Equivalent Risky Allocation

1. Equivalent Risky Allocation S. Plunus – R. Gillet – G. Hübner

2. Motivation of the paper • MIFID Directive  Financial institutions must guarantee: • A better protection to investors • More transparency • The Mifid Implementation directive requires the financial institutions to collect: • informations on the investment horizon, • The investors preferences towards risk, • His risk profile; and, • His investment objectives.

3. Risk profile • The risk profile of an investor determine the risk measure(s) the investor uses to take his decisions : Rendu de Lindt (2002) • Investors use simultaneously several risk measures and their risky investment choices are directly influenced by their perception of risk : Veld and Veld-Merkoulova (2008)

4. Risk Perception • Risk perception is the subjectif judgment of an investor regarding the caracteristics and the severity of a potential loss. • Perception of risk is different from risk aversion defining the return the investor requires in exchange of the risk taken.

5. Portfolio Selection • Relevance of higher moment of distribution in portfolio selection: Samuelson (1970), Kraus and Litzenberger (1976), … • Risk measures developped: Coombs and Lehner (1981), Favre and Galeano (2002) • None of them take into account the risk perception

6. Bell’s Risk Measure • Derived from the utility function theory • Allows for risk aversion and risk perception distinction • Allows the integration of higher and partial moments of distribution

7. Bell’s linex utility function u(w) = w–be-cw • Respect the axioms of the expected utility theory of von Neumann and Morgenstern • Respect the decreasing risk aversion condition of Arrow • Satisfy the one-switch rule of Fishburn (1984)  These features are consistent with a risk-return interpretation

8. Bell’s risk measure Bell writes the evaluation of an alternative as follows: The only definition of risk compatible with Bell’s assumptions is the following: or a monotonic transformation thereof.

9. where Fourth-order Taylor series expansion of the Bell function around the expected value of the wealth: With I the amount invested in the risky asset, the expected utility is then: From this, we get the risk measure for one unit of wealth: where

10. Mesure de risque de Bell - Illustration

11. Allocation équivalente en risque • Afin de rendre la mesure de Bell facilement interprétable et comparable, nous l’exprimons en terme d’allocation équivalente en risque (ERA):L’ERA est le pourcentage à investir dans un portefeuille de référence (le reste étant investi au taux sans risque) pour obtenir le même risque (quelque soit sa mesure) que l’actif étudié.

12. Equivalent Risky Allocation Where Rx is the risk value of the asset and, RBis the risk value of the selected benchmark.

13. Data and methodology • 9 equity indices: S&P500, S&P500 Growth, S&P500 Value, S&P400, S&P400 Growth, S&P400 Value, S&P600, S&P600 Growth, S&P600 Value • 1 bond index: US Aggregate bond index • Weekly returns, with Expected Returns adjusted through Black-Litterman (1992) • 12 investors: 4 defensive, 4 medium and 4 agressive 3 Markowitz, 3 protective, 3 stable and 3 MVaR • Rolling window of 18 months

14. Etude pratique • Optimisation de portefeuilles pour des investisseurs ayant la même aversion au risque (ERA ==), mais une perception différente du risque: • Le risque est la volatilité des rendements (investisseur « Markowitz ») • Le risque est une combinaison de la volatilité, de l’asymétrie des rendements positifs et négatifs et de la probabilité des pertes extrêmes mais: • Est surtout défini par la volatilité (investisseur progressif) • Est surtout défini par la probabilité des pertes extrêmes (investisseur protecteur) • Est défini à travers la Modified Value-at-risk

15. Tests • Optimisation en début de période pour chaque investisseur et chaque niveau de risque, puis observation de l’évolution • Optimisation « refaite » toutes les 4 semaines pendant les 8 ans • Observation de l’évolution des allocations • Observation de la variation de la mesure de risque en 4 semaines • Observation de la mesure de risque « après coup »

16. Optimal portfolios on June 29th, 2001

17. Evolution de l’ERA pour un portefeuille passif (ERA = 75%) Protecteur Markowitz

18. Time consistency with rebalancing • Evolution of the portfolio allocation of defensive portfolios Stable investor Protective investor

19. ERA for defensive investors

20. ERA for median-risk investors

21. ERA for agressive investors

22. Portfolio Consistency

23. Conclusions de l’étude • Pour une même quantité de risque (même aversion), l’allocation des portefeuilles optimaux pour différentes perceptions sont significativement différentes • La mesure de risque de Bell est fiable (objectifs respectés) • Utiliser une « mauvaise » mesure de risque pour un investisseur peut lui faire prendre trop de risque ou le faire passer à côté d’un rendement potentiellement plus élevé • Si l’on se « trompe » dans le profilage d’un investisseur, il sera moins affecté si on optimise son portefeuille avec la mesure de risque de Bell plutôt qu’avec une simple variance, et il aura plus de chances de rester sous le seuil critique imposé par son aversion au risque.