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Tema 1

Tema 1. NÚMEROS REALES. Tema 1.2 * 1º BCS. NÚMEROS IRRACIONALES. Números IRRACIONALES. DEFINICIÓN Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción.

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Presentation Transcript

  1. Tema 1 NÚMEROS REALES Matemáticas Aplicadas CS I

  2. Tema 1.2 * 1º BCS NÚMEROS IRRACIONALES Matemáticas Aplicadas CS I

  3. Números IRRACIONALES • DEFINICIÓN • Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. • Ejemplo: 21,303003000… • No se pueden escribir en forma de fracción. • Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) • Los más importantes y característicos son: • El número √2 = 1,4142… • El número π = 3,1415 … • El número e = 2,7182… Matemáticas Aplicadas CS I

  4. 1 1 El número √2 • El primer radical irracional conocido fue √2 . Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. • Fue descubierto por Pitágoras, pero prohibió a sus alumnos difundirlo, pues uno de sus dogmas era que todo número se podía expresar como división o razón de otros dos; y claro, al ser √2 un número irracional, quedaba fuera del dogma. • Aplicando el T. de Pitágoras: • h= √ (12 + 12) =√ (1 + 1) = √ 2 • En general, si p no es una potencia n-sima, n • √ p es un • número irracional. √2 Matemáticas Aplicadas CS I

  5. El número л • El número л • La relación entre la longitud de una circunferencia y uno cualquiera de sus diámetros. • л = 3,141592… A O B Matemáticas Aplicadas CS I

  6. El número e • Sea la sucesión • n • 1 • 1 + ---- , donde n es un número natural • n • Para n = 1 , el término de la sucesión vale: (1+1)1 = 2 • Para n = 2 , el término de la sucesión vale: (1+0,5)2 = 2,25 • ………………………………………………………………………… • Para n = 100 , el término de la sucesión vale: (1+0,01)100 = 2,7048 • Para n = 1000 , el término de la sucesión vale: (1+0,001)1000 = 2,7169 • Vemos que n aumenta mucho, pero el término muy poco. • Si hallamos su limite (4º ESO) en el infinito: • 1 n • L = lím ( 1 + ---- ) = e = 2,7182… • noo n Matemáticas Aplicadas CS I

  7. El número Ø C D O • El número Phi ( Ø ) • La divina proporción • 1 x • ----- = --------- • x x+1 • x ( Ø ) = 1,618281… 1 A 1 B Matemáticas Aplicadas CS I

  8. Valor absoluto • VALOR ABSOLUTO. • El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo. • Ejemplos: • |2| = 2 • |-3| = 3 • | -3/4| = ¾ • |- √2| = √2 • |1 - √5| = √5 – 1 , pues √5 es mayor que 1 • |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real. Matemáticas Aplicadas CS I

  9. Propiedades • 1.- |a| = |–a| • Ejemplo • Sea a = – 5  |– 5| = |– (–5)|  |– 5| = |5|  5 = 5 • 2.- |a.b| = |a|.|b| • Ejemplo_1 • Sea a=3 y b=– 2  |3.(–2)| = |3|.|–2|  |–6| = 3.2  6 = 6 • 3.- |a+b| ≤ |a|+|b| • Ejemplo_1 • Sea a = 3 y b = – 2  |3+(–2)| ≤ |3|+|–2|  |1| ≤ 3+2  1 ≤ 5 Matemáticas Aplicadas CS I

  10. Aplicaciones • ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? • EJEMPLO 1 • |x| = 5 • |x| = 5 ↔ x = 5 o x = – 5 • EJEMPLO 2 • |x| > 5 • |x| > 5 ↔ x > 5 o x < – 5 • EJEMPLO 3 • |x| < 5 • |x| < 5 ↔ x < 5 y x > – 5 - 5 0 5 - 5 0 5 - 5 0 5 Matemáticas Aplicadas CS I

  11. ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? • EJEMPLO 4 • |x – 3| = 5 • x – 3 = 5  x = 8 • x – 3 = – 5  x = – 2 • EJEMPLO 5 • |3 – x | ≥ 5 • 3 – x ≥ 5  – 2 ≥x • 3 – x ≤ – 5  8 ≤ x - 2 0 8 - 2 0 8 Matemáticas Aplicadas CS I

  12. EJEMPLO 6 • Expresa, sin la notación del valor absoluto, |x – 3| + x • Buscamos los valores para los cuales el valor absoluto se bifurca: x – 3 = 0  x = 3 • Habrá dos intervalos diferentes: (-oo , 3) y (3, +oo) • – x + 3 + x = 3 , si x < 3 • |x – 3| + x = • x – 3 + x = 2.x – 3 , si x ≥ 3 • Aplicación 1 • Si fuera una ecuación, |x – 3| + x = 1, resolveríamos: • 3 = 1 , si x < 3 No habría solución • 2.x – 3 = 1 , si x ≥ 3  2.x = 4  x = 2  No valdría al ser x ≥ 3 • No habría ningún valor de x que cumpliera la ecuación. • Aplicación 2 • Hallar el valor para x = – 2 y para x = 5 • Para cada valor de x hay que tomar el intervalo en el que se encuentre: • Para x = – 2  1 • Para x = 5  2.x – 3  2.5 – 3 = 10 – 3 = 7 Matemáticas Aplicadas CS I

  13. EJEMPLO 7 • Expresa, sin la notación del valor absoluto, |x + 5| – (3 – x) • Buscamos los valores para los cuales el valor absoluto se bifurca: x + 5 = 0  x = – 5 • Habrá dos intervalos diferentes: (– oo , – 5) y (– 5 , +oo) • – x – 5 – (3 – x) = – 8 , si x < – 5 • |x + 5| – (3 – x) = • x + 5 – 3 + x = 2.x + 2 , si x ≥ – 5 • Aplicación 1 • Resuelve la ecuación: |x + 5| – (3 – x) = 7 • – 8 = 7 , si x < – 5  No habría solución. • 2.x + 2 = 7 , si x ≥ – 5  x = (7 – 2) / 2 = 2,50 sería una solución, la única. • Aplicación 2 • Hallar el valor para x = 1 • Para x = 1  2.x + 2  2.1 + 2 = 2+2 = 4 Matemáticas Aplicadas CS I

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