Como Implementar um Problema

1. Como Implementar um Problema • O objetivo desta aula é fornecer algumas noções técnicas sobre os passos necessários para implementação numérica de um caso no PHOENICS. • Serão abordados os itens: • As equações de transporte e seus modelos simplificados; • As formas de discretização; • A escolha da grade; • A definição das propriedades; • As condições de contorno e termos fontes.

2. FORMA GERAL DAS EQUAÇÕES NO PHOENICS Convecção Transiente Difusão Fonte PHOENICS provê soluções para versões discretizadas de um conujunto de EDP que têm a forma geral: • t é o tempo; • r é a densidade; • V é o vetor velocidade; • f é a propriedade a ser conservada; • G é o coeficiente de difusão de f; • S representa os termos fontes;

3. FORMA CONSERVATIVA DE ALGUMAS EQ. DE TRANSPORTE Convecção Transiente Difusão Fonte

4. Modelos Matemáticos Simplificados • As equações de transporte, na sua forma geral, são bastante complexas devido aos termos não lineares e seus acoplamentos. • Uma significativa redução do esforço computacional é obtida se o escoamento puder ser modelado de forma mais simples: • Laminar / Turbulento • Incompressível / Compressível • Euler (s/ viscosidade) / Navier Stokes (viscoso) • Potencial (irrotacional) / Euler (rotacional) • Stokes (Re -> 0 ) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes) • Camada Limite (Re -> inf) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes) • É frequente o surgimento de escoamentos complexos em casos aplicados onde reações químicas (combustão), turbulência , interações entre fases e domínio complexo surgem simultâneamente.

5. MODELOS IMPLEMENTADOS NO VR 17 modelos

6. Modelo Numérico de Discretização: Método dos Volumes Finitos • O método dos Volumes Finitos, VF, utiliza a forma integral das equações de contorno como ponto de partida. • O domínio de solução é subdividido em um número finito de volumes de controle, VC, adjacentes entre sí onde as equações de conservação são aplicadas. • Cada variável é calculada no centroide de cada VC. Os valores das variáveis e propriedades nas faces do VC são determinados por interpolação. • O método VF pode acomodar qualquer tipo de grade e é, portanto, aplicável para geometrias complexas. • A grade passa a definir as fronteiras do VC e não é necessariamente relacionada a um sistema de coordenadas.

7. Forma Discretizada da Equação I y North East P x High z • f representa uma variável genérica que pode ser: u1, u2, v1, v2, w1, w2, k, e, h1, h2, C1 a C150. • P não aparece na lista pois ela é calculada por meio das sucessivas correções da pressão que vem dos ajustes de velocidade para satisfazer o balanço de massa. (método SIMPLE) • O domínio de cálculo é dividido em volumes cujas faces são identificadas pelas direções cardiais West-East (x), South-North (y) e Low-High (z)

8. Discretização do meio contínuo no espaço e no tempo & nomenclatura das direções.

9. Forma Discretizada da Equação II Molécula computacional coeficiente forma de resíduo zero No plano (x,y), p. exemplo, os centros VCs maiúsculas e faces VCs minúsculas. O método dos Volumes Finitos representa a influência que o ponto P recebe dos vizinhos na forma de produtos de coeficientes e do valor das variáveis:

10. Forma Discretizada da Equação III • As equações de conservação são discretizada na forma de um sistema de equações algébricas lineares constituido pela soma das ‘moléculas computacionais’ que realizam o balanço em cada VC. • Os coeficientes que multiplicam cada variável levam as informações sobre transporte convectivo e difusivo da propriedade em questão. • Todos os coeficientes, aP e seus vizinhos anb, são sempre positivos. • Existem diversos esquemas discretizantes que conduzem. A escolha deles influência na solução e na taxa de convergência.

11. Esquemas de Discretização Convecção & Difusão: HYBRIDO (default)

12. Geometria - Grade I • A localização discreta onde as variáveis serão calculadas é definida pela grade numérica. • Ela é uma representação do domínio geométrico onde o problema será resolvido. • A grade transmite ao modelo informações a respeito da localização do centróide do VC e dos centros das faces, das áreas das faces e do volume e também da distância entre centróides e faces de VC adjacentes. • A definição da grade é parte fundamental do problema: - A precisão numérica da solução depende diretamente da definição da grade uma vez que as variáveis são calculadas em pontos discretos definidos pela grade. - A definição da grade é um dos elementos que influência na taxa de convergência (ou divergência) da solução. - O custo computacional é basicamente determinado pelo tamanho da grade.

13. Grades Cartesianas e Polares Uniforme Cartesiana Não-Uniforme Power Não-Uniforme duas regiões Uniforme Polar Não-Uniforme Fine Grid Embedding

14. O sistema polar de coordenadas do PHOENICS • O Sistema cilíndrico polar está implementado no PHOENICS e seus termos fontes associados: centrífugo e coriolis para as equações de quantidade de movimento. • No sistema polar é necessário definir o Raio Interno, RINNER. • As demais especificações de domínio são coincidentes com aquelas do sistema cartesiano. • A direção X do cartesiano corresponde a direção tangencial. • A direção Y do cartesiano corresponde a direção radial. • A direção Z do cartesiano corresponde a direção axial.

15. Necessidade do Controle Espaçamento Grade • É necessário controlar o espaçamento da grade para capturar características do escoamento que mudam rápidamente (altos gradientes) e ao mesmo tempo economizar tempo computacional em regiões que variam lentamente. • O tamanho da grada é um ‘filtro’ do tamanho do fenômeno que se quer detectar. Estruturas do escoamento menores que 2x o espaçamento da grade não serão detectadas (alaising). • Esteira de Vórtices em cilindros. Aplica-se ‘fine grid embedding’ para capturar as dimensões dos vórtices • Escoamento de Camada Limite. Aplica-se grades não-uniformes Power ou duas-regiões

16. Grades BFC e Mult-Block para Geometrias Complexas Body Fitted Coordinates - BFC Ortogonal ou Não Ortogonal Multi-Block Ortogonal ou Não Ortogonal • Grade Cartesiana com Objetos Imersos: • Iteração volume a volume tipo ‘escada’ ou; • Iteração via software com algoritmo PARSOL

17. Tela do VR-PHOENICS com propriedades da Grade

18. Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ I • O PHOENICS possui três tipos de ‘solvers’ para sistemas de equações lineares que trabalham com métodos iterativos: (1) Varredura (sweeps)- DEFAULT; (2) Whole field e (3) ponto a ponto Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd ONEPHS = T NAME( 1) =P1 ;NAME( 5) =V1 NAME( 7) =W1 ;NAME( 14) =TEMP * Y in SOLUTN argument list denotes: * 1-stored 2-solved 3-whole-field * 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(W1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(TEMP,Y,Y,Y,N,N,Y)

19. Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ II • Dividindo o domínio em fatias (slabs) no plano XY pode-se imaginar um solver iterativo que: • - Monta um único sistema de equações IZ = 1 a IZ last e resolve - whole field • - Resolve slab a slab de IZ = 1 a IZ = last - solver por varredura - DEFAULT • - Visita ponto a ponto do domínio - point by point

20. METODOLOGIAS DE SOLUÇÃO – II • Solução do sistema linear de equações: • Método TDMA (TriDiagonal Matrix Algorithm) linha por linha. • Método do Gradiente Conjugado. • Método de Gauss-Seidel com sobre-relaxações sucessivas. Acoplamento pressão-velocidade: SIMPLE (base)

21. Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ • Como a maioria dos modelos são não-lineares, o solver whole field não é recomendado pois tem um custo computacional maior e necessita a cada iteração uma atualização; • O point-by-point por sua vez transmite os efeitos dos contornos e dos termos de transporte muito lentamente aos pontos vizinhos e, apesar de ser simples, também não é computacionalmente conveniente. • O melhor compromisso encontra-se na solução por ‘slabs’ DEFAULT. • Como a varredura ocorre somente na direção Z é importante que a direção principal do escoamento coincida com o eixo Z no caso de problemas 3D. • Casos 2D isto não se aplica pois ele por sí constitui um único slab. • Casos com BFC é mandatório que a direção principal do escoamento e o eixo Z coincidam.

22. Condições Iniciais e de Contorno • Qualquer modelo matemático expresso por meio de eq. diferenciais não é completo a menos que sejam definidas as C.I. e C.C. • As C.I. e C.C. variam dependendo do tipo de equação diferencial que o modelo emprega. • As equações diferenciais parciais de segunda ordem são classificadas por três tipos: Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas. • A distinção é feita baseando-se na natureza das características, regiões do espaço (superfícies ou linhas) onde a informação sobre a solução é transportada.

23. Condições Iniciais e de Contorno - EDP - HIPERBÓLICAS Região influenciada pelo valor do ponto P Y Características (Mach const.) Região influenciada pelo valor do ponto C P Y Característica a esquerda Característica a direita X c b a X P depende das informações ao longo do segmento a-b C.C.: necessário conhecer u & v ou f ao longo da linha • Hiperbólicas: duas características reais e distintas. A informação se propaga com velocidade finita em duas direções.

24. Condições Iniciais e de Contorno - EDP - PARABÓLICAS Y Y u = Uext Região influenciada pelo valor do ponto P u = Uinlet P u = 0 X X • Parabólicas: as linhas características se degeneram para uma única curva real. A informação se propaga com velocidade finita em uma direção. Fisicamente significa que a informação de P influencia a solução somente em um lado do plano XY • O valor de P influência a solução somente aos pontos à sua direita. • P depende dos valores à sua esquerda mas não daqueles à sua direita. • A solução numérica utiliza um processo de marcha em X. • É necessário especificar somente uma fronteira em X a outra extremidade é aberta

25. Condições Iniciais e de Contorno - EDP - ELÍPTICAS Y b c T/ x = 0 Neuman P a d q”= -kT/ x Neuman X T/ x = 0 Neuman T = 0 Dirichlet • Elípticas: as linhas características são complexas. A informação se propaga em todas direções com velocidade infinita. • Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de todos os pontos do domínio! • Em EDP Elípticas somente se você conhecer os valores em todo o contorno você pode determinar a solução

26. Condições de Contorno p/ Escoamentos NWALL INLET OUTLET BLOCK y SWALL z

27. Condição Inicial (tempo) • Tal como o espaço o tempo também é representado numa grade cujos volumes variam com incrementos no tempo. • Os modelos transientes são de natureza PARABÓLICA no tempo. Isto é, um evento no futuro não pode influenciar o que acontece no presente. • Nenhuma condição pode ser imposta na solução (exceto no contorno) em qualquer instante após o início (t=0). • Portanto o problema é especificado com uma condição ou campo inicial. • Existem duas possibilidades de implementação de esquemas transientes: IMPLÍCITA (default) ou EXPLÍCITA Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd NAME( 1) =P1 ;NAME( 3) =U1 NAME( 5) =V1 * Y in SOLUTN argument list denotes: * 1-stored 2-solved 3-whole-field * 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,N) SOLUTN(U1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,N,N,Y)

28. Implementação Condições de Contorno e Fontes PHOENICS • As condições de contorno e os termos fontes das equações são implementados com o mesmo procedimento no PHOENICS. • Lista dos tipos de c.c. e termos fonte disponíveis no VR.

29. Propriedes dos Materiais: sólidos, líquidos e gases

30. Propriedes dos Materiais: sólidos, líquidos e gases

31. SUMMARY • To properly define a case in phoenics one has to specify: Laminar/Turbulento Isotérmico/Calor Compressível/Incomp Condições Iniciais Propriedades de transporte Grade • Theboundaryconditions are specifiedthroughobjectsonthetool bar of VR Termos Fonte Esquema Numérico Arquivos saída

32. Conselhos Gerais sobre Implementação de Problemas • O PHOENICS, como qualquer outro pacote de CFD passará a falsa impressão que você poderá fazer tudo daqui por diante. Não é verdade, não crie altas expectivas nem falsas impressões. • Inicie seus casos da forma mais simples possível. Verifique os aspectos fundamentais e básicos do problema antes de implementá-lo. • Procure na biblioteca do PHOENCS algum exemplo parecido com aquilo que você deseja. A biblioteca de casos é um dos grandes diferenciais do PHOENICS, use-a. • Introduza as modificações no seu problema uma a uma, numca todas de uma vez. Teste-as isoladamente. • Tenha em mente que o método numérico complementa a análise de um problema mas não substitui medidas experimentais. É sempre bom, sempre que possível comparar seus resultados numéricos com algum dado experimental.