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GCT 数学复习串讲

GCT 数学复习串讲. 肖新平 武汉理工大学. 第一部分 算术. [ 考试要求 ] 数的概念和性质，数的四则运算及其应用。 [ 内容综述 ] 1 ．数的概念：整数、分数、小数、百分数等。 2 ．数的运算 （ 1 ）整数的四则运算； （ 2 ）小数的四则运算； （ 3 ）分数的四则运算. 3 ．数的整除 ： 整除 ( ) 、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数、合数、质因数、公倍数、最小公倍数 ( ) 、公约数、最大公约数、互质数、最简分数。

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  1. GCT数学复习串讲 肖新平 武汉理工大学

  2. 第一部分 算术 • [考试要求] 数的概念和性质，数的四则运算及其应用。 • [内容综述] 1．数的概念：整数、分数、小数、百分数等。 2．数的运算 （1）整数的四则运算； （2）小数的四则运算； （3）分数的四则运算

  3. 3．数的整除 ： 整除( )、倍数、约数、奇数、偶数、质（素）数、合数、质因数、公倍数、最小公倍数( )、公约数、最大公约数、互质数、最简分数。 4．比和比例： 比例、 ，正比例关系、 ，反比例关系 等。

  4. [典型例题] 1．算术平均数（平均值）问题 例：某书店二月份出售图书3654册，比一月份多出售216册，比三月份少出售714册，第二季度的出售量是第一季度出售量的倍，求书店上半年平均每月出售图书多少册？ 分析：

  5. （又如前10个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题） （又如前10个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题） 2．植树问题* （1）全兴大街全长1380米，计划在大街两旁每隔12米栽一棵梧桐树，两端都栽。求共栽梧桐多少棵？ 分析：

  6. （2）将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数。 （2）将一边长为2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了安全，钉子的间距不能超过30厘米，且四角必须固定，求需要的最少钉子数。 分析：根据要求，每边至少需要7个钉子，所以至少需要 个钉子 。

  7. 3．相遇与追及问题 ， ， 例：某部队以每分钟100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员以3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队尾。已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？已知通信员从出发到返回队尾，共用了9分钟，求行军部队队列的长度？ 分析：设队伍长度为 ，则 解得

  8. 4．顺流而下与逆流而上问题 例：两个码头相距352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时。求这条河的水流速度。 分析：因为 ，所以 解得

  9. 5．列车过桥与通过隧道问题 例：一列火车全长270米，每秒行驶18米，全车通过一条隧道需要50秒。求这条隧道的长。 分析：设隧道长为 ，则 ， 所以 6．分数与百分数应用问题** （1）有东西两个粮库，如果从东库取出 放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的 。已知东库原来存粮5000吨，求西库原来的存粮数。

  10. 分析：设西库原来的存粮数为 ，则 所以 （2）某工厂二月份产值比一月份的增加 ，三月份比二月份的减少 ，那么 ( )。 A．三月份与一月份产值相等。 B．一月份比三月份产值多 。* C．一月份比三月份产值少 。 D．一月份比三月份产值多 。

  11. 分析：设一月份的产值为 ，则三月份的产值为 ，所以一月份比三月份产值多 7．简单方程应用题 某机床厂今年每月生产机床100台，比去年平均月产量的2倍少40台，求去年的平均月产量。 分析：设去年的平均月产量为 ，则 所以

  12. 8．比和比例应用题 例：一件工程，甲独做30天可以完成，乙独做20天可以完成，甲先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了22天。问甲、乙两人各做了多少天？ 分析：设甲、乙两人分别做了 天和 天。根据题意得 解得

  13. 9．求单位量与求总量的问题 例：搬运一堆渣土，原计划用8辆相同型号的卡车15天可以完成，实际搬运6天后，有两辆卡车被调走。求余下的渣土还需要几天才能运完？ 分析：设要运完余下的渣土还需要 天，则 所以

  14. 10．和倍、差倍与和差问题 （1）把324分为A,B,C,D四个数，如果A数加上2，B数减去2，C数乘以2，D数除以2之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？ 分析：根据题意得 解得

  15. （2）父亲今年43岁，儿子今年13岁。问几年以前，父亲的年龄是儿子的4倍？ （2）父亲今年43岁，儿子今年13岁。问几年以前，父亲的年龄是儿子的4倍？ 分析：设 年，则 ，所以 • [样题与真题] [数的运算] 1．设直线方程 ，且 的截距是 的截距的 倍，则 与 谁大？(C) (A) ， (B) ， (C) 一样大，(D) 无法确定

  16. 2．方程 的根的个数为(A) (A) 0 ，(B) 1，(C) 2，(D) 3 3．设 均为大于零的实数，且 ，则 与 谁大？(A) (A)前者，(B)后者，(C)一样大，(D)无法确定 4．某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘加上右手中石子数乘之和为，则左手中石子数为奇数，还是偶数？(A) (A)奇数 ， (B)偶数 ， (C)无法确定， (D)无石子

  17. 5.(2003)已知 ，则(0.9) A． ，B．，C． D． * 6 .(2003) 。（0.94） A．10，B．11，* C．12，D．13 [平均值问题] 1．从生产的一批灯泡中任意抽取5个，测的寿命（小时）分别为113，110，107，100，95，若用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为(C) A 103，B 104，C 105，D 106

  18. 2．张某以10.51元/股的价格买进股票20手，又以9.8元/股买进30手，又11.47以元/股买进50手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元/股）？（1手100股）(D) (A) 11.02，(B)10.32，(C) 9.98 (D)10.78 3．(2003)记不超过10的素数的算术平均为 ，则与 最接近的整数是。（0.58） A．2，B．3，C．4 * ，D．5

  19. [植树问题] 1．(2003)1000米大道两侧从起点开始每隔10米各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要。（0.95） A 树200课，花200盆， B 树202课，花200盆 * C 树202课，花202盆， D 树200课，花202盆

  20. [和倍、差倍、和差] 1．小明今年一家四口人，全家年龄之和为69岁，父亲比母亲大一岁，姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为54岁，则父亲今年多少岁？(D) (A)28， (B)29， (C)30， (D)31

  21. [分数、百分数应用] 1．(2003)某工厂产值三月份比二月的增加 四月份比三月的减少 ，那么（0.77） A．四月份与二月份产值相等， B．四月份比二月份产值增加， C．四月份比二月份产值减少， D．四月份比二月份产值减少 *

  22. [其他问题] 1．一顾客去甲商店买价格为48元的鞋子，给了甲店主一张50元钞票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和2元钱一起给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张50元钞票为假币，索要甲店主一张50元真币。问甲店主赔了多少钱？(A) (A)50元 (B) 48元 (C)100元 (D)98元

  23. 2．相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B) (A)前者，(B)后者，(C)一样大，(D)无法确定 3．兔狗赛跑，规定各跑完50尺后，再跑回原地。它们速度分别是：狗一次蹦2尺，兔一次蹦3尺；规定狗蹦三次的同时，兔只能蹦两次。问谁先回到原地？(A) (A)狗 (B)兔 (C)一起到 (D)无法确定

  24. [模拟练习] 1． 的平均值等于[ ] (A) 49. (B)50. (C) 51.* (D) 52. 2．组织一次有200人参加的象棋比赛，若比赛采取淘汰制且只取第一名，则需要进行比赛的场次为[ ] (A) 198. (B) 199.* (C) 200. (D) 201.

  25. 3．设 ，则下列命题中正确的是［(C)］ (A)若 均是无理数，则 也是无理数。 (B)若 均是无理数，则 也是无理数。 (C)若 是有理数，是无理数，则 是无理数 (D)若 是有理数，是无理数，则 是无理数。 4．有一正的既约分数，若在其分子加上24，分母加上54，则其分数值不变，此既约分数的分子与分母的乘积等于( ) (A)24 (B) 30 (C)32 (D)36*

  26. 5．9121除以某质数，余数得13，这个质数是() (A ) 7 (B) 11 (C ) 17 (D) 23* 6．若 是一个大于100的正整数，则 一定有约数[ ] (A)5. (B)6.* (C)7. (C)8. 7．一个三角形三内角大小之比为 ，则这个三角形[ ] (A)是直角三角形。* (B)是钝角三角形。 (C)是锐角三角形。 (D)可能是直角三角形，也可能是钝角三角形或锐角三角形。

  27. 8．一班同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的同学人数[ ] (A) 一定是4的倍数。* (B) 不一定是4的倍数。 (C) 一定是2的倍数，不一定是4的倍数。 (D) 上述三个都不正确。 9．一段马路一边每隔30m立有一电线杆，另一边每隔25m栽有一树，在马路入口与出口处刚好同时有电线杆与树相对而立，他们之间还有7处也同时有电线杆与树相对立，此段马路总长度为（ ） (A) 900m (B) 1050 (C) 1200m * (D)1350m

  28. 10．古时有士兵1800人守城，准备了120日的粮食，若增兵600人，而每人每日粮食定量比原来减少了 ，则所准备粮食可以支持[ ] (A)120日，(B)125日，(C)130日，(D)135日 * 11．一水池有两个进水管A,B，一个出水管C。若单开A管，12小时可灌满水池，单开B管，9小时可灌满水池，单开C管，满池的水8小时可放完。现A,B,C三管齐开，则水池满水需要[ ]（0.861） (A) 13小时24分， (B) 13小时48分， (C) 14小时24分 * (D) 14小时48分。

  29. 12．某区有东、西两个正方形广场，面积共1440 。已知东广场的一边等于西广场周长的 ，则东广场的边长为[ ]（0.83） (A) 8m，(B) 12m，(C) 24m，(D) 36m * 13．设 是边长a为的正方形， 是以 四边的中点为顶点的正方形， 是以 四边的中点为顶点的正方形，则 的面积与周长分别是[ ] (A) (B) * (C) (D)

  30. 14．一个圆柱底面直径和高都为8，一个圆锥底面直径和高都为4，则圆锥和圆柱的体积比为（） （A）1:2（B）1:24 * （C）1:8　（D）1:4 15．曱、乙、丙三人分奖金，三人所得之比为 ，曱分得900元，则奖金总数为 ( ) (A) 2850元 (B)2580元 (C) 2770元 * (D) 3050元

  31. 16．周长相同的圆、正方形和正三角形的面积分别为 和 ，则[ ] (A) * (B) (C) (D) 17．甲从A地出发往B地方向追乙，走了6个小时尚未追到，路旁店主称4小时前乙曾在此地，甲知此时距乙从A地出发已有12小时，于是甲以2倍原速的速度继续追乙，到B地追上乙，这样甲总共走了约（　　　） (A) 8小时　 (B) 8.5小时*　　(C) 9小时　 (D) 9.5小时 (取最近的选项)

  32. 第二部分 代数 • [考试要求] 代数式和不等式的变换和计算。 包括：实数和复数；乘方和开方；代数表达式和因式分解；方程的解法；不等式；数学归纳法，数列；二项式定理，排列，组合等。 • [内容综述] • 一、数和代数式 1．实数的运算

  33. （1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） （1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） （2）绝对值

  34. 2．复数的运算及其几何意义

  35. 3．几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、立方差等） • 二、集合、映射和函数（微积分） 1．集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律） 2．函数 （1）概念（定义、两要素、图形、反函数）

  36. （2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）（2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） （3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式）

  37. 三、代数方程：一元二次方程 （1）求根公式（判别式）； （2）根与系数的关系； （3）二次函数的图像

  38. 四、不等式 （1）不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝对值不等式） （2）几种常见不等式的解法 绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等 • 五、数列（微积分）、（数学归纳法） 1．数列的概念（数列、通项、前项的和、各项的和、数列与数集的区别）

  39. 2．等差数列 （1）概念（定义、通项、前项的和）； （2）简单性质：中项公式、平均值 3．等比数列 （1）概念（定义、通项、前项的和）； （2）简单性质：中项公式

  40. 六、排列、组合、二项式定理 1．加法原理与乘法原理 2．排列与排列数 （1）定义；（2）公式 注 阶乘（全排列） 3．组合与组合数 （1）定义；（2）公式； （3）基本性质

  41. 4．二项式定理 • 七、古典概率问题 1．基本概念 必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2．概率的概念与性质 （1）定义（非负性、规范性、可加性）； （2）性质

  42. 3．几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型） （2）互不相容事件 ， 对立事件 （3）相互独立事件 （4）独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为 。

  43. [典型例题] • 一、数和代数式 1．若 且 ,则 的最小值是[ B ] (A) 2，(B) 3，(C) 4，(D) 5 分析： 表示复数z对应的点在以点 为圆心、半径是1的圆周上 最小，是指复数z对应的点到点 的距离最短，此最短距离为3。

  44. 2．如果 整除 ，则实数 [ D ] (A) 0，(B) -1，(C) 2 ，(D) 2或-1 分析： 能够整除 说明 是 的 的一个因子，因此当 时， 的值应为0， 即 解得 或 。

  45. 二、集合、映射和函数 1．已知 ，函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是[ D ] (A) (B) (C) (D) 分析：函数 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 为奇函数，故其偶次项的系数为0，即 。 注：也可利用 求得 ，再说明当 时， 的图像关于原点对称.

  46. 2．设 ，且 ，那么 [ B ] (A) (B) (C) (D) 分析：由于 ，所以选项(A)(C)不正确。 根据 及 可知

  47. 三、代数方程和简单的超越方程 1．设 ，若 是方程 的两个根，求 分析：根据韦达定理可知 ，所以

  48. 2．指数方程组 的解[ A ] (A)只有一组 (B)只有两组 (C)有无穷多组 (D)不存在 分析：在方程组 中每个方程的两端取对数，得 由于x与y的系数不成比例，所以此方程组只有一组解 。

  49. 四、不等式 已知集合 ，集合 ，若 ，求a得取值范围。 分析：当 时， ； 当 时， 。 所以当 时，不会有 ； 当 时，若 ，则 。

  50. 五、数列 1．设 是一等差数列，且 求 和 。 分析：由于 ，所以

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