第 4 讲幂函数

第4讲幂函数 1.了解幂函数的概念． 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.

1．幂函数定义 y＝xα 一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象：五个常用幂函数象，如图 3－4－1. 图 3－4－1

3．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内 直线 x＝1 的右侧，图象由下至上，指数α___________； y 轴和直线 x＝1 之间，图象由上至下，指数α________．由小到大由小到大

1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( ) C A．(0,0) B．(0,1) C．(1,1) D．(－1，－1) A

数为( B ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图 3－4－2，曲线是幂函数 y＝xα在第一象限内的图象， c4，c2，c3，c1 解析：作直线x＝m(m>1)与四条曲线的交点，从下到上，曲线的指数由小到大，故有c1>c2>c3>c4. 图 3－4－2

C 考点1 幂函数的概念上是增函数，判断函数 f(x)的奇偶性．

(1)幂函数y＝xα的特点：　　①系数必须为1；②指数必须为常数． (2)幂函数的单调性：①α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；②α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．

【互动探究】 (1)幂函数；(2)正比例函数；(3)反比例函数；(4)二次函数．

考点2 幂函数的图象 1 3 例 2：(2011 年陕西)函数y＝x— 的图象是( ) 答案：B

【互动探究】 2．图 3－4－3 给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( ) B 图 3－4－3

考点3 比较大小 例3：下列各不等式中正确的是( ) 答案：D

比较两个幂的大小，①如果指数相同而底数不同比较两个幂的大小，①如果指数相同而底数不同 (即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；②如果底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来比较大小；③如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有0,1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂．【互动探究】 3．已知a＞b＞0，那么2a,2b,3a的大小关系是( ) A．2a＞2b＞3a B．2b＜2a＜3a C．2b＜3a＜2a D．2a＜3a＜2b B

思想与方法 3．转化与化归思想在幂函数中的应用为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数． (1)求函数 f(x)的解析式；　　若函数 g(x)仅在 x＝0 处有极值，求 a 的取值范围．

解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0. ∴－1<m<3，又m∈Z，∴m＝0,1,2 而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数． m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4. (2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．

(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数得幂 指数－m2＋2m＋3>0，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋2m＋3 为偶数． (2)若函数g(x)仅在 x＝0 处有极值，抓住关键字“仅”，意味着函数没有其他极值点，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，则x2＋3ax＋9≥0 恒成立，这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等式恒成立的常规问题．

1．幂函数 y＝xα的性质是分α>0 和α<0 两种情况来讨论的． 2．要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数． 3．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象．

1．幂函数 y＝xα(α∈R)的幂指数α为常数，底数 x 是自变量，而指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的底数 a 为常数，指数 x 是自变量． 2．在比较大小时要特别注意是利用指数函数的单调性还是利用幂函数的单调性，指数函数 a>1 时单调递增，0<a<1 时单调递减；而幂函数α>0 时在第一象限单调递增，α<0 时在第一象限单调递减．

第 4 讲 幂函数