考纲解读 1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2 ．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3 ．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

3. 考纲解读 • 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． • 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． • 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． • 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

4. 考向预测 • 1．平面向量数量积的运算、模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题． • 2．数量积的几何运算与数量积的坐标运算及其几何意义，及数量积的变形应用均为常规应用，也是考查重点．关注数形结合思想的应用．

6. 知识梳理 • 1．两个向量的夹角 • (1)定义 • 已知两个向量a和b，作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 非零

7. [0，π] • (2)范围 • 向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝. • (3)向量垂直 • 如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作a⊥b. • 2．平面向量的数量积 • (1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作 • . 0 π 90° |a|·|b|cosθ a·b＝|a||b|·cosθ

8. 0 a·b＝0 a·b＝±|a||b| • 规定：零向量与任一向量的数量积为. • 两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是. • (2)向量的投影 • 定义：设θ为a与b的夹角，则 (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影． • (3)平面向量数量积的几何意义 • 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积． |a|cosθ |b|cosθ

9. |a|cosθ a·b＝0 • 3．平面向量数量积的重要性质 • (1)e·a＝a·e＝； • (2)非零向量a，b，a⊥b⇔； • (3)当a与b同向时，a·b＝ ， • 当a与b反向时，a·b＝ ， • a·a＝ ，|a|＝ • (4)cosθ＝ • (5)|a·b| |a||b|. |a||b| －|a||b| a2 ≤

10. b·a λ(a·b) a·(λb) • 4．平面向量数量积满足的运算律 • (1)a·b＝(交换律)； • (2)(λa)·b＝ ＝(λ为实数)； • (3)(a＋b)·c＝. a·c＋b·c

12. [答案]C

13. [答案]C • [解析]本题考查了平面向量的坐标运算和数量积的坐标运算，在解决问题时需要先设出向量坐标，然后求得参数，该题较为简单．

15. [答案]B

16. 4．已知两单位向量a，b的夹角为60°，则两向量p＝2a＋b与q＝－3a＋2b的夹角为()4．已知两单位向量a，b的夹角为60°，则两向量p＝2a＋b与q＝－3a＋2b的夹角为() • A．60°B．120° • C．30°D．150° • [答案]B • [分析]本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法．

18. 5．(2010·江西文)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是____________．5．(2010·江西文)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是____________． • [答案]1

19. [答案]3

20. 7．已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．7．已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

23. [分析]利用向量数量积的定义、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义．[分析]利用向量数量积的定义、运算律及模的求法求解，注意两向量夹角的定义．

27. 3．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．3．平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择． • 4．利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

28. [分析]利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a＋b|时注意x的取值范围．[分析]利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a＋b|时注意x的取值范围．

31. [点评]与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.[点评]与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.

32. [例2]　已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. • (1)计算|a＋b|，|4a－2b|； • (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?

34. (2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0， • ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， • 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7. • [点评]1.当a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. • 2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.

39. [例3]　已知a，b都是非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．[例3]　已知a，b都是非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

42. [点评]1.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．[点评]1.求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角． • 2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．

43. (2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝()(2009·全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝() • A．150°B．120° • C．60°D．30° • [答案]B • [解析]本题主要考查向量运算的几何意义． • ∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c • ∴如图所示就是符合的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．∴〈a，b〉＝120°.

49. [答案]C • [解析]设a1为椭圆的长半轴长，a2为双曲线的实半轴长，当P点在双曲线的右支上时，由题意得，