、（拓展要求）在MATLAB中完成其它FFT算法编程实现。 5、（拓展要求）探讨频谱分析的灵敏度、分辨率等。 6、通过硬件（DSP）实验箱演示上述信号的时域（示波器）波形与频谱分析（计算）结果。

实验原理 • DFT的定义 • FFT算法思想（1）按时间抽取的FFT算法思想（2）按频率抽取的FFT算法思想

DFT的定义 对于有限长离散数字信号{x[n]}，0  n  N-1，其离散谱{X[k]}可以由离散付氏变换（DFT）求得。DFT的定义为：，k=0,1,…N-1 通常令，称为旋转因子。

直接计算DFT的问题及FFT的基本思想： • 由DFT的定义可以看出，在x[n]为复数序列的情况下，完全直接运算N点DFT需要（N-1）2次复数乘法和N（N-1）次加法。因此，对于一些相当大的N值（如1024）来说，直接计算它的DFT所作的计算量是很大的。 • FFT的基本思想在于，将原有的N点序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT可以很简单的组合起来得到原序列的DFT。由于DFT计算量与点数N的平方成正比，这样拆分便可以大大减少计算量。

基2按时间抽取（DIT）的FFT算法思想： 将长度为的序列，先按n的奇偶分成两组：，r=0,1,…,N/2-1 DFT化为：

基2按时间抽取（DIT）的FFT算法思想：（续） 又令，则上式可以写成： (k=0,1,…,N/2-1) 可以看出，分别为从中取出的N/2点偶数点和奇数点序列的N/2点DFT值，所以，一个N点序列的DFT可以用两个N/2点序列的DFT组合而成。

基2按时间抽取（DIT）的FFT算法思想：（续） 这样，通过计算两个N/2点序列的N/2点DFT，可以组合得到N点序列的DFT值，其组合过程如下图所示：

基2按频率抽取（DIF）的FFT算法思想： 在把按k的奇偶分组之前，把输入按n的顺序分成前后两半：

基2按频率抽取（DIF）的FFT算法思想：（续） 因为，则有，所以：按k的奇偶来讨论，k为偶数时： k为奇数时：

基2按频率抽取（DIF）的FFT算法思想：（续） 通过上面的推导，的偶数点值和奇数点值分别可以由组合而成的N/2点的序列来求得，其中偶数点值为输入x[n]的前半段和后半段之和序列的N/2点DFT值，奇数点值为输入x[n]的前半段和后半段之差再与相乘序列的N/2点DFT值。

基2按频率抽取（DIF）的FFT算法思想：（续） 这样，也可以用两个N/2点DFT来组合成一个N点DFT，组合过程如下图所示：

FFT的实现 函数fft(x)可以计算R点序列的R点DFT值；而fft(x,N)则计算R点序列的N点DFT，若R>N，则直接截取R点DFT的前N点，若R<N，则x先进行补零扩展为N点序列再求N点DFT。函数ifft(X)可以计算R点的谱序列的R点IDFT值；而ifft(X,N)同fft(x,N)的情况。

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