MECÂNICA - ESTÁTICA

1. MECÂNICA - ESTÁTICA Vetores Forças Cap. 2

2. Objetivos • Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. • Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. • Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

3. Objetivos • Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. • Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. • Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

4. Escalar =A=A=A Vetor = A = A 2.1 Escalares e Vetores • Escalar é uma grandeza caracterizada por um número positivo ou negativo; exemplos: massa, volume e comprimento. • Vetor é uma grandeza que possui módulo, direção e sentido; exemplos: posição, força e momento.

5. 2.2 Operações com Vetores Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar: • Multiplicação do vetor A pelo scalar a aA • Módulo = aA • Mesmo sentido de A se a > 0; contrário se a < 0 • Divisão do vetor A pelo escalar a  (1/a)A ; a  0

6. 2.2 Operações com Vetores Adição Vetorial: • Dois vetores adicionados formam o vetor resultante R •  A + B = B + A = R

7. 2.2 Operações com Vetores Adição Vetorial: • Vetores colineares

8. 2.2 Operações com Vetores Subtração Vetorial: • A diferença entre dois vetores produz o vetor resultante R •  A - B = A + (-B) = R´

9. 2.2 Operações com Vetores Decomposição Vetorial: • Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo. •  R = A + B

10. 2.3 Adição de Forças Vetoriais Uma força é uma grandeza vetorial pois tem módulo, direção e sentido e pode ser adicionada de acordo com a regra do paralelogramo.

11. 2.3 Adição de Forças Vetoriais • Se mais do que duas forças precisam ser adicionadas, sucessivas aplicações da regra do paralelogramo devem ser utilizadas para obter a resultante. •  F1+ F2+ F3 = (F1+ F2) + F3

12. Procedimento de Análise • A + B = C • Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos

13. Problema 2.2 Determine o módulo da força resultante se: (a) FR = F1 + F2 (b) FR = F1 – F2

14. R 105° 80 N 100 N 75° 45° 60° 45° Problema 2.2 (a) Adição Vetorial: Usando a regra do paralelogramo:

15. R 100 N 105° 80 N 100 N FR 75° 75° 45° 60° 80 N 45° Problema 2.2 Usando a lei dos cosenos: 

16. F1 = 100 N F2 = 80 N 105° 45° 60° 45° FR - F2 Problema 2.2 (b) Subtração Vetorial:

17. F1 = 100 N F1 = 100 N - F2 105° F2 = 80 N 105° 45° 60° 45° FR FR - F2 Problema 2.2 Usando a lei dos cosenos: 

18. Problema 2.A Dadas as duas forças mostradas pela figura. a. Calcule a resultante das duas forças. b. Decomponha as duas forças nas direções u e v

19. Procedimento de Análise • A + B = C • Para encontrar o módulo da resultante C use a Leis dos cosenos

20. Problema 2.A a. Calcule a resultante das duas forças

21. Problema 2.A b. Decomponha as duas forças nas direções u e v

22. 2.2 Operações com Vetores Decomposição Vetorial: • Um vetor pode ser decomposto em duas componentes usando a regra do paralelogramo. •  R = A + B

23. Problema 2.A Decompondo F1 nas direções u e v

24. Problema 2.A Decompondo F1 nas direções u e v

25. Problema 2.A Decompondo F2 nas direções u e v

26. Problema 2.A Decompondo F2 nas direções u e v

27. Exemplo 2.2 Decomponha a força de 200-lb atuando no tubo em componentes (a) direções x e y, e (b) direções x’ e y.

28. Exemplo 2.2 • Usando a regra do paralelogramo para decompor F • A adição vetorial é dada por F = Fx + Fy 

29. Exemplo 2.2 Parte (a) Do triângulo abaixo: • Fx = 200 lb cos 40° = 153 lb e Fy = 200 lb sin 40 ° = 129 lb 

30. Exemplo 2.2 Parte (b): A adição vetorial é dada por F = Fx+ Fy 

31. Exemplo 2.2 Aplicando a regra do paralelogramo: 

32. Exemplo 2.2 Aplicando a lei dos senos:

33. Problema 2.30 Três cabos puxam um tubo criando uma resultante de módulo igual a 900 lb. Se dois destes cabos são sujeitos a forças conhecidas, mostradas pela figura, determine a direção  do terceiro cabo para que o módulo da força F neste cabo seja mínimo. As forças são coplanares, plano x-y. Qual é o módulo de F? Dica: primeiro encontre a resultante das forças conhecidas.

34. 600 lb 105° F   400 lb Problema 2.30 Usando a regra do paralelogramo para encontrar a resultante dos vetores conhecidos: 

35. 600 lb 105° F’   400 lb Problema 2.30 F 400 lb 600 lb 105°  F’

36. Problema 2.30 – simulandoF com anguloa de F’ F a F’ F’ a F 900 lb 180°-a

37. Objetivos • Mostrar como somar forças e decompô-las em componentes usando a lei do paralelogramo. • Expressar a força e a sua localização na forma vetorial cartesiana e explicar como determinar a intensidade e a direção dos vetores. • Introduzir o conceito de produto escalar para determinar o ângulo entre dois vetores ou a projeção de um vetor sobre o outro.

38. 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Escalar: • As componentes de F são Fx e Fy • As componentes de F’ são F’x e –F’y • Esta notação é usada somente para efeito de cálculos, não para representação gráfica nas figuras • Graficamente, a ponta da seta determina o sentido do vetor.

39.  F = Fxi + Fyj 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Vetorial Cartesiana: • Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j • i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente • i e j possuem módulo unitário adimensional • Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos

40. F’ = F’ xi + Fy(-j) ou F’ = Fxi - Fyj  2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Notação Vetorial Cartesiana: • Em duas dimensões os vetores unitários cartesianos são i e j • i e j determinam a direção dos eixos x e y, respectivamente • i e j possuem módulo unitário adimensional • Seus sentidos são descritos por um sinal de mais ou de menos

41. 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: • Decomponha cada força nas direções x e y  F1 = F1xi + F1yj F2 = -F2xi + F2yj F3 = F3xi - F3yj

42. 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: • Adicione os respectivos componentes usando algebra escalar simples pois eles são colineares FR= F1+ F2 + F3 = F1xi + F1yj-F2xi + F2yj+F3xi - F3yj = (F1x- F2x + F3x)i + (F1y+ F2y - F3y)j = (FRx)i + (FRy)j

43. 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares:  FR = (FRx)i + (FRy)j onde (+) FRx = F1x- F2x + F3x (+) FRy= F1y+ F2y - F3y

44. 2.4 Adição de um Sistema de Forças Coplanares Resultantes de Forças Coplanares: • De uma forma geral

45. Problema 2.33 Determine o módulo da força F tal que a resultante FR das três forças seja a menor possível.

46. Problema 2.33 - Solução A regra do paralelogramoéusadaparadecomporF, F1 e F2 y F1=20kN F1y 5 3 4 x Fx F1x 45º  F Fy F2=12kN

47. Problema 2.33 - Solução Notação Escalar: Somando os componentes algebricamente: y F1=20kN F1y 5 3 4 x Fx F1x 45º F Fy F2=12kN

48. Problema 2.33 - Solução O módulo da resultante FR é:

49. Problema 2.33 - Solução

50. Problema 2.33 - Solução