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Monte Carlo 模拟. 第二章 均匀分布随机数的产生. 2.3 线性乘同余方法 （ Linear Congruential Method). 1948 年由 Lehmer 提出的一种产生伪随机数的方法，是最常用的方法。. 2.3 线性乘同余方法 （ Linear Congruential Method). 1 、递推公式：. mod: 取模运算： ( aI n +c ) 除以 m 后的余数 实型随机数序列：. 其中：. I 0 ： 初始值（种子 seed) a ： 乘法器 （ multiplier)
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Monte Carlo 模拟 第二章均匀分布随机数的产生 2.3 线性乘同余方法 （Linear Congruential Method)
1948年由Lehmer提出的一种产生伪随机数的方法，是最常用的方法。1948年由Lehmer提出的一种产生伪随机数的方法，是最常用的方法。 2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 1、递推公式： mod:取模运算：(aIn+c)除以m后的余数 实型随机数序列： 其中： I0： 初始值（种子seed) a： 乘法器 （multiplier) c： 增值（additive constant) m： 模数（modulus) mod：取模运算：(aIn+c)除以m后的余数 a, c和m皆为整数 产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算 如果c=0 乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列
1）最大容量为m： 2）独立性和均匀性取决于参数a和c的选择 例：a=c=I0=7, m=10 7,6,9,0,7,6,9,0,… 2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 2、实型随机数序列： 3、特点：
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 4、模数m的选择： • m应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于m; • 通常将m取为计算机所能表示的最大的整型量，在32位计算机上，m=231=2x109 5、乘数因子a的选择： 1961年，M. Greenberger证明：用线性乘同余方法产生的随机数序列具有周期m的条件是： • c和m为互质数； • a-1是质数p的倍数，其中p是a-1和m的共约数； • 如果m是4的倍数，a-1也是4的倍数。 例：a=5,c=1,m=16,I0=1 周期=m=16 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,..
1961年由IBM提出 RANDU随机数产生器： 2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) unsigned long seed = 9; float randu() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long m = pow(2,31); unsigned long i1; i1 = (a * seed) % m; seed = i1; return (float) i1/float(m); } void SetSeed(unsigned long i) { seed = i; }
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 存在严重的问题： Marsaglia效用，存在于所有乘同余方法的产生器 void test() { c1 = new TCanvas("c1",“Test of random number generator",200,10,700,900); pad1 = new TPad("pad1",“one ",0.03,0.62,0.50,0.92,21); pad2 = new TPad("pad2",“one vs one",0.51,0.62,0.98,0.92,21); pad3 = new TPad("pad3",“one vs one vs one",0.03,0.02,0.97,0.57,21); pad1->Draw(); pad2->Draw(); pad3->Draw(); TH1F * h1 = new TH1F("h1","h1",100,0.0,1.0); TH2F * h2 = new TH2F("h2","h2",100,0.0,1.0,100,0.0,1.0); TH3F * h3 = new TH3F("h3","h3",100,0.0,1.0,100,0.0,1.0,100,0.0,1.0);
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) for(int i=0; i < 10000; i++) { float x = randu(); float y = randu(); float z = randu(); h1->Fill(x); h2->Fill(x,y); h3->Fill(x,y,z); } pad1->cd(); h1->Draw(); pad2->cd(); h2->Draw(); pad3->cd(); h3->Draw(); }
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 如果取a=69069,将极大地改善结果
对于32位的计算机，在d-维空间中超平面的最大数目为对于32位的计算机，在d-维空间中超平面的最大数目为 d=3 2953 d=4 566 d=6 120 d=10 41 2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 1968年，Marsaglia对这一问题进行了研究，认为： 任何的乘同余产生器都存在这一问题：在三维和三维以上的空间中，所产生的随机数总是集聚在一些超平面上 随机数序列是关联的 改进措施：将递推公式修改为 特点：1）需要两个初始值（种子）； 2）周期可大于m;
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) #include <math.h> unsigned long seed0 = 9; unsigned long seed1 = 11; float randac() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long b = 65539; unsigned long i2; unsigned long m = pow(2,31); i2 = (a * seed1 + b * seed0 ) % m; seed0 = seed1; seed1 = i2; return (float) i1/float(m); } void SetSeed(unsigned long i0, unsigned long i1) { seed0 = i0; seed1 = i1; }
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) a=b=65539, seed0=9, seed1=11
Jetset(LUND Monte Carlo模拟系列）：利用Marsaglia等所提出的算法，周期可达1043 函数用法：r=rlu(idummy) • Geant3(探测器模拟程序，FORTRAN): 周期=1018 Call grndm(vec*,len) • Y=rndm(x): 周期：5x108 • Y=rn32(dummy):乘同余法，a=69069,i0=65539 • Call ranmar(vec,len): 周期：1043 • Call ranecu(vec,len,isq) 2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 如何获取[0,1]区间均匀分布的随机数产生器： • 每一个Monte Carlo模拟程序软件包都有自带的产生器： …. • 利用CERN程序库：
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) • 利用CLHEP中的随机数产生器软件包： CLHEP(Class Library for High Energy Physics)中的随机数产生器 http://hepg.sdu.edu.cn/~zhangxy/clhep/html/index.html
在FORTRAN中，如果随机数产生器是带dummy变量的函数：在FORTRAN中，如果随机数产生器是带dummy变量的函数： X=RAND(idum) 其中变量idum在函数中不使用，应注意以下问题： • DO I=1,10 • X=RAND(IDUM) • … • END DO X=RAND(IDUM) DO I=1,10 …. END DO 2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) FORTRAN中使用随机数产生器应注意的问题： FORTRAN编译器在对程序进行优化时： X=RAND(IDUM)+RAND(IDUM) X=2.0*RAND(IDUM) 解决办法： • DO I=1,10 • IDUM = IDUM +1 • X=RAND(IDUM) • … • END DO
