Campos escalares

1. Campos escalares Fórmula de Reducción y Teoría de perturbación

2. 1.- Fórmula de Reducción para Campos Escalares Hasta 1954 la única forma de calcular era por medio de la expansión perturbativa de la corriente que es el término inhomogéneo de la ecuación para el campo. Después Low, Lehmann, Symansik y Zimmermann (LSZ) mostraron como obtener información general contenida en S sin acudir a las expansiones perturbativas de acoplamiento débil. Esto lo lograron aplicando las condiciones asintóticas del campo: (1.1) con el fin de expresar los los elementos de la matriz de interés en términos de valores de expectación de operadores de campo en el vacío. La Técnica de Reducción de (LSZ) extrae la información de los estados físicos (1.2) y los “despliega” en términos de operadores de campo “ensandwichados” entre estados de vacío.

3. Considerando el elemento de matriz: Donde son las partícuals emergiendo del estado saliente . estado entrando correspondiente a un conjunto de partículas entrando mas una adicional con momento p. Utilizando la condición asintótica se busca extraer una partícula p del estado . (1.3) representa un estado saliente con la partícula p, si está presente, extraída del conjunto . Si p no está incluida en dicho conjunto este término no aparece. Si representa un estado entrante de dispesrión de dos partículas, contribuye a la dispersión elástica en donde la partícula proyectil y la partícula blanco conservan su momento. considerando la condición asintótica de los campos se tiene:

4. Por otra parte: Y debido a que Se tiene que: (1.4) Este procedimiento puede ser repetido hasta haber removido todas las partículas del estado “entrante” (in) así como para el estado “saliente” (out) tal que sólo queden promedios de operadores en el estado de vacío. Si por ejemplo se quiere remover una partícula de momento p´ de la expresión (1.4) del conjunto entonces se debe considerar: Nuevamente utilizando la condición asintótica se obtiene:

5. Con esto obtenemos: (1.5) Aplicando la técnica de reducción para remover todas las partículas de los estados “in” y “out” se obtiene el valor de expectación en el estado de vacío de un producto de operadores de campo: (1.6) • Esta ecuación sirve como piedra angular para la teoría de cuantisación de campo. • La expresión representa la suma de todos los diagramas de Feynman de r partículas creadas o destruidas en los puntos (z1…zr). • La fórmula de reducción (1.6) muestra que los elementos de la matriz S no son mas que la función de Green de r=n+m partículas con las patas externas removidas y con los momentos externos en la superficie de masa pi2=qj2=m2.

6. 2.-Teoría de perturbación para campos escalares • Es posible expandir en términos de • El espectro de los estados exactos está en correspondencia 1-1 con los estados no perturbados. • Se asume que para cada hay un campo . • Los términos de interacción no dependen de las derivadas de los campos. 2.2 Matriz U Los campos cumplen con las mismas relaciones de conmutación a tiempos iguales. Debido a [3] (2.1) Como las ecuaciones de movimiento de y de son conocidas, entonces se puede encontrar la ecuación dinámica para U(t). Donde es el hamiltoniano para un (2.2) campo libre descrito con la masa m.

7. Mientras que para los campos exactos: Suponiendo la relación Entonces se obtiene la condición: Y así la ecuación para el operador U(t) es: Con la ayuda de U podemoes escribir los valores de (2.3) expectación en le vacío del producto de operadores, a los que todos los elementos de S han sido reducidos, como una serie infinita de campos “in”.

8. Definiendo se cumple (2.4) Podemos definir la condición inicial U(t,t)=1 obteniendo al expresión para U como: Iterando n veces: Debido a que los términos de interacción están ordenados temporalmente Por otra parte (2.5) En general para el término n-ésimo se tienen n permutaciones, y habrá n integraciones en

9. Entonces se tiene: (2.6) Algunas propiedades de este operador son: 1) U(t,t´) es unitario. 2) (2.7) 3)

10. 2.3Expansión perturbativa de funciones Tau y la matriz S Utilizando las relaciones (2.1) y la expresión para U se puede expandir los elementos de la matriz S en términos de los valores de expectación de los campos . Definiendo: Se puede expresar en términos de los campos entrantes. Donde t es un tiempo de referencia que se podrá aproximar a . En este límite “-t” es el tiempo mas “temprano” y “t” es el tiempo mas “tardío”. Con esto la ecuación anterior queda: (2.8)

11. Pero es eigenestado de los operadores U(-t) y de U-1(t) ya que: Utilizando la condición asintótica : Donde el primer término se anula y el segundo es: Quedando de esta forma que lo cual implica: Entonces el factor que resulta en la ecuación (2.8) es:

12. Quedando así: (2.9) La matriz S en (1.6) se debe expresar primero en términos de la función (2.9) y así se encuentra la expresión de los elementos de matriz en términos de los campos de los cuales conocemos sus propiedades y la conexión con los propagadores de Feynman.

13. 2.4 Teorema de Wick Este teorema nos dice como se relacionan el producto temporal ordenado de operadores con el ordenamiento normal del producto y las contracciones de Wick. (2.10) Las contracciones de Wick aparecen ya que se conmutan los operadores para llevarlos a su orden normal. Orden normal. Dada la descomposición de un operador (2.11)

14. Un producto de operadores está en orden normal cuando todos operadores se encuentran a la derecha de todos los operadores . Entonces se define como: (2.12) Dado que y se tiene que: • Para n par (2.13) • Para n impar Con esto se puede expresar la matriz S en términos de los propagadores de Feynman de partícula libre.

15. Prueba La prueba se realiza por inducción. 1. Donde el número c es el resultado del conmutador de los campos y Por definición , entonces: Suponiendo que el teorema se cumple para algún n entonces buscamos que se cumpla para n+1. Considerando con tn+1 el tiempo mas temprano: (2.15)

16. El último término aparece debido a que para poder poner el campo en orden normal es necesario conmutar con todas las componentes de los campos . Esto deja una serie de términos multiplicados por un factor de conmutación. Por otra parte: Y entonces: (2.16) Donde el segundo término del lado derecho de la igualdad será el término restante para las contracciones de un orden mayor. Sustituyendo (2.16) en (2.15) se obtiene lo requerido. Nota.- el hamiltoniano de interacción está ordenado normalmente, entonces al trabajar con el teorema de Wick con el hamiltoniano de interacción no aparecen contracciones de Wick. Entonces es claro que

17. 2.5 Representación gráfica Las contracciones de Wick que aparecen en la teoría de campo escalar son de la forma: Y análogamente para los propagadores de Feynman para ferminoes y bosones con espin diferente de cero existe una representación gráfica : Los diagramas correspondientes son: x x α xμ y yβ yν

18. Ejemplo Campo escala con auto interacción. Una contribución a la expansión con segundo oreden en y primer orden en la corrección de masa es: La representación gráfica de esta expresión puede ser: con Diagrama que no ocurre