A. Menemukan Dalil Pythagoras

1. A. Menemukan Dalil Pythagoras 1. Menemukan Dalil Pythagoras. “ Pada setiap segitiga siku-siku , luas daerah persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas daerah persegi pada sisi-sisi siku-sikunya “

2. B c a C b A Teorema Pythagoras Dalam segitiga siku-siku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. c2 = a2 + b2

3. B c a C b A 2. Menyatakan Dalil Pythagoras dalam bentuk Rumus c2 = a2 + b2 b2 = c2 - a2 a2 = c2 - b2

4. B. Menggunakan Dalil Pythagoras 1. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku jika sisi lain diketahui Contoh : Diketahui segitiga ABC siku-siku di A , dengan panjang AC = 6 cm dan panjang AB = 8 cm . Tentukan panjang BC !

5. C 6 A 8 B Jawab : BC2 = AC2 + AB2 BC2 = 62 + 82 BC2 = 36 + 64 BC2 = 100 BC =  100 BC = 10 Jadi panjang BC = 10 cm

6. 2. Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisinya Untuk menentukan jenis segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a , b , dan c (a merupakan sisi terpanjang) dapat menggunakan Dalil Pythagoras dengan ketentuan sebagai berikut :

7. #. Jika dalam segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2 , maka segitiga ABC tersebut merupakan segitiga siku-siku. Dalam hal ini dikenal dengan istilah Tripel Pythagoras. Tripel Pythagoras adalah kumpulan 3 buah bilangan bulat positif yang memenuhi syarat “ kuadrat salah satu bilangan sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain “ .

8. Jika sisi-sisi segitiga adalah tripel pythagoras , maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. #. Jika dalam segitiga ABC berlaku a2 < b2 + c2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga lancip. #. Jika dalam segitiga ABC berlaku a2 > b2 + c2 , maka segitiga ABC merupakan segitiga tumpul.

9. Contoh : a.Segitiga dengan sisi 3,4,dan 5 satuan adalah siku-siku , sebab 52 = 32 + 42 b.Segitiga dengan sisi 9,7,dan 8 satuan adalah lancip , sebab 92 < 72 + 82 c.Segitiga dengan sisi 8,5,dan 6 satuan adalah timpul , sebab 82 > 52 + 62

10. R 13 P 5 Q Soal latihan 1. Pada gambar di samping, hitunglah panjang sisi PR !

11. R 13 P 5 Q Jawab : PR2 = QR2 – PQ2 PR2 = 132 – 52 PR2 = 169 – 25 PR2 = 144 PR =  144 PR = 12

12. 2. Tentukan nilai x pada segitiga siku-siku, gambar disamping !

13. Bukti Teorema 2.1: A

14. Teorema 2.2 (Teorema Apollonius) Jika sisi-sisi dalam segitiga ABC adalah a, b dan c, panjang garis berat yang melalui titik-titik sudut A, B dan C berturut-turut adalah ma, mb dan mc maka ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4.

15. Bukti Teorema 2.2 Berdasarkan Teorema 1.6, dalam ABC berlaku ma2.a=b2.a/2 +c2.a/2 +a/2.a/2.a atau ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4 A b c ma a/2 a/2 C D B

16. Teorema 2.3 Jika panjang masing-masing sisi dari ABC adalah a, b dan c, dan garis bagi dalam sudut C memotong sisi c atas bagian-bagian yang panjangnya c1 dan c2, serta panjang garis bagi dalam tersebut dinyatakan dengan dc, maka dc2= ab – c1c2.

17. Bukti Teorema 2.3 Dengan sifat perbandingan dlm segitiga ABC, maka c1 : c2 = b : a. Akibatnya (c1 + c2) : (b + a) = c1 : b atau c1 = bc/(a+b) Dengan cara serupa diperoleh c2 = ac/(a+b) Untuk menentukan dc, dipakai Teorema 1.6 CD2.AB = BC2.AD + AC2.BD – AD.BD.AB atau dc2 .c = a2.c1 + b2.c2 – c1.c2.c Substitusi c1 dan c2 ke kesamaan terakhir diperoleh dc2 = ab – c1c2.  C a b dc c1 c2 D B A

18. Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD • Dibentuk Kelompok, masing-masing kelompok terdiri dari 5 peserta diklat dengan anggota yang heterogen • Masing-masing kelompok memilih pemimpin secara demokratis untuk memimpin diskusi bagi para anggota kelompok. • Tiap anggota tim menggunakan Lembar kerja akademik dan saling membantu untuk menguasi bahan ajar dengan tanya jawab atau diskusi antar sesama anggota tim. • Masing-masing kelompok menunjuk wakilnya untuk mempresentasikan hasil kerja kelompok.

19. Permasalahan 1 Tunjukkan bahwa: a. Dua segitiga yang tingginya sama, perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan panjang sisi alasnya. b. Segitiga-segitiga yang alasnya sama dan titik-titik puncaknya terletak pada sebuah garis yang sejajar sisi alas, luas daerahnya sama.

20. Permasalahan 2 Tunjukkan bahwa: a. Dua segitiga yang salah satu sudutnya kongruen perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan hasil kali panjang kedua sisi yang mengapit sudut yang kongruen. b. Dua segitiga yang sebangun perbandingan luas daerahnya sama dengan perbandingan kuadrat panjang sisinya yang seletak.

21. Permasalahan 3 Tunjukkan bahwa: a. Luas daerah segiempat sama dengan hasil kali panjang kedua diagonalnya dan sinus sudut yang terbentuk oleh kedua diagonal. b. Dalam suatu segiempat garis singgung, jumlah panjang pasangan sisi yang berhadapan sama.

22. Permasalahan 4 Buktikan bahwa jika dalam ABC yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b dan c; garis bagi luar sudut C memotong perpanjangan sisi AB di titik D, dengan DA = c1 dan DB = c2, serta panjang garis bagi luar itu dinyatakan dengan dc, maka

23. Permasalahan 5 Definisi Sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi segitiga disebut transversal sisi. Teorema Menelaos Jika dalam ABCsebuah transversal sisi g memotong sisi AB, BC dan AC atau perpanjangannya berturut-turut di titik P, Q dan R, maka Buktikan Teorema Menelaos !

24. PA QB RC = - x x 1 PB QC RA Permasalahan 6 Definisi Sebarang garis lurus yang melalui sudut suatu segitiga disebut transversal sudut Teorema De Ceva Jika tiga buah transversal sudut pada suatu ABC melalui sebuah titik sudut, dan transversal sudut dari titik-titik sudut C, A dan B berturut-turut memotong sisi-sisi AB, BC, dan CA atau perpanjangannya di titik P, Q dan R maka Buktikan Teorema De Ceva !

25. Petunjuk Permasalahan 4 Perhatikan gambar disamping C1   C2 DA = c1 dan DB = c2 • Kemudian gunakan Teorema Perbandingan pada ABC, AC : BC = c1 : c2 Untuk mendapatkan nilai c1 dan c2. • Selanjutnya gunakan Teorema Stewart pada DBC C 2 1 a dc b D A B c

26. Petunjuk Permasalahan 5 Perhatikan gambar disamping • Ruas garis – ruas garis AA1, BB1 dan CC1 masing-masing tegak lurus pada garis tranversal g. • Gunakan kenyataan bahwa APA1  BPB1, BQB1  CQC1 CRC1  ARA1 R C C1 Q B1 A B P A1 g

27. Petunjuk Permasalahan 6 Perhatikan gambar disamping • Dalam pembuktian ini digunakan notasi: AB = -BA. • Gunakan Teo. Menelaos pada PBCdengan transversal sisi AQ, dan pada APC dengan transversal sisi BR. C R Q A P B

28. Penyelesaian Permasalahan 1a Perhatikan gambar disamping Luas ABC : Luas PQR = ½ c.t : ½ r.t = c : r C R t t Q A B P c r

29. Penyelesaian Permasalahan 1b Perhatikan gambar disamping Luas ABC = ½ AB . t Luas ABD = ½ AB . t Luas ABE = ½ AB . t Luas ABF = ½ AB . t D F C E t A B

30. Penyelesaian Permasalahan 2a Perhatikan gambar disamping Pada ABC dan PQR diketahui:  CAB = RPQ = x. Akibatnya Luas ABC : Luas PQR = ½ AB.AC sin x : ½ PQ.PR sin x = AB . AC : PQ : PR C R x x A B P Q

31. Penyelesaian Permasalahan 2b Perhatikan gambar disamping ABC  PQR Luas ABC : Luas PQR = bc : qr = ac : pr = ab : pq Akibatnya acpq = abpr atau cq = br atau c : r = b : q Selanjutnya bc : qr = c2 : r2 = b2 : q2 = a2 : p2 R C A B P Q

32. Penyelesaian Permasalahan 3a Perhatikan gambar disamping L ABCD = L ABD + L BDC = ½ BD.CP.sinx + ½ BD.AP.sinx = ½ BD (CP + AP) sin x = ½ BD.AC.sin x C D x P A B

33. Penyelesaian Permasalahan 3b Perhatikan gambar disamping ABCD segiempat garis singgung AB + CD = AP + PB + CR + RD = AS + BQ + QC + SD = AS + SD + BQ + QC = AD + BC R C D S Q A B P

34. Sekian Terima Kasih Atas Perhatiannya