1 / 45

MPI 5.-7. prednáška

MPI 5.-7. prednáška. MATEMATICKÁ ANALÝZA. Prednáška č. 5: . Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. Množinové symboly (všetky symboly vedieť čo znamenajú) x  A, x  A, A  B, A  B, A  B, A  B,  a,b,c  ,  =  , A  B, A  B. Príklad 1.

saskia
Télécharger la présentation

MPI 5.-7. prednáška

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. MPI 5.-7. prednáška MATEMATICKÁ ANALÝZA

  2. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Množinové symboly (všetky symboly vedieť čo znamenajú) • xA, xA, AB, AB, AB, AB, a,b,c, =, AB, AB Príklad 1. A=x; x  0, B=x; x5, AB, AB=?, AB=?

  3. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Intervaly reálnych čísel, vnútro intervalu • Ak a,bR, vedieť čo znamenajú symboly (a,b), a,b, a,b), (a,b, (a, ), a, ), (- ,b), (- ,b; • Treba vedieť čo sú to krajné body intervalu, vnútro intervalu. • Príklad 2. • Príklady konkrétnych intervalov a ich grafické znázornenie.

  4. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Definícia reálnej funkcie reálnej premennej Reálna funkcia definovaná na množine A (podmnožine reálnych čísel) je pravidlo (predpis), ktorým každému prvku x z množiny A priradíme jediný prvok y z množiny R (hodnota funkcie v bode x). Zapisujeme y=f(x). (f:AR) • Príklad 3. Uviesť príklady konkrétnych funkcií.

  5. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Definičný obor a obor hodnôt funkcie Množina A je definičný obor funkcie. Množina všetkých hodnôt funkcie sa nazýva obor hodnôt funkcie. Ak nie je definičný obor daný a funkcia je daná vzorcom, tak jej definičným oborom rozumieme „prirodzený“ definičný obor, tj. Množinu všetkých čísel pre ktoré má daný vzorec zmysel. • Príklad 4. Definičné obory funkcií daných vzorcom (zlomok, druhá odmocnina), hodnoty týchto funkcií v konkrétnych bodoch, obory hodnôt týchto funkcií.

  6. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Graf funkcie Graf funkcie y=f(x) je množina bodov x,y (roviny)pre ktoré platí y=f(x). • Príklad 5. Daná je funkcia y=x(x-6) , kde definičný obor je interval (0,6. Nakreslite graf tejto funkcie. Určte obor hodnôt tejto funkcie.

  7. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Ohraničená funkcia (zdola, zhora) Hovoríme, že funkcia f(x) je zhora (zdola) ohraničená na množine A, ak existuje číslo a (b) , že pre každé xA platí af(x) (f(x)b). Funkcia je ohraničená ak je ohraničená aj zdola aj zhora. • Príklad 6. a. Funkcia y=1/x na intervale (0, ) je ohraničená zdola ale nie zhora a na intervale (1,) resp. 1,) je ohraničená. b. Dokážte, že funkcia y = je na celom svojom definičnom obore ohraničená!

  8. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Monotónne funkcie Hovoríme že funkcia f definovaná na množine A je a. rastúca na Apre každé x1, x2A, x1 x 2 je f(x1)  f(x2); b. klesajúca na Apre každé x1, x2A, x1 x 2 je f(x1)  f(x2); c. nerastúca na Apre každé x1, x2A, x1 x 2 je f(x1)  f(x2); d. neklesajúca na Apre každé x1, x2A, x1 x2 je f(x1)  f(x2). • Príklad 7a. Príklady na jednotlivé monotónne funkcie. • Poznámka o rýdzomonotónnych.

  9. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Operácie s funkciami Dve funkcie f a g sa rovnajú (píšeme f = g) práve vtedy, ak sa rovnajú ich definičné obory (ako množiny) a pre každé x z definičného oboru platí f(x)=g(x) . Nech sú dané dve funkcie f a g, s príslušnými definičnými obormi Df a Dg. Nech množina D= Df ∩ Dg je neprázdna množina. Potom pre každé x D možno definovať nasledujúce funkcie: h1 = f + g, h2 = f- g, h3= f.g a za predpokladu g 0 aj funkciu h4= Funkciu h1nazývame súčtom funkcií, funkciu h2 nazývame rozdielom funkcií, funkciu h3 nazývame súčinom funkcií, funkciu h4nazývame podielom funkcií.

  10. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Zložená funkcia Nech je na množine M definovaná funkcia g . Nech pre každé x patriace do M, hodnota g(x) patrí do Df. Potom možno na množine M definovať funkciu h nasledovne: Pre každé x z množiny M položme : h(x) =f[g(x ] . Funkciu h nazývame zloženou funkciou, utvorenou z funkcií f a g. Funkciu f nazývame vonkajšou zložkou a funkciu g vnútornou zložkou zloženej funkcie h. • Upozorňujeme čitateľa, že zložená funkcia môže byť utvorená z viacerých ako dvoch „častí“. Presnejšie povedané, vonkajšia zložka , alebo vnútorná zložka , môžu byť zase zložené funkcie. • Schematicky znázorniť.

  11. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Príklad 8. • Určte definičný obor funkcie y = • Príklad 9. • Zistite, či sa nasledujúce funkcie f a g rovnajú: f , g= x+1.

  12. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Inverzná funkcia Nech f je reálna funkcia. Budeme hovoriť, že funkcia je prostá na množine M , ak pre každú dvojicu x1≠x2, platí:f(x1)≠f(x2) . • Veta . Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá. • Nech f je reálna funkcia, ktorá je prostá na neprázdnej množine M. Označme znakom f(M) obraz množiny M pri zobrazení funkciou f (t.j. f(M) = ). Potom funkciu, ktorá každému y priradí práve to x, ktoré funkcia f zobrazila na tento bod y nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme f-1 .

  13. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Veta Nech f je prostá funkcia. Potom pre každé a z Df platí: • a pre každé b z Hf platí • Príklad 10. Dokážte, že funkcia = 2x+4 je prostá a vypočítajte k nej inverznú funkciu. • Pozorný čitateľ si môže klásť otázku, prečo možno určiť inverznú funkciu iba k funkcii prostej?

  14. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • 11. Párne a nepárne funkcie • Nech definičný obor funkcie f má nasledujúcu vlastnosť: Ak x patrí do Df, tak aj –x patrí do Df . Potom hovoríme, že: a.) je funkcia párna , ak pre každé x platí f(-x)=f(x), b.) je funkcia nepárna, ak pre každé x platí f(-x)=´-f(x).

  15. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Príklad 11. • Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť nasledujúcich funkcií: a) b)

  16. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Definícia postupnosti • Postupnosťou nazývame každú funkciu, ktorej definičným oborom je množina prirodzených čísel. • Hodnoty tejto funkcie nazývame členmi postupnosti. Teda hodnotu v čísle 1 nazývame prvým členom postupnosti a označujeme a1, hodnotu v čísle 2 druhým členom a označujeme a2, atď. Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti a označujeme

  17. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 1:

  18. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 1. Pretože postupnosť je špeciálnym prípadom funkcie (presnejšie je to funkcia so špeciálnym definičným oborom), je ihneď zrejmý pojem monotónnej postupnosti.

  19. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Limita postupnosti a symbol ∞ • Budeme hovoriť, že postupnosť má limitu rovnú číslu a, ak k ľubovoľnému existuje také číslo n0, že pre všetky prirodzené čísla n>n0 je , čo zapisujeme: . Ak má postupnosť limitu rovnú číslu a , tak postupnosť je konvergentná, resp. konverguje k číslu a. Ak postupnosť nemá limitu, tak nie je konvergentná, alebo hovoríme že je divergentná.

  20. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Skutočnosť, že daná postupnosť má limitu zvykneme pomocou kvantifikátorov zapisovať nasledovne:

  21. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Poznámka . • Upozorňujeme čitateľa, že pod pojmom „číslo “ sa myslí reálne číslo, teda nie ∞, ani -∞. Inými slovami: „konvergovať“ znamená mať za limitu konečné reálne číslo. (O postupnostiach, ktoré majú za limitu ∞, alebo -∞ sa zmienime neskôr.) • Uvedomme čo znamená zápis

  22. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 2. • Ukážte (iba zakresliť), že:

  23. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Vlastnosti limity postupnosti • Veta . (O jednoznačnosti limity.) Každá konvergentná postupnosť má práve jednu limitu. • Veta . (O konvergentnej postupnosti)Každá konvergentná postupnosť je ohraničená. • Poznámka Upozorňujeme čitateľa, že obrátené tvrdenie nemusí platiť. Napriek tejto „nedokonalosti“ majú však všetky ohraničené postupnosti reálnych čísel jednu peknú a významnú vlastnosť. A to, že z každej ohraničenej postupnosti reálnych čísel možno vybrať konvergentnú postupnosť.

  24. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Veta . (Veta o limite súčtu a súčinu postupností.) Nech a sú dané konvergentné postupnosti, t.j. a Potom platí: = A±B, • = A.B . • Ak navyše predpokladáme, že všetky členy postupnosti {bn} sú rôzne od nuly a tiež B≠0, tak • Ak cje reálne číslo, tak =c.A.

  25. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Veta . (O limite vybranej postupnosti.) Nech je daná konvergentná postupnosť. Potom každá z nej vybraná postupnosť je tiež konvergentná a má tú istú limitu. • Veta . Ak {an} je taká postupnosť, že = 0 a postupnosť {bn} je ohraničená, tak pre limitu súčinu týchto postupností platí: = 0.

  26. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 3. Vypočítajte

  27. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Rastúce, klesajúce a ohraničené postupnosti Veta . Každá ohraničená monotónna postupnosť je konvergentná. Dôsledok. (Definícia Eulerovho čísla) Postupnosť je konvergentná. Jej limitu označujeme písmenom e, teda

  28. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 4. • Využitím vlastností limít a definície čísla e vypočítajte

  29. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Nevlastná limita postupnosti • Budeme hovoriť, že postupnosť má nevlastnú limitu, rovnú ±∞ práve vtedy, ak k ľubovoľnému reálnemu číslu K existuje taký index n0, že pre všetky n>n0 platí cn > K (cn < K). • Skutočnosť, že postupnosť má nevlastnú limitu , zapisujeme :

  30. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Veta . (vlastnosti nevlastných limít) • Ak limita postupnosti {|an|} je rovná ∞ a všetky členy an≠0, potom postupnosť {1/an}je konvergentná a jej limita sa rovná nule. • Nech a všetky čísla an sú nenulové. Ak existuje index n0 taký, že pre všetky n>n0 je an> 0 (an < 0), tak

  31. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Nech Potom platí: • Ak c> 0, potom • Ak c< 0, potom

  32. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Nech postupnosť {an} má limitu ∞ a postupnosť {bn} je ohraničená, alebo má nevlastnú limitu rovnú +∞ . Potom

  33. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Poznámka . Symbolicky túto situáciu tiež zapisujeme: ∞+∞=∞, resp.∞+c=∞. Ale pozor! Výraz „∞-∞“ patrí totiž medzi tzv. nedefinované výrazy. • Príklad 5. Vypočítajte limitu postupnosti

  34. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Myšlienka limity, interval bez bodu • Čo znamená zápis ? • Príklad 1. • Priblížiť na príklade f(x)=x+1, f(x)=x+1, x1, f(x)= a f(1)=3. • Definičný obor musí obsahovať interval (x,a), (a,x) alebo aj oba ale bod a nemusí obsahovať. • Je zrejmé, že limita sa nemusí rovnať hodnote funkcie v danom bode. (nakresliť)

  35. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Definícia limity Hovoríme, že limita funkcie f(x) pre x idúce k a rovná sa b ( ), práve vtedy, ak pre každú postupnosť čísel {xn} z definičného oboru funkcie konvergujúcu k číslu a, postupnosť funkčných hodnôt {f(xn)} konverguje k číslu b.

  36. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Poznámka. • -a, b môžu byť aj ±∞, (neskôr) • -jednostranné limity (vysvetliť na obrázkoch) • -teraz iba vlastná limita vo vlastnom bode • Príklad 2. • f(x)=1/x, x0, • f(x)=1/x2, x0, • f(x) je nespojitá v bode a, • f(x)=c, • f(x)=2x+5

  37. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. Veta o ohraničenosti Ak existuje vlastná limita funkcie f(x) v bode a potom existuje interval okolo bodu a (bez bodu a) na ktorom je funkcia f(x) ohraničená. Veta o zovretí Nech na nejakom intervale okolo bodu a bez bodu a platí f(x)h(x)g(x) (t.j pre všetky x). Nech Potom aj (Nakresliť)

  38. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Dôsledok.(+príklady)

  39. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu, polynómu, odmocniny z funkcie. • Veta. • Limita konštanty. . • Limita funkcie x. . • Limita funkcie s opačným znamienkom. Ak , potom .

  40. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu, polynómu, odmocniny z funkcie. • Veta. • Limita súčtu a rozdielu. Ak potom . • Limita súčinu. Ak , potom .

  41. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu, polynómu, odmocniny z funkcie. • Veta. • Limita podielu. Ak , , kde b20, potom . • Limita odmocniny z funkcie. Ak f(x)0 a , potom .

  42. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Príklad 4. • Vypočítajte:

  43. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Spojitosť funkcie • Funkcia f(x) je spojitá v bode a ak platí . • Poznámka. • Uviesť príčiny nespojitosti (nakresliť). • Veta. • Konštantná funkcia a funkcia f(x)=x sú spojité funkcie. • Súčet, rozdiel a súčin spojitých funkcií je spojitá funkcia (špeciálne polynóm). • Podiel spojitých funkcií je spojitá funkcia na svojom definičnom obore. • Ak je funkcia g spojitá v bode a a funkcia f spojitá v bode g(a), potom je aj zložená funkcia f(g(x)) spojitá v bode a. • Ak je funkcia f(x) spojitá na uzavretom intervale a,b potom je na tomto intervale ohraničená, dosahuje tu maximum aj minimum.

  44. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Limita v nevlastnom bode a nevlastná limita funkcie • Nakresliť prípad ak b= ±∞, t.j. . Veta. • Ak funkcia f(x) je v určitom okolí bodu a ohraničená a , potom , . • Ak a f(x) je kladná pre všetky x a, z nejakého okolia bodu a, potom .

  45. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Ak 0, , a pre každé xa z niektorého okolia bodu a platí g(x)0, (g(x)0), potom . • Poznámka: Pozor na . Pripomenúť, že takéto príklady budeme vedieť riešiť neskôr. • Nakresliť prípady ak a je , t.j. .

More Related