UNIVERZITET CRNE GORE GRAĐEVINSKI FAKULTET

1. UNIVERZITET CRNE GOREGRAĐEVINSKI FAKULTET STATIKA KONSTRUKCIJA 1 šk.god. 2011/2012

2. STATIKA KONSTRIKCIJA 1 -TEORIJA KONSTRUKCIJA - stručno-naučna disciplina koja se bavi proračunom napona, deformacija I pomjeranja u inžinjerskim konstrukcijama u skladu sa zakonima mehanike deformabilnog tijela. U zavisnosti od vrste opterećenja na koje računamo uticaje (napone, deformacije i pomjeranja) razlikujemo sljedeće oblasti teorije konstrukcija: 1. STATIKA 2. DINAMIKA 3. STABILNOST Statičkim metodama se računaju uticaji usljed dejstva opterećenja koje se ne mijenja u toku vremena. Dinamičko opterećenje se mijenja u toku vremena. STATIKA DINAMIKA STABILNOST  Pri statičkom opterećenju Pri dinamičkom opterećenju LINIJSKI NOSAČI POVRŠINSKI NOSAČI Elastičan materijal Plastičan materijal Viskozan materijal

3. P P(t) P(t) s P0 t t t e plastična zona Nosači koji mogu da se prikažu kao linije (prave, izlomljene i krive) nazivaju se linijski nosači: Prosta greda

4. Među tim metodama, prvo su se formulisale danas dobro poznate metode Statike linijskih nosača. • -J.C. Maxwell (1831.-1879.), izlaže postupak za proračun statički neodređenih linijskih nosača • - O. Mohr (1835.-1918.) izlaže sličan postupak • - Muller- Breslau, 1886., izlaže novi postupak proračuna statički neodređenih linijskih nosača usvajajući reakcije oslonaca i presječne sile za nepoznate veličine(metoda sila). • - H. Manderla, 1880., daje ideju o korišćenju pomjeranja i obrtanja čvorova kao osnovnih neodređenih veličina(tačna metoda deformacija). Imajući u vidu veliki broj jednačina koji se pojavljuje u ovoj metodi, kao i raspoloživa proračunska sredstva, ova metoda nije imala široku primjenu. • - O. Mohr je predložio upročćeni postupak koji je predložio Manderla, određujući pomjeranja čvorova datog nosača kao pomjeranja čvorova nosača sa zglavkastim vezama. Na taj način broj jednačina se znatno smanjio (približna metoda deformacije). • - A. Bedihen i G.A. Maney prethodnu metodu uopštavaju i primjenjuju za okvirne konstrukcije. • -Nakon toga 1920. godine razvijeno je nekoliko iterativnih metoda za proračun linijskih nosača. • - H. Cross, 1930., predlaže Krosovu metodu • Nakon 30-te godine predloženo je niz približnih metoda. • - poslednjih 40- tak godina, za razliku od dosadašnjih klasičnih metoda, razvijaju se savremene ili moderne metode proračuna. Ove metode koriste matrični aparat i nazivaju se matrične metode, a sam način analize konstrukcija primjenom ovih metoda naziva se matrična analiza konstrukcija. Razvoj ovih metoda išao je uporedo sa razvojem računara. • * Levy- daje osnovne jednačine metode sila u matričnom obliku sredinom 20 vijeka, • * Lang, Bisplinghof, Langefors, Wehlw, lansing i drugi razrađuju koncept matrične formulacije metode sila uz primjenu računara. • * Lavy a kasnije i Argyris sa saradnicima izlažu opštu matričnu formulaciju na bazi osnovnih energetskih principa. Njihovi radovi predstavljaju osnovu za dalji razvoj metoda matrične analize konstrukcija.

5. 1 g Γ 2 i F k Slika 1 TEORIJA ŠTAPA OSNOVNE JEDNAČINE TEHNIČKE TEORIJE ŠTAPOVA U RAVNI -krivi štap -pravi štap Liniju ik nazivamo osa štapa, dok su površi F poprečni presjeci štapa. -štap konstantnog poprečnog presjeka - štap promjenljivog poprečnog presjeka. Štap čija osa sa jednom od glavnih centralnih osa inercija poprečnih presjeka leži u jednoj ravni nazivamo ravan štap, a odgovarajuću ravan nazivamo ravan štapa. - prostorni štapovi

6. Slika 2a c c1 x i k ds v dc y i' c' u c1' (1+e)ds k' Slika 3 Deformacija ose štapa Ravna deformacija Slika 2 - deformacijske veličine ose štapa e - specifična promjena dužine, odnosno, dilatacija elementa ose štapa. Ovo je čista deformacijska veličina jer postoji samo na onim mjestima na kojima se osa deformiše. j- je ugao za koji se obrne element ose štapa. Ovo nije čista deformacijska veličina jer može postojati i bez deformacije elementa. dj - je promjena ugla između tangenti u beskonačno bliskim tačkama ose. Ovo je čista deformacijska veličina i ako se element ne deformiše jednaka je nuli.

7. c dx x a c1 dy v ds u+du u a+j y c' v+dv (1+e)ds r c1' dj Slika 4 dx=ds cosa dy=ds sina ---------------- dx+u+du=u+(1+e)ds cos(a+j) dy+v+dv=v+(1+e)ds sin(a+j) nelinearni sistem jednačina --------------------------- du= (1+e)ds cos(a+j)-dx (1) dv= (1+e)ds sin(a+j) -dynelinearni sistem jednačina , teorija konačnih-velikih deformacija teorija konačnih ili teorija velikih deformacija. Pretpostavka o malim deformacijama: j«1 e«1 i je≈0 tada su cosj=1-j2/2+j4/4...1 sinj=j-j3/3+j5/5...j cosj=1-j2/2+...1

8. cos(a+j)=cosa-jsina iz relacije (cos a cos j-sina sinj) sin(a+j)=sina+jcosa iz relacije (sin a cos j+sinj cosa) du= (1+e)ds (cosa-jsina)-dx dx=ds cosa dv= (1+e)ds (sina+jcosa) -dy dy=ds sina ---------------------- du= e dx-j dy (2) dv= e dy+j dx --------------------- Deformacija štapa -Bernolli-jeva pretpostavka - tačna za prave prizmatične štapove napregnute na čisto savijanje

9. u c z u(z) cz c' v(z) czי jt j-jt j j-jt Slika 5 u c c1 z c' ds' czc1z z c1' cz' dsz' ds c1z' jt djt+jt r' r1' dj d( j-jt) O' O1' Slika 6 jt – klizanje poprečnog presjeka, čisto deformacijska veličina Klizanje je promjena ugla između dva pravca pri deformaciji. g/2 g/2

10. Iz 1 se dobija: (1+e)ds=r1' sin(d(j-jt)) Iz 2 se dobija: (1+ez)ds=(r1'-z) sin(d(j-jt)) d(j-jt)«1 sin(d(j-jt))≈ d(j-jt) (1+e)ds=r1' d(j-jt) (1+ez)ds=(r1'-z) d(j-jt) ------------------------------------- (1+ez)ds=(1+e)ds-z d(j-jt) /:ds 1+ez =(1+e) -z d(j-jt)/ds -----------------------  promjena krivine štapa Promjena krivine je čista deformacijska veličina dilatacija poprečnog presjeka po veličini z je linearna e ez= e z (j-jt)«1, cos(j-jt)≈1, sin (j-jt) ≈(j-jt) ----------------------------- ----------------------------  ds'=(1+e)ds dsz'=(1+ez)ds c'c1'O1' cz'cz1'O1' na slici 6 Primjenom sinusne teoreme: 1' - poluprečnik krivine sin(p/2-jt) =cos jt jt«1 cosjt≈1

11. p p m Rik Mik p m Mki i k Slika 7 Rki Spoljašnje i unutrašnje sile -zapreminske i -površinske sile -aktivne sile -reaktivne sile Statički ekvivalentne sile i momenti

12. DRDM i Dsk raspodijeljena sila raspodijeljeni momenti p m ik i k P Py Py= P sin a Px a Px= P cos a F- površina poprešnog presjeka N- normalna sila , sila u pravcu ose štapa T – transverzalna sila, u ravni presjeka a upravna na osu štapa M- moment savijanja Sile N, T i M nazivamo zajedničkim imenom sile u presjeku ili presječne sile

13. M T N T M N Konvencija o pozitivnom smjeru: -normalna sila je pozitivna kada isteže štap -transverzalna sila je pozitivna kada suprotan kraj štapa obrće u smjeru skazaljke časovnika -moment savijanja je pozitivan kada zateže donju stranu štapa. N T V M c M c i k H i c M c M k T N H V H= N cos a - T sin a V= N sin a + T cos a N= H cos a + V sin a T=- H sin a +V cos a Uslovi ravnoteže elementa štapa SPOLJAŠNJE SILE STOJE U RAVNOTEŽI SA UNUTRAŠNJIM SILAMA NA NEDEFORMISANOM ŠTAPU. Uslove ravnoteže elementa štapa

14. N T V M pnds Mpydx M+dM ptdsM+dM pxdx H+dH H dx ds N+dNV+dV T+dT dN+ptds=0 dH+pxdx=0 dT+pnds=0 dV+pydx=0 dM -T ds=0 dM -T dx=0 uslovi ravnoteže- veze spoljašnjih sila i sila u presjecima Veze između deformacijskih veličina elementa ose štapa, sila u presjecima i temperaturnih promjena Važi Hukov zakon - materijal idealno elastičan- linearna veza napona i deformacija. (3) ez - dilatacija sz - normalni napon t(z) - temperaturna promjena at - koeficijent linearne temperaturne dilatacije materijala.

15. tot t= tu- to t t- temperaturna razlika zhtz t=( tu+to)/2 temperaturna razlika tu veze sila u presjecima i deformacijske veličina

16. veze deformacijske veličina i sila u presjecima eds NN M M ds - g(z) ugao klizanja - t(z) smičući napon - G moduo klizanja Hipoteza Žuravskog: S -statički moment dijela površine iznad i ispod prave linije z=cons b- širina poprečnog presjeka na mjestu z I – moment inercije presjeka g- promjena ugla između dva prvobitno upravna pravca.

17. hg jtjtds z t(y) p/2-gmax ds ds Rad napona smicanja na posmatranom elementu štapa pri stvarnoj raspodjeli ugla klizanja jednak radu tih napona pri pretpostavljenoj raspodjeli klizanja:

18. Pregled jednačina i graničnih uslova teorije savijanja štapa u ravni du= e dx-j dy dv= e dy+j dx (A) d(j-jt)= - ds dN+ptds=0 dT+pnds=0 (B) dM -T ds=0 (C) Na raspolaganju nam stoji devet jednačina sa 9 nepoznatih : -dva pomjeranja u, v i ugao obrtanja elementa štapa j -tri statičke veličine N,T,M sile i momenti -tri deformacijske veličine e, ,jt dilatacija, promjena krivine i klizanje

19. -Kada su tri granična uslova po silama i tri granična uslova po pomjeranjima tada kažemo da zadatak statički -Kada jedan, dva ili tri granična uslova po silama zamijenimo graničnim uslovima po pomjeranjima tada sile u presjecima ne mogu da se odrede iz uslova ravnoteže nezavisno od pomjeranja tačaka i obrtanja presjeka. Tada je zadatak proračuna sila u presjecima statički neodređen.

20. M=0 M=0, N=0 po silama 3 uslova –statički određen u=0,v=0,=0 M=0,N=0, v=0 po silama 2<3, po pomjeranjima 4- statički neodređen po silama 0<3, po pomjeranjima 6>3 statički neodređen U linearnoj teoriji konstrukcija važi princip superpozicije uticaja. u=0,v=0,=0 u=0,v=0,=0