ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

1. ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็นทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

2. การดำเนินการของเซตของเหตุการณ์การดำเนินการของเซตของเหตุการณ์ ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังรายคาบ 1. หายูเนียน (Union), อินเตอร์เซ็กชั่น (Intersection), คอมพลีเมนต์ (Complement) และผลต่าง (Difference) ของเหตุการณ์ที่กำหนดให้ได้ 2. บอกได้ว่าเหตุการณ์ที่กำหนดให้ 2 เหตุการณ์ใดๆ เป็นเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน หรือไม่

3. การดำเนินการของเซตของเหตุการณ์การดำเนินการของเซตของเหตุการณ์

4. ทบทวน การดำเนินการ สัญลักษณ์ ความหมาย ตัวอย่างเมื่อU={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3} ,B={2,3,4} ยูเนียน (Union) เอาสมาชิกรวมกัน A B={1,2,3,4} อินเตอร์เซ็กชั่น (Intersection) หาสมาชิกร่วมกัน A B={2,3} ผลต่าง (Difference) ลบ สมาชิกที่ซ้ำกับเซตหลังออก A B = {1} B A = {4} คอมพลีเมนต์(Complement) ’ สมาชิกที่ไม่อยู่ในเซตนั้นแต่อยู่ใน U A’ = {4,5,6} B’ = {1,5,6} การกระทำกันของเซต

5. บทนิยามที่ 1ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ แล้ว ยูเนียนของเหตุการณ์ E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ E1 หรือของเหตุการณ์ E2 หรือทั้งสองเหตุการณ์ ซึ่งเขียนแทนด้วย E1 E2 คือเอาสมาชิก E1รวม กับ E2 E1 E2 ดังนั้น E1 E2 = { 1,3,5,6 } ยูเนียนของเหตุการณ์ (Union of Events) ตัวอย่างที่ 1 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จะได้ว่า แซมเปิลสเปซ S = { 1,2,3,4,5,6 } ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว นั่นคือ E1= { 3,6 } นั่นคือ E2= { 1,3,5} ให้ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนคี่

6. อินเตอร์เซ็กชั่นของเหตุการณ์ (Intersection Events) บทนิยามที่2 ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ แล้ว อินเตอร์เซ็กชั่นของเหตุการณ์ E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเหตุการณ์ E1 และเหตุการณ์ E2 เขียนแทนด้วย E1 E2 คือหาสมาชิก E1ร่วม กับ E2 E1 E2 ดังนั้น E1 E2 = { ตัวอย่างที่2ในการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง จะได้ว่า แซมเปิลสเปซ S = {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่โยนได้หัว 2 ครั้งนั่นคือ E1={HHT,HTH,THH} ให้ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้หัวในการโยนครั้งแรกนั่นคือ E2= {HHH,HHT,HTH,HTT} HHT, HTH }

7. บทนิยามที่ 3ถ้า E เป็นเหตุการณ์ซึ่งอยู่ในแซมเปิลสเปซ S แล้ว คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ E คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E ซึ่งเขียนแทนด้วย คือสมาชิกที่ไม่อยู่ในเซตนั้นแต่อยู่ใน U ดังนั้น = { HT,TH,TT } คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of an Events) ตัวอย่างที่ 3ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง จะได้ว่า แซมเปิลสเปซ S = {HH,HT,TH,TT} ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่โยนได้หัวทั้ง 2 เหรียญนั่นคือ E = {HH}

8. คือลบสมาชิก E1ที่ซ้ำกับ E2 ออก E1 E2 ดังนั้น E1 E2 = { 6 } ผลต่างของเหตุการณ์ (Difference of Events) บทนิยามที่ 4 ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ แล้วผลต่างของ E1 และ E2 หมายถึง เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ใน E1 แต่ไม่เป็นผลลัพธ์ใน E2 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E1 - E2 ตัวอย่างที่ 4 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จะได้ว่า แซมเปิลสเปซ S = { 1,2,3,4,5,6 } ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัวนั่นคือ E1= { 3,6 } ให้ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนคี่นั่นคือ E2= { 1,3,5}

9. บทนิยามที่ 5 ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่มี E1 E2 = แล้วจะเรียกเหตุการณ์ E1 และ E2 ว่าเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันคือเหตุการณ์ที่ = ดังนั้น E1 E2 = E1 E2 เหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน (Mutually Exclusive Events) ตัวอย่างที่ 4 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง จะได้ว่า แซมเปิลสเปซ S = { 1,2,3,4,5,6 } ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่นั่นคือ E1= { 2,4,6} ให้ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนคี่นั่นคือ E2= { 1,3,5}

10. แบบฝึกทักษะที่ 2 ทฤษฏีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น

11. 1. โยนลูกเต๋า 1 ลูก ใน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มของลูกเต๋า จะได้ว่า 1) แซมเปิลสเปซ คือ 2) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนคู่ E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนเฉพาะ

12. เอาสมาชิกรวมกัน 3) ยูเนียนของเหตุการณ์ E1 และ E2 คือ หาสมาชิกร่วมกัน 4) อินเตอร์เซ็กชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 คือ

13. 2. มีคน 5 คน ในจำนวนนี้ มี นายดำและนายแดงรวมอยู่ด้วย ให้คนทั้งหมดเรียงแถวยาวอย่างสุ่ม จะได้ว่า ยืนต่ำแหน่งที่ 1ทั้ง 5 คนมีสิทธิ์นั่ง 5 วิธี ยืนต่ำแหน่งที่ 2 เหลือ 4 คนมีสิทธิ์นั่ง 4 วิธี ยืนต่ำแหน่งที่ 3 เหลือ 3 คนมีสิทธิ์นั่ง 3 วิธี 1) จำนวนผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ คือ นายแดงยืนติดนายดำวิธีคิดมัดนายแดงกับนายดำไว้ด้วยกันเหลืออีก 3 คน สิ่งที่นำมาจัดจาก 5 วิธีเป็น 4 วิธี ตำแหน่งที่ 1 มีสิทธ์นั่ง 4 วิธี เหตุการณ์ที่นายแดงและนายดำยืนติดกัน นายแดงยืนติดนายดำสลับได้อีก 2 วิธีจึงต้องคูณด้วย 2 2) ให้ E แทนเหตุการณ์ที่นายดำและนายแดงยืนแยกจากกันจงหา

14. 3. โยนลูกเต๋า 1 ลูก ใน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มของลูกเต๋าให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนคี่ E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว E3 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็นจำนวนที่มากกว่า 2 จงหา 1) แซมเปิลสเปซ คือ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 } E1 ={1 , 3 , 5} 2) E1 , E2 , E3 E2 ={ 3 , 6} E3 ={3 , 4 , 5 ,6 }

15. เอาสมาชิกรวมกัน เอาสมาชิกรวมกัน

16. หาสมาชิกร่วมกัน

18. 4. กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง หมายเลข 1, 2, 3, 4 หมายเลขละลูก และมีลูกบอลสีขาวหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 หมายเลขละลูก สุ่มหยิบ ลูกบอล 1 ลูก จากกล่องใบนี้ จะได้ว่า 1) แซมเปิลสเปซ คือ , , , , S = { , , , , 3 } 1 2 4 5 1 2 3 4 • ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้ลูกบอลสีแดง E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ลูกบอล หมายเลขที่เป็นจำนวนคู่ จงหา E1 , E2 , , , E1 = { } , , , E2 = { }

19. 3) หา E1 - E2 และ E2 - E1 สมาชิกอยู่ใน E1แต่ไม่อยู่ใน E2 E1 = { , , , } 1 1 2 3 3 4 E2 = { , , , } 2 4 2 4 2 4 E1- E2 = { } , E2- E1={ } , สมาชิกอยู่ใน E2แต่ไม่อยู่ใน E1

20. 5. โยนลูกเต๋า 2 ลูก ใน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ผลรวมแต้มของลูกเต๋าทั้งสองลูก จะได้ว่า 1) แซมเปิลสเปซ คือ S = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } 2) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มไม่น้อยกว่า 10 E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มเป็นจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว จงหา E1 , E2 E1 = { 10 , 11 , 12 } E2 = { 5 , 10 }

21. 3) หา E1 E2 และ E2 E1 เอาสมาชิกรวมกัน หาสมาชิกร่วมกัน E1 = { 10 , 11 , 12 } E2 = { 5 , 10 }

22. แต้มของลูกเต๋าที่ขึ้นแต้มของลูกเต๋าที่ขึ้น หน้าของเหรียญ 6. โยนเหรียญ 1 เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลูกใน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ หน้าของเหรียญและแต้มของลูกเต๋าที่ขึ้น แต้มของลูกเต๋าที่ขึ้น หน้าของเหรียญ 1) จงหาแซมเปิลสเปซ S = { (H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6), (T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}

23. เหรียญขึ้นหน้าหัว แต้มของลูกเต๋าเป็นจำนวนคี่ 2) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหน้าหัว E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มของลูกเต๋าเป็นจำนวนคี่ จงหา E1 , E2 E1 = { (H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6) } E2 = { (T,1),(H,1),(T,3),(H,3),(T,5),(H,5) } 3) หา E1 - E2 และ E2 - E1 E1 - E2 = { (H,2),(H,4),(H,6) } E2 - E1 = { (T,1),(T,3),(T,5) }

24. 7. สุ่มหยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ดอกไพ่ที่ได้ จงหาว่า 2) ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ได้ไพ่โพแดง จงหา E และ = {Aโพดำ, 2โพดำ, 3โพดำ, . . . ,J โพดำ , Qโพดำ, Kโพดำ Aหลามตัด, 2หลามตัด , 3หลามตัด, . . . ,J หลามตัด,Qหลามตัด, Kหลามตัด Aดอกจิก,2ดอกจิก, 3ดอกจิก, . . . ,Jดอกจิก,Qดอกจิก, Kดอกจิก} 1) แซมเปิลสเปซ ไพ่สำรับหนึ่งมี 52 ใบ E = { Aโพแดง,2โพแดง, 3โพแดง, . . . ,J โพแดง,Qโพแดง, Kโพแดง}

25. 8. สุ่มหยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มของ ไพ่ที่เป็นตัวอักษรภาษาอังกฤษที่ได้ จงหาว่า 1) แซมเปิลสเปซ คือ S = {Aดอกจิก, Aหลามตัด, A โพแดง, A โพดำ , Jดอกจิก, J ข้าวหลามตัด, J โพแดง, J โพดำ , Qดอกจิก, Q ข้าวหลามตัด, Q โพแดง, Q โพดำ , Kดอกจิก, K ข้าวหลามตัด, K โพแดง, K โพดำ} 2) ให้ E แทนเหตุการณ์ที่ได้ไพ่ J จงหา E E = { Jดอกจิก, Jข้าวหลามตัด, Jโพแดง, Jโพดำ}

26. 9. กล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปองสีขาว 3 ลูกสีแดง 2 ลูกสีเขียว 1 ลูกสุ่มหยิบลูกปิงปอง จากกล่องสามลูกจงหา 1 2 3 1 2 1 1) แซมเปิลสเปซคือ มีลูกปิงปอง6 ลูก ต้องการเลือกมา 3 ลูก n=6 r=3 แทนค่าในสูตร จะได้ดั้งนี้ 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 3 1 2 3 1 1 3 2 1 1 2 1 สามารถหาได้จากการคำนวณ

27. มีลูกปิงปองที่ไม่ใช่สีแดง 4 ลูก ต้องการเลือกมา 1 ลูก n=4 r=1 แทนค่าในสูตร จะได้ดั้งนี้ 2) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้ลูกบอลสีแดงสองลูก E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ลูกบอลสีขาวเพียงหนึ่งลูก จงหา E1 , E2 มีลูกปิงปองสีแดง3 ลูก ต้องการเลือกมา 2 ลูก n=2 r=2 แทนค่าในสูตร จะได้ดั้งนี้ 1 1 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 สามารถหาได้จากการคำนวณ มีลูกปิงปองไม่ใช่สีขาว 3 ลูก ต้องการเลือกมา 1 ลูก n = 3 r =1 แทนค่าในสูตร จะได้ดั้งนี้ มีลูกปิงปองสีขาว 3 ลูก ต้องการเลือกมา 1 ลูก n = 3 r =1 แทนค่าในสูตร จะได้ดั้งนี้ 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 3 1 2 สามารถหาได้จากการคำนวณ

28. 3) หา E1 E2 , E2 E1 และ E1 - E2 1 1 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 ทุกตัวเป็นสมาชิกของเซต E2 สมาชิกที่อยู่ในE1ที่ไม่อยู่ใน E2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 สมาชิกที่อยู่ทั้งในE1และE2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 3 1 2 1 2 1 สมาชิกที่อยู่ในE1ที่แต่ไม่อยู่ใน E2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1

29. 4) หา n( E1 ) , n( E2 ) และ n( E2 E1 ) 1 1 2 3 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 1 3 2 1 3 1 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2

30. 10. กล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปองซึ่งมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 หมายเลขละ 1 ใบ สุ่มหยิบลูกปิงปองออกมา 2 ลูกพร้อมกันผลลัพธ์ที่สนใจคือหมายเลข ของลูกปิงปองที่หยิบได้จงหาว่า 1) แซมเปิลสเปซคือ 2 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 S = { , , , , , } 2) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้หมายเลขเป็นจำนวนคู่ทั้งสองลูก E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของหมายเลขทั้งสองเป็นจำนวนคี่ จงหา E1 , E2 E1 = { ( 2,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 3,4 ) }

31. 3) หา E1 E2 , E2 E1 และ E1 - E2 จาก E1 = { ( 2,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 3,4 ) } เนื่องจากไม่มีสมาชิกร่วมกันใน E1และ E2

32. 4) หา n( E1 ) , n( E2 ) และ n( E2 E1 ) จาก จาก E1 = { ( 2,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 3,4 ) }

33. 11. กล่องใบหนึ่งมีลูกปิงปองซึ่งมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 หมายเลขละ 1 ใบ สุ่มหยิบลูกปิงปองออกมา 2 ลูกโดยหยิบทีละลูกแล้วใส่คืนที่ผลลัพธ์ที่ สนใจคือหมายเลขของลูกปิงปองที่หยิบได้จงหาว่า 1) แซมเปิลสเปซคือ S = { ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) ( 3,3 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) } 2) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้หมายเลขเป็นจำนวนคู่ทั้งสองลูก E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของหมายเลขทั้งสองเป็นจำนวนคี่ จงหา E1 , E2 E1 = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,3 ) }

34. 3) หา E1 E2 , E2 E1 และ E1 - E2 จาก E1 = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) } E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,3 ) } เนื่องจาก E1และ E2ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย

35. 4) หา n( E1 ) , n( E2 ) และ n( E2 E1 ) เนื่องจากไม่มีสมาชิกในเซต จาก จาก E1 = { ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 4,2 ) , ( 4,4 ) } จาก E2 = { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 4,1 ) , ( 4,3 ) }