GAZİ UNİVERSİTESİ BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ 5441314 - SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERSİ HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN ÖĞRETİM ÜYESİ: YRD.

1. CALCULUS TEMELLERİ GAZİ UNİVERSİTESİ BİLİŞİM ENSTİTÜSÜ 5441314 -   SAYISAL ÇÖZÜMLEME  DERSİ HAZIRLAYAN: VEYSEL ALCAN ÖĞRETİM ÜYESİ: YRD. DOÇ. DR. NURETTİN DOĞAN

2. CALCULUS TEMELLERİ • “Calculate” [hesaplamak] sözcüğünü türettiğimiz “calculus” [hesap] kelimesi Latince’de, bir abaküs üzerindeki taş boncukları sayma yöntemiyle bağlantılı olarak “çakıl taşı” anlamına gelir. Bu ve bunun gibi sayısız diğer örnekler matematiğin insan aklının özgür işleyişinden doğmadığını, tersine uzunca bir toplumsal evrim, deneme yanılma, gözlem ve deney sürecinin ürünü olduğunu ve görünüşte soyut karakterli bir bilgi bütünü olarak tedricen ayrışmış olduğunu gösterir.

3. CALCULUS TEMELLERİ Calculus ; limit ve süreklilik, integral, diferansiyal, diziler ve seriler başlıklarını içerir. 1- LİMİT VE SÜREKLİLİK • Bir kısım fiziksel ve kimyasal nicelikler birbirlerine fonksiyonel  bağlantılar yardımı ile bağlı olabilir. Eğer değişik nicelikler arasındaki fonksiyonel bağlantı belli ise,birbirine bağımlı büyüklüklerden birinin belli bir değere yaklaşması halinde diğerinin hangi değere yaklaşacağının bilinmesi önemlidir. Bu bizi limit kavramına götürür.

4. CALCULUS TEMELLERİ f(x) = 2 x + 2 ve f(x) hesaplanmasında x, 1’e yakın değer alır. Şimdi sağ taraftan x’in 1’e yaklaştığını farz edelim. (x > 1). İlk olarak sol taraftan x’in 1’e yaklaştığını farz edelim (x < 1). Her iki durumda da x , 1’e yaklaşırken f(x) 4’e yaklaşır. Biz bunu; f(x) = 4 şeklinde ifade edebiliriz.

5. CALCULUS TEMELLERİ Grafikte, x 1’e soldan yaklaşırken y = f(x) 2’ye yaklaşır.İfade biçimi: limx ->1- f(x) = 2 şeklindedir. x 1’e sağdan yaklaşırken y = f(x) 4’e yaklaşır.İfade biçimi: limx ->1+ f(x) = 4 şeklindedir. *Sol ve sağ taraftan limit ve f(1)=3, tamamen faklıdır. Şekildeki grafik limx ->1- f(x) = 2 olduğunu gösterir. x , 1’e sağdan yaklaşırken y = f(x) 4’e yaklaşır. İfade biçimi: limx ->1+ f(x) = 4 şeklindedir. *Sol taraftan limit ve f(1)=2’ye eşittir.

6. CALCULUS’A GENEL BAKIŞ Bu grafik , limx ->0- f(x) = 1 ve limx ->0+ f(x) = 1 olduğunu gösterir. *Sol ve sağ taraftan limitler eşittir ve biz limx ->0 f(x) = 1 olarak ifade edebiliriz. Bu örnekte x, 0’a yaklaştığı zaman limit f(0)=1’e eşittir. Bu grafik x’in -2’ye soldan yanaştığında f(x) sınır olmaksızın küçülür ve limiti yoktur. limx ->2- f(x) = -x’in -2’ye sağdan yanaştığında f(x) sınır olmaksızın büyür ve limiti yoktur. limx ->2+ f(x) =+ * - ve + sembol olup numara değildir. Bu semboller limit değerinin olmadığını tanımlar.

7. CALCULUS TEMELLERİ • Tanım 1.1 f (x ) in x = x0’ı kapsayan bir açık aralıkta tanımlı olduğu varsayılırsa, x = x0 ın dışında kendi ise ardından f’in x = x0’da limiti olduğu L söylenebilir ve buradan aşağıdaki ifade yazılabilir. (1) Eğer belirlenen herhangi bir Є > 0 ise buradan δ > 0 bulunur, her zaman | f (x) − L| < 0 <|x − x0| < δ da olduğu gibi.H’ın artan gösteriminde x = x0 + h kullanılır, eşitlik (1) gelir. (2)

8. CALCULUS TEMELLERİ • Tanım 1.2 f (x)’in bir açık aralık içeren x = x0’da tanımlı olduğu kabul edilirse, ardından f ‘in x = x0 da sürekli olduğu söylenebilir. (3) • x ∈ S için her noktada sürekli ise f fonksiyonu süreklidir. S bir aralıktır, [a, b] denebilir ve Cn[a, b] gösterimi kullanılır. Örneğin f (x) = x4/3fonksiyonu [−1,1] aralığındadır. Açıkca görüldüğü gibi, f (x) ve f ‘(x) = (4/3)x1/3[−1, 1] aralığında süreklidir ama f “(x) = (4/9)x−2/3 x = 0 da sürekli değildir.

9. CALCULUS TEMELLERİ • Tanım 1.3 {xn}∞n=1‘ın sınırsız bir dizi olduğu varsayılır. Ardından bu dizinin limiti L olduğu söylenebilir ve aşağıdaki gibi yazılabilir (4) Bir dizinin limiti varsa, onun convergent dizi olduğu söylenebilir. Diğer genel bir gösterim ise “xn → L ve n→∞ gibi” Eşitlik (4) aşağıdaki ifadeye eşdeğer olur, (5) Sonuç olarak bir hata dizisi görülebilir. Aşağıdaki teoremler süreklilik ve convergent (yakınsak) dizi kavramlarına ilişkindir.

10. CALCULUS TEMELLERİ • Teorem 1.1. f (x)’in S üzerinde tanımlı olduğu ve x0 ∈ S olduğu kabul edilirse. Takip eden durum aşağıdaki gibi olduğu farz edilirse . (6) (a) f fonksiyonu x0 da sürekli ise (b) Eğer ve olur. • Teorem 1.2 (Ara Değer Teoremi) L’ninf (a) ve f (b) aralığında bir sayı olduğu ve f ∈ C[a, b] olduğu kabul Edilirse buradan c ∈ (a, b) ve f (c) = L olur.

11. CALCULUS TEMELLERİ • Örnek 1.1 Fonksiyon f (x) = cos(x −1) sürekli [0, 1] üzerinde ve L = 0.8 ∈ (cos(0), cos(1)) sabittir. f (x) = 0.8 çözümü [0, 1] üzerinde isec1 = 0.356499 dır. Benzer şekilde f (x) , [1, 2.5] üzerinde sürekli ve L = 0.8 ∈ (cos(2.5), cos(1)). f (x) = 0.8 de çözüm [1, 2.5] üzerinde c2 = 1.643502 dır. Bu iki durum Şekil 1.1.’de görülmektedir. Şekil 1.1 Ortalama değer teoremi uygulanmış fonksiyon f (x) = cos(x − 1) [0, 1] üzerinde ve aralık [1, 2.5].

12. CALCULUS TEMELLERİ • Teorem 1.3 (Bir Sürekli Fonksiyon için Aşırı Değer Teoremi) . f ∈ C[a, b] olduğu kabul edilir. Ardından alt sınır M1 ve üst sınır M2 olur. Bu iki sayı x1, x2 ∈ [a, b] (7) her ne zaman Bu durum aşağıdaki şekilde de ifade edilebilir. (8) ve Şekil 1.2 fonksiyonuna [0, 3] aralığı üzerinde aşırı değer teoremi uygulanmış hali.

13. CALCULUS TEMELLERİ • Diferansiyel Fonksiyonlar • Tanım 1.4. x0 içeren bir açık aralıkta f (x)’in tanımlı olduğu kabul edilirse, f fonksiyonu x0 da farksal olduğu söylenebilir. (9) • Limit bulunduğu zaman f’ (x0) ile gösterilir ve x0 da f ‘in türevi olarak adlandırılır. Limiti ifade etmek için h artan gösterimi kullanılır (10)

14. CALCULUS TEMELLERİ • Diferansiyel Fonksiyonlar • Teorem 1.4 Eğer x = x0 da f (x) diferansiyel ise, o zaman f (x) fonksiyonu x = x0 da süreklidir. Burada teorem 1.3. takip edilir eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında diferansiyel ise o zaman aralığın max. ve min. değerleri bulunabilir. • Örnek 1.2. fonksiyon f (x) = 15x3−66.5x2+59.5x+35dir. [0, 3] aralığı üzerinde diferansiyeldir. • Fonksiyonun çözümü f (x) = 45x2 − 123x + 59.5 = 0 x1 = 0.54955 ve x2 = 2.40601. f fonksiyonunun [0, 3] aralığı üzerinde maksimumve minimum değerleri: min{ f (0), f (3), f (x1), f (x2)} = min{35, 20, 50.10438, 2.11850} = 2.11850 max{ f (0), f (3), f (x1), f (x2)} = max{35, 20, 50.10438, 2.11850} = 50.10438 Bu değerler Şekil 1.2’de görülmektedir.

15. CALCULUS TEMELLERİ • TürevlenebilirFonksiyonlar • Teorem 1.5 (RolleTeoremi)f ∈ C[a, b] ve f ‘(x) tüm x ∈ (a, b)ler için bulunduğu kabul edilir. Eğer f (a) = f (b) = 0, o zaman c sayısı bulunur with c ∈ (a, b) ile ki f ‘(c) = 0 dır. • Teorem 1.6 (Orta Değer Teoremi) f ∈ C[a, b] ve f’ (x) in tüm x ∈ (a, b)ler için bulunduğu varsayılırsa, o zaman c sayısı bulunur. • (11) • Teorem 1.7 (Genelleştirilmiş RolleTeoremi) f ∈ C[a, b] olduğu kabul edilirse ve f ‘(x), f “(x), . . . , f (n)(x) üzerinde bulunur (a, b) ve x0, x1, . . . , xn ∈ [a, b]. Eğer f (xj) = 0 ise j = 0, 1, . . . , n için, o zamna c sayısı, c ∈ (a, b) ile bulunur. f (n)(c) = 0 gibi.

16. CALCULUS TEMELLERİ • Integraller • Teorem 1.8 (İlk Temel Teorem). Eğer f, [a, b] üzerinde sürekli ve F, [a, b] f’in antitürevidir, o zaman (12) ki orada dir. • Teorem 1.9 (İkinci Temel Teorem). Eğer f, [a, b]üzerinde sürekli ve x ∈ (a, b) ise o zaman (13)

17. CALCULUS TEMELLERİ • Integraller • Örnek 1.3.Fonksiyon f (x) = cos(x)’a Teorem 1.9 aralık [0, π/2] üzerinde uygulanırsa; sonuç olarak zincir kuralı ile • Teorem 1.10 (Integraller için Orta Değer Teoremi). f ∈ C[a, b] farz edilirse o zaman c sayısı c ∈ (a, b) ile bulunur f (c) değeri f’in [a, b] aralığında ortalama değeridir.

18. CALCULUS TEMELLERİ • Integraller Şekil 1.3. e [0,2.5] aralığında Integraller için Ortalama Değer Teoreminin uygulanması • Örnek 1.4 fonksiyon ‘a Teorem 1.10 [0,2.5] aralığında uygulanırsa. f (x)’in anitürevi f (x) fonksiyonunun [0, 2.5] aralığındaki ortalama değeri

19. CALCULUS TEMELLERİ • Integraller • Teorem 1.11 (Ağırlıklı Integral Ortalama Değer Teoremi). f’in , g ∈ C[a, b] ve g(x) ≥ 0 için x ∈ [a, b] olduğu kabul edilirse o zaman c sayısı c ∈ (a, b) ile bulunur. Buradan, (14) • Örnek 1.5. f (x) = sin(x) ve g(x) = x2fonksiyonlarına Teorem 1.11 [0, π/2] aralığı üzerinde uygulanırsa sonuç olarak bir c sayısı elde edilir ki, yada

20. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler bir dizi olabilir. O zaman bir sonsuz seridir. n.ci kısmın toplamı dır. Sonsuz seriler yakınsarlar, eğer sadece diziler bir S limitine yakınsarlarsa, yani (15) Eğer bir seri yakınsamıyorsa, ıraksadığı söylenebilir. Örnek 1.6 sonsuz dizi ve n.kısmın toplamı

21. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler Sonuç olarak sonsuz serinin toplamı • Teorem 1.12 (Taylor Teoremi) ve x0 ∈ [a, b] olduğu kabul edilirse o zaman her bir x ∈ [a, b] için c = c(x) sayısı ortaya çıkar (c’nin değeri x’in değerine bağlıdır.) x0ve x aralığında uzanır ki, (16) (17) (18)

22. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler • Örnek 1.7 fonksiyon f (x) = sin(x)’e Teorem 1.12Taylor polinomuPn(x) n= 9.dereceden genişletilirse x0 = 0 değerlendirilerek elde edilir. x = 0 da takip eden türevler ve sayısal değerler fomülde yerine konulursa

23. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler [0, 2π] aralığı üzerinde f ve P9 fonksiyonlarına ait grafikler şekil 1.4’de görülmektedir.

24. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler • Eğer Pn(x) Taylor polinomunun derecesi n verilirse Teorem 1.12, o zaman (19) • Bir polinomun değerlendirilmesi P(x) Polinomunun derecesi n olsun (20) • Hornermetodu yada sentetik bölme polinomun değerlendirilmesi için kullanılan bir tekniktir. Örneğin 5.dereceden polinom aşağıdaki gibi yazılabilir.

25. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler • Theorem 1.13 (Polinom Değerlendirmesi için Horner Metodu)P(x)polinomunun eşitlik (20)’deki formda olduğu farz edilir ve x = c , P(c) olarak değerlendirilir. bn = an alınıp hesaplanırsa O zaman b0 = P(c) olur ve Ardından

26. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler Eşitlik (22)’nin sağ tarafındaki R0içinQ0(x) ve b0değerleri eşitlik (23) de yerine yazılırsa bksayıları eşitlik (20) ve (24) dexkkatsayılarının karşılaştırılması ile elde edilir ve bunlar tablo 1.1’de görülmektedir.

27. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler Tablo 1.1 HornerMetodu için bk katsayıları

28. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler Tablo 1.2Sentetik Bölme İşlemi İçin Horner Tablosu

29. CALCULUS TEMELLERİ • Seriler • Örnek : Sentetik bölme yöntemini kullanarak (Horner metodu) polinom için P(3)’ü bulunuz Buradan P(3)=17 olarak bulunur.

30. BÜYÜK “O” KESME HATASI Dizi tahmini Açıkçası, ve dizilerinin her ikisi sıfıra yakınsar. Ayrıca, bu ilk dizinin ikinci diziye göre sıfıra daha hızlı yakınsadığı görülmüştür. Tanım 1 fonksiyonu ın büyük “0” ı olduğu söylenebilir,  eğer ve sabit çıkarsa belirtilir. Öyle ki olduğunda dır. Büyük “O”h gösterimi iyi bilinen temel fonksiyonların dizilerinin yakınsaklık vb.) büyüme oranını tanımlarken çok kullanışlıdır. Dizilerin yakınsama oranı benzer bir şekilde tanımlanabilir. Tanım 2. ve in büyük “0” h dizisi olduğu söylenebilir. şeklinde belirtilir.Eğer olursa ve N öyle ki her zaman . . iki dizi olduğunu kabul edelim. Genellikle bir fonksiyon , fonksiyonu tarafından yaklaşandır ve hata sınırı ile bilinmektedir. Bu aşağıdaki tanıma yol açar.

31. BÜYÜK “O” KESME HATASI Tanım 3. Varsayalım ki fonksiyonuna ile yaklaşılsın ve gerçek sabit olurolur. ve bir pozitif tamsayı n böylece küçük h için yeterlidir. Dizinin tahmini ile aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz Bu ilişki biçiminde yeniden yazılabilir. notasyonunugörebilirizhata sınırı kısmında durur.   Aşağıdaki sonuçlar,iki fonksiyonun basit kombinasyonlarını tanımlamak için nasıl uygulanacağını gösterir. ve ve varsayılır ki sonra (i) (ii) (iii) koşuluyla

32. BÜYÜK “O” KESME HATASI Büyük ‘O’ Kesme Hatasının Sağlaması , Büyük ‘O’ Kesme Hatasının İncelenmesi Taylor polinomuyaklaşımının derecesi , ile belirlenebilir. O zaman artan terimler kolayca gösterilebilir. in kuvveti ile terimlerin kısaltılmasına başlanır. Artan terimler Sıfıra aynı hız ile yakınsar, h sıfıra yaklaşır. aynı hız ile yakınsar, h sıfıra yaklaşır . Bu ilişki aşağıdaki şekilde ifade edilir. küçük h için yeterlidir.Bu nedenle gösterimi ın yerinin miktarını verir. Burada M bir sabit gibi davranır.

33. BÜYÜK “O” KESME HATASI Teorem (Taylor Polinomu) Varsayalım ki fonksiyonu ve onun türevleri üzerinde sürekli olsun. Ve fonksiyonlarının her ikisi aralığında uzanırsa ve olursa o zaman n-inci derece Taylor polinomunun genişlemesi ile ilgilidir. Taylor polinomununderecesi n dir ve

34. BÜYÜK “O” KESME HATASI artanın integral formu aşağıdaki gibidir. ve artan için Lagrangeformülü burada c x‘e bağlıdır ve x0-x arasında bir yerlerde bulunur. Bir dizinin yakınsamasının düzeni Nümerik yaklaşımlarda arzu edilen cevaba çok daha fazla yaklaşmak için sıklıkla dizinin yaklaşımı hesaplanır. Büyük “0” ın tanımlaması için diziler tanım 2’de verildi ve bir dizi için yakınsama düzeninin tanımlaması tanım 3’de verilen fonksiyonlar için benzerdir

35. BÜYÜK “O” KESME HATASI Tanım 4 ve in ile bir dizi olduğu farzedilir. x’e yakınsar, bu in yakınsama düzeni ile gerçekleşir. Eğer K sabiti oluşursa öyle ki n için yeterince büyüktür . Bu yazılarak belirtilir veya

36. KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK SAYILARA GENEL BAKIŞ Hiçbir gerçel (reel) sayı kendisiyle çarpıldığında –1 sonucunu veremeyeceğinden –çünkü iki eksinin çarpımı artı yapar– matematikçiler –1 sayısının karekökünü “imajiner (hayali) sayı” olarak anarlar. • Artı ve eksinin bu çelişkili bileşimi, kuantum mekaniğinde kesinlikle çok önemli bir rol oynar, modern bilimin temeli olan bir sürü denklem bu sayıyı içerir. • Bu matematiğin şaşırtıcı çelişkiler barındırdığı tartışma götürmez. Hoffman bu hususta şunları söylemek zorunda kalmıştır: Böylesi bir formülün, katı deneyler dünyasıyla, yani fizik dünyasıyla herhangi bir bağlantısının olması gerektiğine inanmak güçtür. Yeni fiziğin en derin temelini oluşturacağı ve kendisinden öncekilere göre bilim ve metafiziğin bağrına çok daha derin biçimde uzanacağı, bir zamanlar dünyanın yuvarlak olduğu doktrini ne kadar inanılmaz göründüyse o kadar inanılmazdır.

37. KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK SAYILARIN CEBİRİ Karmaşık sayılar, gerçel sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir. Karmaşık sayılar kümesi, gerçel sayılar kümesini kapsar. Karmaşık sayılar biri gerçel biri sanal olmak üzere iki kısımdan oluşur. Bütün karmaşık sayılar a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, a + bi biçimde yazılabilir. Burada i, x2 = - 1 denkleminin köklerinden biri, başka bir deyişle -1′in kareköküdür. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde i yerine, j kullanılır. Toplama ve Çıkarma Çarpma Bölme Toplama ve çarpma işlemi ise şu şekilde tanımlanır: z1 = (a,b),z2 = (c,d) olmak üzere; Üstel ifade

38. KARMAŞIK SAYILAR • Euler formülünden bir karmaşık sayı • "Fazör" formunda aşağıdaki gibi yazılmış olabilir • Burada, karmaşık katsayısı olarak (veya bazen karmaşık normu) bilinir ve karmaşık argümanı veya faz olarak bilinir. Mutlak kare ile tanımlanır , Karmaşık eşlenik ve argüman hesaplaması olarak tanımlanır.

39. KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİSİ Karmaşık sayılar xy düzleminde vektör ile temsil edilirler. Bu karmaşık düzlemde ile temsil edilir. Grafikte de görüldüğü gibi çeşitli karmaşık sayı denklemleri xy ekseninde vektörel olarak yerleştirilmiştir. Karmaşık sayılar ve düzlemde de gösterilebilir. noktarıxy düzlemine yerleştirildiğinde aşağıdaki gibi bir düzlem elde eilebilir. Burada elde edilen eşitlikte vektörü elde edilmiştir.

40. KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK DİZİLER VE SERİLER Karmaşık bir dizi karmaşık sayıların bir alt kümesi olan pozitif tamsayı ve sonsuz aralığındaki bir fonksiyondur. Aşağıdaki dizi örneklerine bakacak olursak:

41. KARMAŞIK FONKSİYONLAR KARMAŞIK GEOMETRİ SERİSİ , Bir geometrik dizi olarak adlandırılır ve matematik alanında en önemli serilerden biridir. Geometrik Seri: Eğer ise serisi için yakınsar. Eğer ise ıraksar. serisi için de tanımlanıyorsa fonksiyonunda yakınsar. Veya eşdeğeri olan serisi elde edilir. Eğer ise dizi ıraksar.

42. KARMAŞIK FONKSİYONLAR Eğer olduğunda ise o zaman bütün n ler için elde edilir.

43. 2. Series. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI 1. Onluk Çarpanlar

44. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI 2. SERİLER a. Maclaurin Serileri 1.      e x = 1 + x + x 2 / 2! + ... + x n / n! + ... tüm x için 2.       sin x = x - x 3 / 3! + x 5 / 5! - x 7 / 7! + ... tüm x için 3.       cos x = 1 - x 2 / 2! + x 4 / 4! - x 6 / 6! + ... tüm x için 4.       ln(1 + x) = x - x 2 / 2 + x 3 / 3 -... + (-1) n+1 x n / n + ... (-1 < x <= 1) için 5.       tan x = x + (1/3) x 3 + (2/15) x 5 + (17/315) x 7 + … (-Pi/2 < x < Pi/2) için 6.       arcsin x = x + (1/2) x 3 / 3 + (1.3/2.4) x 5 / 5 + (1.3.5/2.4.6) x 7 / 7 + … (-1 < x < 1) için

45. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI a. Maclaurin Serileri 7.       arctan x = x - x 3 / 3 + x 5 / 5 - ... (-1 < x < 1) için 8.       sinh x = x + x 3 / 3! + x 5 / 5! + x 7 / 7! + ... tüm x için 9.       cosh x = x + x 2 / 2! + x 4 / 4! + x 6 / 6! + ... tüm x için 10.       arcsinh x = x - (1/2) x 3 / 3 + (1.3/2.4) x 5 / 5 - (1.3.5/2.4.6) x 7 / 7 + ... (-1 < x < 1) için 11.       1 / (1 - x) = 1 + x + x 2 + x 3 + ... (-1 < x < 1) için

46. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI b. Aritmetik Seriler 12.       Sn = a + (a + d) + (a + 2d)+...+(a + [n-1]d) = (n/2)[ilk terim+ son terim] = (n/2)[a + (a+[n - 1]d) = n(a + [n - 1]d) c. Geometrik Seriler 13.       Sn = a + a r + a r 2 + a r 3 +...+ a r n-1 = a (1 - r n)/(1 - r) d. Tamsayı Seriler 14.       1 + 2 + 3 + ... + n = (1 / 2) n (n + 1) 15.       1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = (1 / 6) n (n + 1)(2n + 1) 16.       1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = [ (1 / 2) n (n + 1) ] 2

47. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI 3. FAKTORYEL, PERMUTASYON, KOMBİNASYON 1. n faktoryel = n ! = n.(n-1).(n-2)...2.1 2.     n nesnesinin r Permutasyonu : n P r = n ! / [ (n - r) ! ] 3.     n nesnesinin r kombinasyonu : n C r = n ! / [ r ! (n - r) ! ] 4. BINOM AÇILIM . Eğer n pozitif bir tamsayı ise, (x + y) n ifadesini aşağıdaki gibi açabiliriz(x + y) n = n C 0 x n + n C 1 x n - 1 y + n C 2 x n - 2 y 2 + ... + n C n y n Genel ifade ise n C r için: n C r = n ! / [ r ! (n - r) ! ]

48. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI 5. TRİGONOMETRİK FORMÜLLER. 1. cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B 2. cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B 3. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B 4. sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B 5. tan(A + B) = [ tan A + tan B ] / [ 1 - tan A tan B] 6. tan(A - B) = [ tan A - tan B ] / [ 1 + tan A tan B]

49. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI 5. TRİGONOMETRİK FORMÜLLER. 7. sin A + sin B = 2 sin [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ] 8. sin A - sin B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ] 9. cos A + cos B = 2 cos [ (A + B) / 2 ] cos [ (A - B) / 2 ] 10. cos A - cos B = - 2 sin [ (A + B) / 2 ] sin [ (A - B) / 2 ]

50. MATEMATİK FORMÜLLERİNİN TABLOLARI 5. 1 Trigonometrik Fonksiyonların formüllerinin çıkarılması 11. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) 12.  2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) 13. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) 14. 2 sin A sin B = - cos (A + B) + cos (A - B)