1 / 185

abc    

MATEMATIKA 2. abc    . UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK. INTEGRAL. LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE. Elementarni študij funkcije : enačbe , neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij.

rianna
Télécharger la présentation

abc    

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATIKA 2 abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

  2. INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE Elementarni študij funkcije: enačbe, neenačbe, lastnosti osnovnih funkcij in računskih operacij. Lokalne lastnosti funkcije: zveznost, odvedljivost. (lokalne lastnosti se lahko zelo spremenijo že ob majhni spremembi funkcijskih vrednosti) Znotraj dane natančnosti zvezne funkcije ni mogoče ločiti od nezvezne. 2 MATEMATIKA 2

  3. INTEGRAL LOKALNE IN GLOBALNE LASTNOSTI FUNKCIJE funkcija odvod majhna razlika pri funkcijskih vrednostih velika razlika pri vrednostih odvoda Katere lastnosti funkcije so neobčutljive za majhne spremembe? povprečna vrednost osnovne funkcije:10.9166 povprečna vrednost ‘zanihane’funkcije: 10.9195 Povprečna vrednost funkcije je primer globalne lastnosti. 3 MATEMATIKA 2

  4. INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM a b p pje povprečna vrednost funkcije f naintervalu[a,b], če je ploščina pod grafom enaka ploščini pravokotnika. p= (ploščina pod grafomfunkcijef ): (b-a) 4 MATEMATIKA 2

  5. INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM Ploščino pod grafom funkcije ocenimo s pomočjo pravokotnikov: Vsotaploščinvčrtanih pravokotnikov je manjša od ploščine pod grafom. Vsotaploščin očrtanih pravokotnikov je večja od ploščine pod grafom. Intuitivno, z delitvijo [a,b] na dovolj drobne podintervale, je razlika med včrtano in očrtano ploščino poljubno majhna, zato dobimokolikor hočemo natančnoocenozaploščino pod grafom. 5 MATEMATIKA 2

  6. INTEGRAL PLOŠČINA POD GRAFOM Formalizem: Privzemimo, da jef:[a,b]→omejena ( m≤f(x)≤M zavsex∈[a,b] ). delitevintervala[a,b] mi: natančna spodnja meja fna intervalu [xi-1, xi] Mi: natančnazgornjameja fna intervalu [xi-1, xi] spodnjaintegralskavsotafunkcijef pridelitviD (vsotaploščin včrtanih pravokotnikov) zgornjaintegralskavsotafunkcijef pridelitviD (vsota ploščin očrtanih pravokotnikov) PrivsehdelitvahD je S(f,D)≤ ploščina pod grafom f≤Z(f,D). 6 MATEMATIKA 2

  7. INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Skupno vrednostimenujemo integralfunkcije fna intervalu [a,b] in označimo z Množica spodnjih integralskih vsot je navzgor omejena, zato ima natančno zgornjo mejo, ki jo označimoS(f)in imenujemo spodnji integralfunkcijef. Množica zgornjih integralskih vsot pa je navzdol omejena, zato ima natančno spodnjo mejo, ki jo označimo Z(f)in imenujemo zgornji integralfunkcijef. Vedno je S(f) ≤ Z(f). Funkcijafjeintegrabilna, če jeS(f) =Z(f). 7 MATEMATIKA 2

  8. INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Katerefunkcije so integrabilne? Za vsakodelitevDvelja S(f,D) ≤S(f) ≤ Z(f) ≤ Z(f,D), zato je dovolj, če pokažemo, da vednolahkoizberemodelitevD,pri kateri je razlika majhnakolikorželimo. Kakorkoli izberemo delitevD, vedno dobimo S(f,D)=0 inZ(f,D)=1 S(f)=0 inZ(f)=1, torejfniintegrabilna 8 MATEMATIKA 2

  9. INTEGRAL DEFINICIJA INTEGRALA Privzemimo, da jef:[a,b]→naraščajoča, in izberimo natančnostɛ: Monotone funkcije so integrabilne. Privzemimo, da jef:[a,b]→zvezna, in izberimo natančnostɛ: Zvezne funkcije so integrabilne. f:[a,b]→je integrabilna,če ima največ števno mnogo točk nezveznosti. 9 MATEMATIKA 2

  10. INTEGRAL LASTNOSTI INTEGRALA c a b LASTNOSTI INTEGRALA f pozitivnana[a,b] Ob upoštevanju tega dogovora veljajo vse zgornje formule tudi takrat, ko je spodnja meja integrala večja od zgornje. 10 MATEMATIKA 2

  11. INTEGRAL LASTNOSTI INTEGRALA M m b b a a M,m: natančna zgornja in spodnja meja fna[a,b] Če je fzvezna, zavzame vse vrednosti med minM. Zvezna funkcija na vsakem intervalu zavzame svojo povprečno vrednost. 11 MATEMATIKA 2

  12. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA RAČUNANJE PO DEFINICIJI Predpis je nerodenzaračunanje: običajno je težko določiti najmanjšo in največjo vrednost funkcije na delilnih intervalih. Računanje se poenostavi, če namesto ekstremov izberemo neko vrednost funkcije na intervalu. Na vsakem intervalu delitve izberemo po eno točko ti∈[xi-1,xi]in tvorimo Riemannovo vsoto. Za poljubno delitevD velja: S(f,D) ≤R(f,D,T) ≤Z(f,D) ... 12 MATEMATIKA 2

  13. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Dpoljubna, zaTizberemo: b a Podobnodobimo: f(x)=xna[a,b] 13 MATEMATIKA 2

  14. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA f(x)=ex na[0,1] Podobnodobimo: 14 MATEMATIKA 2

  15. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA ANALITIČNO RAČUNANJE f omejena⇒Fzvezna osnovni izrek analize f zvezna⇒Fodvedljiva inF’=f 15 MATEMATIKA 2

  16. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Obratno, če je F ’=fdobimo Newton-Leibnizova formula Fje primitivnafunkcijazaf Primitivnafunkcijanienoličnodoločena, dve primitivni funkciji dane funkcije se razlikujeta za konstanto. 16 MATEMATIKA 2

  17. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA • izračunamo • ‘uganemo’ primitivno funkcijo F 17 MATEMATIKA 2

  18. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA NUMERIČNO RAČUNANJE Integral računamo numerično, če ne znamo določiti primitivne funkcije ali če je integrand znan le v posameznih točkah. Integrandfnadomestimo s približkomg, ki ga znamo dovolj preprosto integrirati. Približekg določimo na podlagi vrednosti f v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov). napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk približna vrednost integrala 18 MATEMATIKA 2

  19. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA METODA TRAPEZOV a b [a,b] razdelimonanenakihdelov: • Funkcijo f nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo g, določeno s točkami (xk,yk). trapezna formula napaka metode 19 MATEMATIKA 2

  20. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA SIMPSONOVA METODA a b • [a,b] razdelimonanenakihdelov; vsakega razpolovimo in čez tako dobljene tri točke potegnemo parabolo. Funkcijo f nadomestimo z g, sestavljeno iz teh parabol. Simpsonova formula 20 MATEMATIKA 2

  21. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA xk0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 yk1.0000 0.8333 0.7143 0.6250 0.5555 0.5000 Trapeznametoda: 2. Določimo delilne točke in izračunamo pripadajoče funkcijske vrednosti: 3. Vstavimo v trapezno formulo: dejanska napaka0.0025 Simpsonovametoda: n=2 (4delilne točke) dejanska napaka 0.0001 21 MATEMATIKA 2

  22. INTEGRAL RAČUNANJE INTEGRALA Oceni ploščino kosa pločevine: 51 cm 55 cm 50 cm 62 cm 12 cm 100 cm 22 MATEMATIKA 2

  23. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE INTEGRACIJSKE METODE Analitična metoda za izračun integrala sloni na določanju primitivne funkcije in uporabi Newton-Leibnizove formule. Osnovni prijemi za računanje primitivnih funkcij sledijo iz pravil za odvajanje. F primitivna funkcija za f k·Fprimitivna funkcija za k·f F, Gprimitivni funkciji zaf F+Gprimitivna funkcija za f+g 23 MATEMATIKA 2

  24. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Primitivne funkcije produkta, kvocienta ali kompozituma dveh funkcij v splošnemni mogoče izraziti s pomočjo primitivnih funkcij faktorjev. Velikokrat primitivna funkcija elementarne funkcije ni elementarna funkcija: Za takšne funkcije pravimo, da niso elementarno integrabilne (so pa integrabilne, saj so zvezne). integracija po delih (perpartes) 24 MATEMATIKA 2

  25. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Integral lahko preoblikujemo tako, da namesto x vpeljemo novo spremenljivko Integriranje po spremenljivki x od a do b lahko nadomestimo z integriranjem po spremenljivki u od αdo β , pri čemer upoštevamo sorazmernostni faktor x´(u). 25 MATEMATIKA 2

  26. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE PRAVILA ZA INTEGRIRANJE uvedbanovespremenljivke (substitucija) integracija po delih (perpartes) 26 MATEMATIKA 2

  27. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE 27 MATEMATIKA 2

  28. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE Uspešna je tudi substitucija t2=x2+1. 28 MATEMATIKA 2

  29. INTEGRAL INTEGRACIJSKE METODE INTEGRIRANJE RACIONALNIH FUNKCIJ P(x),Q(x)polinoma 1.korakČe je potrebno, z deljenjemprevedemo na primer, ko je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca. 2.korakImenovalec razcepimo na faktorje, potem pa integrand razcepimo na delne ulomke oblike 3.korakIntegriramodobljeniizraz. 29 MATEMATIKA 2

  30. INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI IZLIMITIRANI INTEGRALI integrand je neomejen, ne ustrezazahtevamzaintegrabilnost Formalnouporabimo Newton-Leibnizovoformulo: Ali je mogoče razširiti pojem integrabilnosti na tovrstne primere? 30 MATEMATIKA 2

  31. INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI Osnovnaprimera: • fzveznana[a,b), pribneomejena • fzveznananeomejenem intervalu [a,+∞) 31 MATEMATIKA 2

  32. INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI limita ne obstaja 2 1 32 MATEMATIKA 2

  33. INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI limita ne obstaja 33 MATEMATIKA 2

  34. INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI Ocenjevanjekonvergence: obstojizlimitiranega integrala poskusimo ugotovitina podlagi primerjave z znanimi integrali. integral obstaja integral obstaja 34 MATEMATIKA 2

  35. INTEGRAL IZLIMITIRANI INTEGRALI 35 MATEMATIKA 2

  36. INTEGRAL UPORABA INTEGRALA PLOŠČINE LIKOV 36 MATEMATIKA 2

  37. INTEGRAL UPORABA INTEGRALA DOLŽINA KRIVULJE Vsaka delitev intervala določa neko lomljenko. Dolžina krivulje je natančna zgornja meja dolžin lomljenk. Dolžina krivulje (če je fzvezno odvedljiva) 37 MATEMATIKA 2

  38. INTEGRAL UPORABA INTEGRALA PROSTORNINA TELESA Riemannova vsota za funkcijo P Prostornina telesa (če je Pzvezna) 38 MATEMATIKA 2

  39. INTEGRAL UPORABA INTEGRALA VRTENINE Vrtenina je telo, ki ga zaobjamemo z vrtenjem krivulje okoli osi. Prerez na nivoju xje krog s ploščino P(x)=f(x)2 π. Prostorninavrtenine 39 MATEMATIKA 2

  40. INTEGRAL UPORABA INTEGRALA • Dolžina poti, ki jo točka, ki se giblje premočrtno s hitrostjo v=v(t)prepotuje v času od t1dot2: • Masa krivulje, dane z enačbo y=f(x)na [a,b] in z dolžinsko gostoto r=r(x): • Težišče krivulje, dane z enačbo y=f(x)na [a,b]in z dolžinsko gostoto r=r(x): Težiščentočk (xi,yi), z masami mi: • Delo, ki ga sila F=F(x)opravivzdolž osi x NEKATERE FIZIKALNEKOLIČINE, KI SE IZRAŽAJO Z INTEGRALOM (Integriramo funkcije ene spremenljivke, zato se zaenkrat omejimo na primere, ki so ‘enodimenzionalni’.) 40 MATEMATIKA 2

  41. INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Kdaj je tako dobljena funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna?Kajje njenodvod, integral? ZVEZNOST Predpišimo natančnost ε: 41 MATEMATIKA 2

  42. INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM ODVEDLJIVOST odvodintegralapoparametru 42 MATEMATIKA 2

  43. INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM INTEGRABILNOST Primerjajmofunkciji G1=G2 posebej: G1(b)=G2(b) zamenjavavrstnegaredaintegriranja 43 MATEMATIKA 2

  44. INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM 44 MATEMATIKA 2

  45. INTEGRAL FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM Formula o zamenjavivrstnegaredaintegriranjaveljatudizafunkcijef(x,y),ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolž neke gladke krivulje. 45 MATEMATIKA 2

  46. INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Prostornino pod ploskvijoocenimo s kvadri. Pravokotnik[a,b]x[c,d]razdelimonamrežo manjših pravokotnikov.Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo. mij,Mij: natančna spodnja in zgornja meja f(x,y)na pravokotniku [xi-1,xi]×[yi-1,yi] Δyj Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj– yj-1 Δxi spodnjaintegralskavsotafunkcijef pridelitviD zgornjaintegralskavsotafunkcijef pridelitviD 46 MATEMATIKA 2

  47. INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL spodnji integral funkcije f zgornji integral funkcije f Vedno je S( f) ≤ Z( f). Funkcijafje integrabilna, če jeS( f) =Z( f). Zvezne funkcije so integrabilne. Integrabilneso tudifunkcije, pri katerih je množica točk nezveznosti majhna, npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolž neke gladke krivulje. 47 MATEMATIKA 2

  48. INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Dvojni integral jeenak dvakratnemu. 48 MATEMATIKA 2

  49. INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL 49 MATEMATIKA 2

  50. INTEGRAL DVOJNI INTEGRAL Polovicovaljapresekamo z ravnino.Določi prostornino dobljenega telesa 2. možnost: 50 MATEMATIKA 2

More Related