热力学

1. 第二篇 热学 一、热学的研究对象 热现象与热运动，以及热运动与其它运动形式之间相互转换所遵循的规律。 热运动是热现象的微观本质， 热现象是热运动的宏观表现。 二、热学的主要内容： 气体动理论 （微观角度，统计原理） 宏观量与微观量的关系 热力学 （能量角度） 热功转换的关系及条件

2. 第六章 气体动理论 基本内容： 理想气体状态方程 压强和温度的微观解释； 能量按自由度均分原理，理想气体的内能； 麦克斯韦速率分布律；

3. 斥力 r0 r O §6.1 气体动理论的基本概念 一、气体动理论 1．宏观物体是由大量的粒子（分子或原子）组成，粒子间有空隙 (大的分子其直径约为10-7m，小的如氧分子的直径3×10-10m) 2．物体内的分子在永不停息地作无规则的运动。 （扩散现象，布朗运动） 3．分子之间有相互作用力 为什么固体和液体不易压缩？

4. 二、几组概念： 1、系统与外界 由大量的不断作无规则运动的分子所组成的宏观物质叫系统；在系统外部，与系统的状态及其变化直接有关的物体称为外界。 系统与外界的划分是相对的 2、平衡态，准静态过程 若无外界影响，系统的宏观性质将在长时间内保持不变，这种状态称为平衡态。 系统从一个状态经过一系列中间状态变到另一个状态，这叫状态变化过程，简称过程。如果这其中经过的所有中间状态都无限接近平衡状态，则称这种过程为准静态过程，也叫平衡过程。平衡过程是无限缓慢地进行的极限过程。

5. 三、气体的状态参量 （P、V、T） 1、体积(V):气体分子所能达到的空间，即容器的容积。 单位 2、压强(P)气体分子作用在容器器壁单位面积上的正压力，是大量气体分子对容器器壁碰撞的统计平均效果。 单位：Pa 3、温度(T)物体的冷热程度，是气体分子热运动的剧烈程度的体现，是大量分子平均平动动能的量度。 热力学温度T 的单位：开尔文( K ) 标准状态 温度为0℃，压强为1atm，1mol气体的体积为22.4升

6. §6.2 理想气体状态方程 一、理想气体模型 1、理想气体：在任何情况下都服从玻意尔定律、查理定律以及盖-吕萨克定律的气体。 一般气体在压强不太大（与大气压比较），温度不太低（与室温比较）时都服从三条定律。 2、理想气体的微观模型 把气体看作是一群自由的、作无规则运动的弹性小球的集合。 （1）分子可视为质点； （2）分子间无相互作用力； （3）所有碰撞都是完全弹性的。

7. 二、理想气体状态方程 1、理想气体状态方程 式中Ｒ为摩尔气体常数，又称普适气体恒量，其值为： （其中P0，V0，T0为1mol理想气体在标准状态下的参数值） 满足此物态方程的气体称为理想气体

8. 说明： (1)、当M，μ，P一定，则V∝T──等压变化； 当M，μ，V一定，则P∝T──等容变化； 当M，μ，T一定，则P反比V──等温变化。 (2)、适用的条件是气体处于平衡状态的理想气体，对于实际气体，用此式计算的结果与实验数值有偏差。 2、令： 可得： 气体分子数密度；而气体的密度 Ｋ-玻尔兹曼常数

9. 3、混合理想气体的状态方程 道尔顿分压原理：混合气体的压强等于各组分的压强之和。 （各组分V，T相同） 令 混合理想气体的状态方程为：

10. 由 得 [例1] 容器内有压强为3×105Pa，温度为27C，密度为0.24kg/m3的某种气体，试分析该气体是哪一种气体？ 解：（注意温度要用热力学温标） T=273+27=300K 该气体是氢气

11. = P nkT 由 得 [例2] 计算标准状态下，任何气体在1cm3体积中含有的分子数。 解：标准状态下，P=1.013×105Pa，T=273.15K

12. §6.3 压强和温度的统计意义 一、理想气体的压强公式 1、理想气体的统计假设 (1)、容器中任一位置处，单位体积内的分子数（ｎ）不比其它位置占优势，即ｎ为恒量。 (2)、气体处于平衡态时，分子向各个方向运动的概率相等。 如气体在一个正方形体元中向六个方向运动的分子数各为1／6，在相互垂直的三个坐标轴上，分子速度在各个方向上的分量的平均值都相等，即 理解：“大量”分子，“平均”的意义！

13. y S1 c S2 mvix i x b -mvix a z 2、理想气体压强的统计意义 在x方向上，一个分子作用于 S1面碰撞前后其动量的改变量为： Pix=-mvix-mvix=-2mvix 该分子作用于S1面的冲量为：2mvix 分子对S1面连续两次碰撞所需时间为： 则单位时间内一个分子与S1面碰撞的次数为: 一个分子单位时间内作用在S1面上的冲量（一个分子对器壁S1面的平均冲力）为:

14. N个分子在x方向上作用在S1面的平均冲力为： N个分子作用在S1面的压强为： 由于： 所以： 压强公式 分子平均平动动能

15. (1)、该式将宏观物理量 P与微观量分子的平均平动动能 和分子数密度n 联系起来，揭示了压强的微观本质。 (2)、 、P及n为统计平均值，该式为统计规律。 1 1 = + + = + + 2 2 P p p n m v n m v L L 1 2 1 1 1 2 2 2 3 3 说明： (3)、如果容器内装有混合气体，它们的分子数密度分别为n1，n2 ......，则混合气体的总压强为：

16. 二、温度的统计意义 由压强的两个公式可得: 说明： 1、温度是物体冷热程度的量度，是物质微观热运动激烈程度的宏观表现。 2、温度也是一个具有统计意义的概念，它是大量分子热运动的集体表现。

17. [例3] 若气体分子的平均平动动能为1eV，问气体的温度为多少？ 解:设气体温度为T，温度公式得： [例4] 一个容器内贮有一摩尔氢气和一摩尔氧气，如果两种气体各自对器壁产生的压强分别为P1和P2，则两者的关系是什么? 解： n1=n2，T1＝T2 P＝nkT P1＝P2

18. §6.4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 一、自由度 确定一物体在空间位置所需之独立坐标个数。 火车：被限制在一曲线上运动，自由度为1； 轮船：被限制在一曲面上运动，自由度为2（经度、纬度） 飞机：自由度为3(经度、纬度、高度)

19. M 1 l M 2 1、质点及刚性杆子的自由度 M ( x,y,z ) 确定一质点在空间的位置需要三个坐标： 质点的自由度为3 确定一刚性杆子在空间位置需要六个坐标： M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2 ) 约束条件： 6个坐标中只有5个是独立的 刚性杆子的自由度为5

20. z P γ θ β α G o y x 平动自由度 3个 转动自由度 3个 2、刚体的自由度 G：x，y，z GP： α，β，γ 绕GP转角： θ 约束条件： 独立坐标数—— 6个 刚体自由度数6

21. 自由度 转动 平动 单原子分子 3 0 3 5 2 3 双原子分子 6 3 3 三原子( 多原子) 分子 3、 刚性气体分子的自由度 i (如：He) (如：H2、O2、N2) (如：H2O)

22. 气体分子的平动动能是按三个平动自由度平均分配的，每一个自由度上的平均平动动能均为气体分子的平动动能是按三个平动自由度平均分配的，每一个自由度上的平均平动动能均为 在温度为T的平衡态下，气体分子的每一个自由度都平均地具有 的动能。 二、能量按自由度均分原理 理想气体分子的平均平动动能为： 能量按自由度均分原理

23. 三、理想气体的内能 内能—气体中所有分子的动能和势能的总和称为气体的内能。 对于理想气体，分子间的相互作用力忽略不计，所以理想气体分子没有相互作用的势能。因此，理想气体的内能就是所有分子的各种运动动能的总和。 内能只是气体状态参数温度T的单值函数 气体状态变化时内能的增量:

24. 温度为T时， 摩尔理想气体分子的平均平动能。 讨论题：明确下列各种表示的物理意义 一个分子在温度T时每一个自由度上的平均动能。 一个分子在温度T时的平均平动动能。 温度为T时，自由度为i的一个分子的平均总动能。 温度为T时，1mol理想气体的内能。 温度为T时，摩尔理想气体的内能。 注意：K与R的对应量

25. [例5]在相同的温度和压强下，①．各为单位体积的氢气（视为刚性双原子分子气体）与氦气的内能之比为多少?[例5]在相同的温度和压强下，①．各为单位体积的氢气（视为刚性双原子分子气体）与氦气的内能之比为多少? ②．各为单位质量的氢气和氦气的内能之比又为多少? 解：设H2为1号气体，He 为2号气体 ①． Ｐ1 =Ｐ2；Ｔ1 = Ｔ2； Ｖ1 = Ｖ2 = 1 ∴ Ｍ1／μ1 = Ｍ2／μ2摩尔数相等 ｉ1 = 5，ｉ2 = 3 ②．M为单位质量，即M1= M2 =M=1kg．

26. [例6]一容器为10cm3的电子管．当温度T=300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为5×10-6 mmHg的高真空（1标准大气压为760 mmHg，空气可认为是刚性双原子分子）。问： ①．问此时管内有多少个空气分子？ ②．这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？ ③．平均转动动能的总和是多少？ ④．平均动能的总和是多少？ 解：设管内总分子数为N．刚性双原子分子有3个平动自由度，2个转动自由度．则： ①、 由 P = nkT = NkT／V．所以 N=PV／kT =1.61×1012个 ②、分子的平均平动动能的总和 ③、分子的平均转动动能的总和 ④、分子的平均动能的总和

27. §6.5 气体分子按速率分布规律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Δ x x N x x x 的粒子数 Δ + Δ 伽尔顿板实验 粒子落入其中一 格是一个偶然事件， 大量粒子在空间的 分布服从统计规律。 粒子数按空间 位置X 分布曲线

28. 速率区间 百分数 (m/s) 100 1.4 % ＜ 1859年麦克 斯韦从理论上 得到速率分布 定律。 1920年斯特 恩从实验上证 实了速率分布 定律。 100~200 8.1 % 分 子 实 速 验 率 数 分 据 布 的 200~300 16.5 % 300~400 21.4 % 400~500 20.6 % 500~600 15.1 % 600~700 9.2 % 700~800 4.8 % 800~900 2.0 % 900 0.9 % ＞

29. 分子速率分布在 区间内的分子数为dN， 一、速率分布函数 设气体总分子数为 N, 令 则气体分子速率分布函数为 f（v）的物理意义： 它表示速率v附近单位速率区间的分子数占分子总数的百分比。从统计意义上讲，它也表示任一分子具有的速率恰在v附近单位区间内的概率。

30. 二、Maxwell速率分布律 （1859年Maxwell导出的） 设系统处于热平衡状态，理想气体分子间相互作用可忽略，且无外力场作用，则气体分子在速率区间v—v＋dv内的分子dN占总分子数N的比率为： （1） 式中，T为热力学温度，m是分子质量，k为玻耳兹曼常数．可见，气体分子按速率分布由（T,m）两个因素决定。 上式称为Maxwell速率分布律。 Maxwell速率分布函数为： （2）

31. f (v) dN f (v)= N dv v v dv 讨论： 1．f（v）曲线: 图中小矩形面积 表示v～v+dv速率区间内的分子数占总分子数的百分比。 具有中等速率的分子数多。

32. 2、任一速率间隔12中的分子数所占的比率为2、任一速率间隔12中的分子数所占的比率为 对从0所有可能速率积分，则有 速率分布函数的归一化条件： 3、不同温度，不同质量分子的速率曲线的比较 f(v)与温度T和分子的质量m有关.

33. f (v) f (v) T低 m大 m小 T高 0 v v 0 三、分子速率的三种统计平均值 1、最概然（最可几）速率 f（v）分布曲线有一极大值，对应的速率称为最概然速率，表示对于一系列相同间隔的区间，Vp附近分布的分子数最多。

34. 2、平均速率 3、方均根速率

35. f (v) o v v v v p 2 v v v ＞ ＞ 2 p 方均根率最大，平均速率次之，最概然速率最小

36. 例7、已知f（v）为Maxwell速率分布函数，vp为最概然速率，n为分子数密度．问以下各式表示什么意思？例7、已知f（v）为Maxwell速率分布函数，vp为最概然速率，n为分子数密度．问以下各式表示什么意思？ 解： 表示速率在0～vp区间内的分子数占总分子数的百分比。 表示单位体积内，分子速率在v～v＋dv间隔内的分子数。

37. 表示速率在v1～v2间隔内的分子对速率算术平均值的贡献。表示速率在v1～v2间隔内的分子对速率算术平均值的贡献。 它并不等于分子速率从v1～v2的分子速率的平均值，因为速率从v1～v2的分子速率的平均值为： N1是v1→v2速率区间的分子数，而N是整个速率区间内的总分子数。

38. f (v) vp v 例8、求气体分子速率与最概然速率之差不超过１％分子占全部分子的百分之几？ 解： 代入： 得：

39. 本章小结 理想气体状态方程 压强的微观本质 温度的微观本质 麦克斯韦速率分布律

40. 能量按自由度均分原理 理想气体内能公式 三种速率比较 适用于麦克斯韦速率分布 适用于求平均碰撞次数 适用于分子的平均能量