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四边形复习

四边形复习. 王进伟 芳星园中学. 四边形小结与复习. 一、四边形知识结构. 二、复习建议. 三、典型例题讲解. 四、课例赏析. 一、四边形知识结构. 多边形. 内 . 外角和. 平形四边形. 四边形. 中心对称. 三角形中位线. 梯形. 四边形. 梯形. 直角 梯形. 一、四边形知识结构 —— 主要内容. 矩形. 一组邻边 相等. 有一个角 是直角. 多边形. 正方形. 平行四 边形. 有一个角 是直角. 两组对边 分别平行. 一组邻边 相等. 菱形. 等腰 梯形. 两腰相等. 有一组对边平行

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四边形复习

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Presentation Transcript

  1. 四边形复习 王进伟 芳星园中学

  2. 四边形小结与复习 一、四边形知识结构 二、复习建议 三、典型例题讲解 四、课例赏析

  3. 一、四边形知识结构 多边形 内.外角和 平形四边形 四边形 中心对称 三角形中位线 梯形

  4. 四边形 梯形 直角 梯形 一、四边形知识结构——主要内容 矩形 一组邻边 相等 有一个角 是直角 多边形 正方形 平行四 边形 有一个角 是直角 两组对边 分别平行 一组邻边 相等 菱形 等腰 梯形 两腰相等 有一组对边平行 另一组对边不平行 有一个角 是直角

  5. 一、四边形知识结构——关系图 关 系 图 四边形 平行四边形 正方形 矩形 菱形 梯形

  6. 一、四边形知识结构——特殊四边形的性质（总结1）：一、四边形知识结构——特殊四边形的性质（总结1）： 对角相等 邻角互补 中心对称图形 平行且相等 互相平分 四个角 都是直角 中心对称图形 轴对称图形 平行且相等 互相平分且相等 对角相等 邻角互补 平行 且四边相等 互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形 四个角 都是直角 中心对称图形 轴对称图形 平行 且四边相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角

  7. 一、四边形知识结构——特殊四边形的性质（总结2）：一、四边形知识结构——特殊四边形的性质（总结2）： 练 习 题 根据图形所具有的性质，在下列表中打上“”或者“×”。                                                  

  8. （4）一组对边 平行且相等。 一、四边形知识结构——特殊四边形的常用判断方法： （1）两组对边分别平行； （2）两组对边分别相等； 平行 四边形 （3）两条对角线互相平分； （1）有三个角是直角； （2）是平行四边形，并且有一个角是直角； 矩 形 （3）是平行四边形，并且两条对角线相等。 （1）四条边都相等； （2）是平行四边形，并且有一组邻边相等； 菱 形 （3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 正方形 （1）是梯形，并且两条腰相等。 等 腰 梯 形 （2）是梯形，并且同一底上的两个角相等；

  9. 一、四边形知识结构——其它重要定理： 其它重要定理 1.多边形的内角和公式. n边形的内角和为：（n－2)×180°(n≥3). 3.矩形性质定理2推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 2.任意多边形的外角和为360°. 4.平行线间的距离处处相等。 5夹在两平行线间的平行线段相等。 6. 关于中心对称的两个图形的性质： （1）是全等形； （2）对称点的连线都经过 对称中心并且被对称中心平分。

  10. A D E A B B C D C 一、四边形知识结构——其它重要定理： 7.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的数学语言表示为： 　∵在△ABC中，AD=DB，AE=EC。 　∴DE∥BC，DE= BC 定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边。 定理：经过梯形一腰中点与底平行的直线，必平分另一腰。

  11. 二、复习建议 关于对称的问题 1．两种对称的异同点 对称分为中心对称与轴对称两种，它们的相同点是对称的两个图形是全等形，故对应线段、角都相等；它们的不同点是关于中心对称的两个图形里，对应线段平行，关于轴对称的两个图形里，对应线段不一定平行。 2．两种对称的关系 如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心。 3．几种特殊四边形的对称性 (1)平行四边形是以它对角线交点为对称中心的中心对称图形。 (2)矩形、菱形、正方形不仅是中心对称图形而且是轴对称图形。 (3)矩形、菱形有两条互相垂直的对称轴。 (4)正方形的对称轴分为两组，每组有互相垂直的对称轴。

  12. 关于有关问题证明方法的拓广 1．线段与角相等的证明 除了复习三角形时归纳的方法外，另补充如下： (1)把线段与角归结为平行四边形的边、对角线或对角，利用平行四边形的性质证明。 ①平行四边形的对边相等。 ②平行四边形的对角线互相平分。 ③平行四边形的对角相等 (2)矩形、正方形的对角线相等。(4)平行线间的距离处处相等。 (3)菱形、正方形的一组邻边相等。(5)夹在两平行线间的平行线段相等。 2．线段或角的和、差、倍、分问题的证明 （1）用平移法作辅助线证明,在长边上截取或延长短边。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  13. 3．线段垂直问题的证明 (1)用垂直的定义，即证明两线段的交角是直角。 (2)利用等腰三角形“底边三线合一”的性质证明。 (3)用线段垂直平分线定理的逆定理证明两线垂直。 (4)证明把两条线段的四个端点连结起来的四边形是菱形(或正方形)，利用菱形　(或正方形)对角线互相垂直的性质来证明两条线段垂直。 4．线段平行问题的证明 (1)内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，两直线平行。 (2)平行于同一条直线的两条直线平行。 (3)证两线是平行四边形(或矩形、菱形、正方形)的对边。

  14. 关于辅助线的问题 (1)平移法 通过作平行线，把线段或角移动到新的位置，使之与问题的条件、结论有关的元素(线段、角等)集中于同一个图形里。 (2)对称法 利用轴对称或中心对称的知识，通过找出图形中某些元素 (线段、角、点等)的对称元素，从而改变图形的位置，将分散的元素(线段、角) 集中在一起，从而得到解(证)题的方法。 (3)旋转法 为了使题目的条件与结论的关系显示清楚，把题设图形的部分(或全部)旋转一个角度，这种添置辅助线的方法叫旋转法。

  15. 关于图形翻折的问题 1、解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形. 2、本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”.

  16. 折叠前后重合的图形关于折痕成轴对称。 90° 方法1：将长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD=_______度 90

  17. D' C' 方法2： 如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数。 解决办法： 找全等图形中的对应等量

  18. F A D O B 求边时，利用勾股定理建立方程 C E ∴ x = （8 - x）+ 6 2 2 2 方法3：已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长. 可设AF=FC=xcm

  19. 需要注意的几个问题 1. 初中研究的多边形是凸多边形。 2. 三角形可以看成是边数最少的多边形 3.n边形有2n个外角,计算外角和时只计算 其中n个。 4. 正多边形是各个角都相等、 各条边都相等的多边形。

  20. 复习方法的小结 一抓：抓住边、角、对角线 解决特殊四边形的判定和性质问题。 二抓：抓住特殊三角形 解决特殊四边形的边与对角线的互求和求面积的问题。 三抓：抓住三角形中位线 解决特殊四边形的中点问题。 四抓 ：抓住转化思想 解决多边形和辅助线问题。

  21. 解题思维的小结 四边形的概念是建立在三角形的基础上，是知识的扩展与深化，研究它的性质，常常是将四边形转化成若干三角形(即三角形奠基法)，通过三角形的性质来研究，或者是运用作辅助线将四边形转化成三角形和平行四边形来讨论。至于矩形、菱形、正方形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。它们的判定方法也是在平行四边形的基础上增加一些特定的条件。平行四边形的有关定理是证明两线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据。

  22. B A O C D P 三、典型例题讲解 例1. ①如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试说明：四边形CODP是的形状。 分析：OC与OD的双重角色 解:四边形CODP 是菱形 ∵ DP∥OC, DP=OC ∴ 四边形CODP是平行四边形 又∵在矩形 ABCD 中 CO=AC DO= BD AC=BD ∴CO=DO ∴四边形CODP是菱形

  23. 三、典型例题讲解 A B 多题归一。 O A B 图一 O D C P C D P 图二 ②如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？ ③如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？

  24. 三、典型例题讲解 例2（1） 等腰直角三角形ABC中，E、F分别是AB、AC中点，沿EF剪开，可以拼成不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 。 A F E B C 新题型 矩形、平行四边形、等腰梯形中选两个

  25. 三、典型例题讲解

  26. (4) 如图所示,做一个红十会的大型“十”字标志,其周长为_________； 1m 三、典型例题讲解 与实际生活相联系 (2) 改变一个平行四边形四个角的大小,而不改变四条边的长,则所得的四边形是__________ ； 平行四边形 (3) 一个矩形相框的周长是40cm,一条边长是8cm,最大能装进面积是______ 的照片； 96cm2 4m

  27. （5）如图所示一种可活动的菱形衣帽架。若墙上钉子的距离AB=BC=12㎝，且∠AMB=∠BNC=60°，那么做这样的衣帽架至少需要㎝长的材料。（不计制作过程中的损耗）（5）如图所示一种可活动的菱形衣帽架。若墙上钉子的距离AB=BC=12㎝，且∠AMB=∠BNC=60°，那么做这样的衣帽架至少需要㎝长的材料。（不计制作过程中的损耗） A B C M N 不宜太复杂 三、典型例题讲解 144

  28. 总而言之 1) 要掌握各种特殊四边形的概念、性质和判定定理， 知道这些图形之间的联系与区别，并能运用有关知 识进行证明和计算。 2）做题时，常常需要添加辅助线，灵活地添加辅助线 可以把问题简化，应注意在这方面进行积累。 3）随着知识的丰富，解决问题的方法增多了，当遇到 一个问题有多种解法时，要注意选取简单的解法。 4）四边形在日常生活和生产中应用很广，复习中要 注意联系实际，活学活用。

  29. 四、课例赏析 梯形（复习）

  30. 教学目标 1、通过复习使学生更加熟练地掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，掌握等腰梯形同底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，并能够运用它们进行有关的论证和计算； 2、通过习题的解答与归纳，使学生领会化未知为已知，用已知求未知、化难为易的思想方法，从而提高学生的分析问题、解决问题的能力。

  31. 教学重点和难点 本课的重点是复习梯形的概念和等腰梯形的概念、性质并能够运用它们进行有关的论证和计算； 本课的难点是灵活的添加辅助线 把梯形转化为平行四边形或三角形。

  32. 两腰相等 等腰梯形 一组对边平行而 另一组对边不平行 梯形 有一个角是直角 四边形 直角梯形 A D C B 复习有关知识点 1.梯形的定义及类型： 2.等腰梯形的性质 (1)两底平行,两腰相等 AD∥BC, AB=CD (2)同底上两角相等 ∠A= ∠D, ∠B= ∠C (3)对角线相等 AC=BD (4)是轴对称图形

  33. A B D C 3、等腰梯形的判定方法： 1. 两腰相等的梯形是等腰梯形； 2. 同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形；

  34. 梯形中常见的辅助线 作两条高 延长两腰 平移一腰 过一腰中点 平移另一腰 过一腰中点， 平移上底 平移对角线上底

  35. 基础篇——回顾 155° 1、梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ B=25°，则∠ A=____ 2、等腰梯形ABCD中，AD ∥BC， ∠ A=120 °，则 ∠B=_______ , ∠C=_________, ∠ D=__________ 3、直角梯形ABCD中， 一腰长为12cm，一个角为 ，则一腰长为cm 4、梯形ABCD中， AD ∥BC， 请你指出面积相等的三角形？ 60 ° 60 ° 120 ° 6或24

  36. F E 基础篇——回顾 做一做 1、以线段a=16，b=11为梯形的两底，c=10为一腰，那么另一腰d的长度的范围是_________ 5<d<15 2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=70°,∠B=55°，AD=4，BC=6，则CD的长_________ 2

  37. D A A A D A A E F C B C E B D C C B B C B 提高篇——综合运用 想一想 1.根据下图你会想到哪些定理?

  38. E 综合运用1 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=3cm，BD=4cm，求梯形ABCD的面积 分析：如图平移对角线后，可以得到四边形ACED是_________形，所以AD=______, △BDE是______三角形，从而可以得到 S △ABD=_______ 因此S梯形ABCD=_________ =______cm2 平行四边 CE 直角 （平移对角线） 6

  39. 变式： 上例中，如果把梯形ABCD改为等腰梯形ABCD，其他条件不变，那么△BDE是什么三角形？梯形的面积与高DF有什么特殊关系？ △BDE是等腰直角三角形 S梯形ABCD=DF2

  40. 延长AH，交BC延长线于点E 由条件可知 旋转后能互相重合，可以得到AD=CE，H是AE的中点 E 综合运用2 如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，AB=BC+AD，H是CD中点，试说明：BH⊥AH H AB=BE，根据等腰三线合一性质得到结论

  41. G 过点E作AB平行线，交BC于H，交AD的延长线于G 由题意,得 旋转后能互相重合 H 变式： 如图，梯形ABCD中，AD ∥BC，E是CD的中点，EF⊥AB于点F，AB=6cm,EF=5cm，试求梯形ABCD的面积

  42. A D O B C 练习:梯形ABCD中,ADBC,AB=DC (1)当ACBD时,求证:BD2+AC2=(AD+BC)2 (2）当AD=3cm,BC=7cm时,求BD的长. E

  43. 小结 小结： 这节课我们主要学习与复习了梯形的性质，并总结了梯形有关常见辅助线的添加方法 要求同学们在应用有关知识时要注意它们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分析问题，注重归纳解题思维方向。

  44. 巩固篇——课后练习 1、趣味题 下图是一个上底与两腰相等、下底是上底2倍的等腰梯形，请你将它分成四个形状和大小完全一样的四边形，如何分？（只要求在图中画出四个形状和完全一样的四边形，不要求说明理由）

  45. （平移对角线） （作高线） （平移对角线） （延长两腰） （补全平行四边形） （割补成三角形） （割补成平行四边形） 2、比一比，看谁的方法多 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=60°,AD=15,AB=45,求BC的长 15 D A 45 C B

  46. 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。 ——毕达哥拉斯

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