1 / 13

OTRAS DERIVADAS

OTRAS DERIVADAS. Bloque III * Tema 126. Derivadas Potenciales. f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1 Sea y = x 7  y’=7. x 6 Sea y = 4x 27  y’=4.27. x 26 = 108.x 26 Sea y = 1 / x  y=x -1  y’=-1.x -2 = -1 / x 2

rory
Télécharger la présentation

OTRAS DERIVADAS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. OTRAS DERIVADAS Bloque III * Tema 126 Matemáticas Accso a CFGS

  2. Derivadas Potenciales • f (x) = x n f ‘ (x) = n. x n – 1 • Sea y = x7 y’=7. x6 • Sea y = 4x27 y’=4.27. x26 = 108.x26 • Sea y = 1 / x  y=x-1  y’=-1.x -2 = -1 / x2 • Sea y = 2 / x5 y=2.x-5  y’=-10.x -6 = -10 / x6 • Sea y = - 3 / x11 y=- 3.x-11  y’= 33.x -12 = 33 / x12 • 3 • Sea y = √x7  y=x7/3 y’=7/3. x7/3 – 1 = 7/3.x4/3 • 5 • Sea y = 3 √4x3  y=3.41/5.x3/5 y’=3.41/5.3/5. x3/5 – 1 Matemáticas Accso a CFGS

  3. Derivadas Exponenciales • Sea y = ex la llamada función exponencial. • Aplicando la definición de derivada: • y’ = ex • La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. • Sea y = ax , para a > 0 y a <> 1. • Haciendo un cambio de base: • y = ax ln y = x. lna  y = ex.lna • Aplicando la Regla de la cadena: • y’ = ln a. ax • Sea y = af(x) , para a > 0 y a <> 1. • Haciendo un cambio de base: • y = ef(x).lna • Aplicando la Regla de la cadena: • y’ = ln a. f’(x) . af(x) Matemáticas Accso a CFGS

  4. EJEMPLOS Matemáticas Accso a CFGS

  5. EJEMPLOS Matemáticas Accso a CFGS

  6. Derivadas Logarítmicas • Sea y = ln x • Aplicando la definición de derivada: • f ’(x) = 1 / x • Sea f(x) = log x • Se procede a un cambio de base: • 10y = x  ln10y = lnx  y ln10 = Ln x  y = ln x / ln 10 • Queda: 1 • f ‘(x) = ---------- • x.ln10 • Sea f(x) = loga x • Se procede a un cambio de base: • ay = x  ln ay = ln x  y.lna = Ln x  y = ln x / ln a • Derivando: 1 • y ' = --------- • x. ln a Matemáticas Accso a CFGS

  7. Sea f(x) = log x • Se procede a un cambio de base: y = ln x / ln 10 • Derivando queda: 1 • f ‘(x) = ---------- • x.ln10 • Sea f(x) = loga x • Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda: • 1 • y ' = --------- • x. ln a • Sea f(x) = ln g(x) • Aplicando la regla de la cadena: 1 g‘(x) • f ‘(x) = ------ . g ’(x) = ---------- • g(x) g(x) • Sea f(x) = log g(x) o f(x) = loga g(x) • Mediante un cambio de base y posteriormente derivando, queda: • 1 g‘(x) 1 g‘(x) • y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- • ln 10 g(x) ln a g(x) Matemáticas Accso a CFGS

  8. Ejemplos • y = ln (x – 2.x3)  y’ = (1 – 6.x2) / ( x – 2.x3) • y = ln (x3 + ex) y’ = (3.x2 + ex) / (x3 + ex) • y = log (x . e-x)  y’ = [e-x + x .(- e-x)] / (x . e-x).ln10 • y = ln (x2.(3x – 2))  y’ = (2x.(3x – 2) + x2.3) / (x2.(3x – 2)) • y = log5 (x3.3x)  y’ = (3x2.3x + x3.3x.ln3) / (x3.3x).ln5 • y = ln [(x2 – 3) / x ]  y’ = [2x.x – (x2 – 3)] / x2. [(x2 – 3) / x ] • = [x2 + 3] / [(x4 – 3x2) / x] = (x3+3x)/(x4 – 3x2) = (x2 + 3) / (x3 – 3.x) • y = (x – 1). ln x  y’ = ln x + (x – 1) / x Matemáticas Accso a CFGS

  9. Derivadas mixtas • g(x) • Sea y = f (x) , función POTENCIAL-EXPONENCIAL • Tomando logaritmos neperianos: • ln y = g(x). ln f(x) • Derivamos ambos lados de la igualdad: • y ‘ / y = [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  • y ‘ = y . [ … ]  • g(x) • y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] • Nota: Dada la dificultad de memorizar la expresión parece más práctico aprender el método, teniendo éste la ventaja de poder ser utilizado en todo tipo de expresiones exponenciales. Matemáticas Accso a CFGS

  10. Ejemplos • y = x3 – x ln y = (3 – x).ln x  •  y’ / y = [ (– 1).ln x + (3 – x).1/x ]  y’ = y.[…] • y = (ln x)x ln y = x.ln(ln x)  •  y’ / y = [ 1.ln(ln x) + x.(1/x)/ln x ]  y’ = y.[…] • y = (x2 – 3.x) 2.x – 1  ln y = (2.x – 1).ln (x2 – 3.x)  •  y’ / y = [ 2. ln (x2 – 3.x) + (2.x – 3)/(x2 – 3.x) ]  y’ = y.[…] • y = (x – 1) ln x ln y = ln x . ln (x – 1)  •  y’ / y = [ (1/x).ln (x – 1) + ln x.(1/(x – 1) ]  y’ = y.[…] • y = (√x) 3x + 5  ln y = (3.x + 5).ln √x  •  y’ / y = [ 3. ln √x + (3.x + 5).(1 / 2√x) / √x]  y’ = y.[…] Matemáticas Accso a CFGS

  11. Derivadas Trigonométricas • Sea f(x) = sen x • f ‘ (x) = cos x • Sea f(x) = cos x • f ‘ (x) = - sen x • Sea f(x) = tg x • f ‘ (x) = 1 / cos2 x • Sea f(x) = arcsen x • f ’(x) = 1 / √(1 - x2) • Sea f(x) = arccos x • f ’(x) = – 1 / √(1 - x2) • Sea f(x) = arctg x • f ’(x) = 1 / (x2 + 1) • Sea f(x) = sen g(x), f(x) = cos g(x), f(x) = tg g(x), etc. • Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. Matemáticas Accso a CFGS

  12. Ejemplos • y = sen x2 y ‘ = cos x2 . 2x • y = cos x3 y ‘ = - sen x3 . 3x2 • y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x • y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10 • y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x) • y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x • y = cos5 x3 y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2 • y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x Matemáticas Accso a CFGS

  13. Ejercicios propuestos • Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: • y = arcsen x2 y ‘ = • y = arccos x3 y ‘ = • y = ln arcsen x  y ‘ = • y = log arctg x  y ‘ = • y = arctg ex y ‘ = • y = arcsen3 x  y ‘ = • y = arccos5 x3 y ‘ = • y = √arcsen ex y ‘ = Matemáticas Accso a CFGS

More Related