El·lipse

1. El·lipse Corba que s’obté en tallar un con de revolució per un pla que talli totes les generatrius del con i que no passi pel seu vèrtex. Si considerem les dues esferes tangents al con i al pla simultàniament, tenim dos punts de tangència d’aquestes esferes amb el pla. Aquests punts, , s’anomenen focus de l’el·lipse. Els punts de l’el·lipse coincideixen amb el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de distàncies als dos focus és constant.

2. Equació canònica de l’el·lipse Prenem coordenades: Eix d’abscisses: recta que passa pels focus Eix d’ordenades: recta perpendicular a l’anterior pel punt mig dels focus Imposem: De la relació tenim que i per tant podem prendre tal que L’equació reduïda o canònica de l’el·lipse és

3. semieix major semieix menor semidistància focal vèrtex semieix menor focus focus semidistància focal semieix major vèrtex vèrtex centre vèrtex excentricitat: El·lipse

4. Paràbola Corba que s’obté en tallar un con de revolució per un pla que sigui paral·lel a una única generatriu del con i que no passi pel seu vèrtex. Si considerem l’esfera tangent al con i al pla simultàniament, tenim un punt de tangència, F, d’aquesta esfera amb el pla anomenat focus de la paràbola. L’esfera és tangent al con en una circumferència. La intersecció del pla que conté aquesta circumferència i el pla que conté a la paràbola és una recta, d, anomenada directriu. Els punts de la paràbola coincideixen amb el lloc geomètric dels punts que equidisten del focus i de la directriu

5. d Si p és la distància del focus a la directriu i imposem p Equació canònica de la paràbola Prenem coordenades: Eix d’abscisses: recta que passa pels focus i és perpendicular a la directriu. Eix d’ordenades: recta perpendicular a l’anterior pel punt d’intersecció d’aquesta amb la paràbola.

6. paràmetre de la paràbola: p/2 p/2 focus p Paràbola directriu

7. Considerant les dues esferes tangents al con i al pla simultàniament, tenim dos punts de tangència, d’aquestes esferes amb el pla. Aquests punts s’anomenen focus de la hipèrbola. Hipèrbola Corba que s’obté en tallar un con de revolució per un pla que sigui paral·lel a dues generatrius del con i que no passi pel seu vèrtex. Els punts de la hipèrbola coincideixen amb el lloc geomètric dels punts del pla tals que la diferència de distàncies als dos focus és constant.

8. Imposem: i per tant podem prendre tal que De la relació tenim que L’equació reduïda o canònica de la hipèrbola és: Equació canònica de la hipèrbola Prenem coordenades: Eix d’abscisses: recta que passa pels focus Eix d’ordenades: recta perpendicular a l’anterior pel punt mig dels focus

9. semieix real semieix imaginàri semidistància focal semieix real semieix imaginari vèrtex focus focus centre vèrtex semidistància focal excentricitat: Hipèrbola

10. el·lipse circumferència paràbola hipèrbola excentricitat

11. Còniques amb centre: el·lipse un punt hipèrbola dues rectes que es tallen Còniques sense centre: una recta doble paràbola dues rectes paral·leles

12. El·lipses gir: translació: translació:

13. Gir: Translació: a Moviment d’una el·lipse i les seves equacions