第八章立体几何

第八章立体几何 8.1 空间几何体 8.2 空间几何体的表面积和体积 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4 平行与垂直（1） 8.5 平行与垂直（2） 8.6 空间角与距离的求法 8.7 空间向量与立体几何

8.1 空间几何体 知识要点考点剖析

1.棱柱的定义及表示法 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.用表示底面各顶点的字母来表示. 提醒：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱.

2.棱柱的分类 棱柱： 3.棱柱的性质： （1）侧棱都相等，侧面都是平行四边形； （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； （3）平行于侧棱的截面均为平行四边形. 4.棱锥的定义及表示方法 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的多面体叫做棱锥.类比棱柱，可以得到棱

锥的顶点、侧面、底面、侧棱的定义.表示方法可用表示顶点和底面顶点的字母表示.锥的顶点、侧面、底面、侧棱的定义.表示方法可用表示顶点和底面顶点的字母表示. 提醒：正棱锥是许多高考题的载体.底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥定义为正棱锥. 5.棱台的定义及其表示 棱台来自于棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.表示方法类似于棱柱. 6.圆柱的定义及其表示 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱

的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面.圆柱用表示它的轴的字母表示，如右图为圆柱OO′.的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面.圆柱用表示它的轴的字母表示，如右图为圆柱OO′. 7.圆锥、圆台类比棱锥、棱台加以定义. 8.球的定义及其表示以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.球通常用表示球心的字母O表示，比如球O. 9.能够把简单组合体分解为若干个简单几何体. 10.中心投影与平行投影中心投影：投影线都经过某投影中心的投影法.可在棱锥中观察.

平行投影：所有的投影线互相平行，或投影中心在无穷远处.这种模型可在柱体中寻找.投影方向垂直于投影面时称为正投影法. 11.三视图的概念 “视图”是物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.从前向后得“正视图”，自左向右得“侧视图”，自上向下得“俯视图”. 12.简单几何体的三视图重视圆柱、圆锥、圆台、球、正四面体的三视图. 13.直观图画法：斜二测画法. 返回节目录

1 考点平面图与直观图的对应关系自学范例1（1）作出平面图（左）的直观图； （2）下图是水平放置图形的直观图，试画出它原来的图形； （3）思考平面图与其直观图之间的面积比是否总为方法点拨：由平面图到直观图，应先在平面图中建立直角坐标系，量出相应的坐标值.再建立斜坐标系，原直角坐标系相应点中，横坐标不变，纵坐标减半，最后将相应点连线即可.

解析分析首先是建系，最好是充分利用原图的信息，其次要找好平行对应关系.

（3）均为，可先考虑矩形的直观图，再有一些微积分的思想可感知这个比值.（3）均为，可先考虑矩形的直观图，再有一些微积分的思想可感知这个比值. 【点评】其实质为点在两坐标系中的对应关系,垂直关系变换后一般不再垂直.

２考点空间几何体的三视图自学范例2 如右图所示的几何体为一个长方体 ABCD—A1B1C1D1裁去一个角后的多面体。画出该几何体的三视图. 方法点拨：画几何体的三视图，首先要定视角，确定正视方向，再由正视方向定侧视、俯视方向，再用画三视图的规则来画.

解析【点评】（1）画图时遵循“长对正，高平齐，宽相等”； （2）分界线和可见轮廓线都应用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出； （3）三视图的排列规则是：俯视在正（主）视图的下面，长度和正视图一样，侧（左）视图放在正视图右面，高与正视图平齐，宽与俯视图相等.

3 考点柱、锥、台、球的结构特征自学范例3 圆锥底面半径为1cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面SEF，正方体的对角面为CDD1C1，如下图所示. 方法点拨：首先是理解它们的概念，其次在分析问题时应截取一个恰当的平面图形来进行分析，化立体为平面的基本思想.

解析

4 考点积木堆问题（探究性）自学范例4 如下图是由相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是（　　）方法点拨：这类问题一般是由视图恢复原图.在俯视图上操作较好.先在俯视图中的各个小正方形处填上该处正方体叠加的个数，然后相加即得总数.

解析　从主视图来看，从左往右数的第一列有2个小正方形（说明上下有2层），因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图，可有3种填法：解析　从主视图来看，从左往右数的第一列有2个小正方形（说明上下有2层），因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图，可有3种填法：从主视图的第2列、第3列来看（都只有一个小正方形），俯视图的第2列、第3列均只能填1，于是相应的也有3种，如下图： A. 4个　　　B. 5个　　C. 6个　　　　D. 7个

再从左视图来看，左边第1列有2个小正方形，因此俯视图中后面那一行的3个小正方形中至少有一个要填2（上图中A、B图均符合这条件）.由于左视图第2列只有1个小正方形，因此俯视图前面那一行的小正方形只能填1，于是只剩上图（B）一种情形；可见这个几何体由5个小正方体组成，应选B.再从左视图来看，左边第1列有2个小正方形，因此俯视图中后面那一行的3个小正方形中至少有一个要填2（上图中A、B图均符合这条件）.由于左视图第2列只有1个小正方形，因此俯视图前面那一行的小正方形只能填1，于是只剩上图（B）一种情形；可见这个几何体由5个小正方体组成，应选B. 【点评】多元函数的思想，先固定一个参数. 返回章目录

8.2 空间几何体的表面积和体积 知识要点考点剖析

1.柱体的表面积和体积 　　设柱体的底面周长为C，高为h，则S侧=C·h，故S表=S侧+2S底，V柱=S底·h. 2.锥体的表面积和体积 　　设锥体的底面周长为C，斜高（或母线）长为l，锥体的高为h，则S表=S侧+S底=C·l+S底，V锥=S底·h. 3.台体的表面积和体积 　　计算时应分清是棱台还是圆台.棱台的侧面展开图为若干个梯形；圆台的侧面展开图为扇环，可由大扇形面积减去小扇形

面积而得.S表=S侧+S上底+S下底，V台=V大锥—V小锥.面积而得.S表=S侧+S上底+S下底，V台=V大锥—V小锥. 4.球体的表面积和体积球体表面为不可展开旋转曲面，采用无穷逼近方法可求，记忆公式可用阿基米德的墓志铭记忆：“球体的表面积为外切圆柱表面积的，球体的体积为外切圆柱的体积的 .” S球表=4πR2，V球= πR3. 难点提醒： 1.扇形的面积计算时可把扇形近似看成三角形计算， S△= ×底×高，S扇形= ·弧长·半径= C·l. 2.扇环可与梯形类似，（可自行推算）

S梯形= ·高. S扇环= ×母线. 返回节目录

1 考点简单几何体的表面积和体积方法点拨：柱、锥、球的表面积和体积公式应当熟悉，而台体来自于锥体，利用上节要点3的方法，取一截面来分析. 自学范例1 正三棱锥P-ABC，底面边长为6，侧棱长为5，求它的表面积和体积. 解析如下图所示,作PO⊥面ABC于O，因为三棱锥为正三棱锥，所以延长AO交BC于中点D，PD为等腰△PBC底边上的高，从而，

【点评】恰当地作出截面图是解决问题的关键.【点评】恰当地作出截面图是解决问题的关键.

2 考点侧面展开图方法点拨：求折线段长的最小值时，先展成平面图，利用平面几何知识求解. 自学范例2：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1， AB＞1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 . (1)求证：D1E⊥A1D; (2)求长方体ABCD-A1B1C1D1的体积.

解析：（1）法一 连接AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面ADD1A1, ∵A1D平面ADD1A1，∴AE⊥AD1 又∵AD=AA1=1,∴AD1⊥A1D, AD1∩AE=A,∴A1D⊥平面AD1E, D1E 平面AD1E，∴A1D⊥D1E. 方法二连接AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面ADD1A1，∴AD1是ED1在平面ADD1A1内的射影 又∵AD=AA1=1,∴AD1⊥A1D,∴D1E⊥A1D（三垂线定理）

(2）设AB=x,∵四边形ADD1A1是正方形， ∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径. 此图甲的最短路程为|AC1|= , 如图乙的最短路程为|AC1|=  ∵x＞1∴x2+2x+2＞x2+2+2=x2+4, ∴ = ∴x = 2 ∴长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是V=2×1×1=2.

3 考点等体积法求距离方法点拨：求某些空间几何体的体积，直接求解可能不方便，转换顶点与底面后，方便简捷. 自学范例3:已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求：（1）三棱锥B-A1B1C1的体积；（2）三棱锥B-B1DE的体积.

解析:（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，三棱锥B-A1B1C1与三棱柱ABC-A1B1C1等底等高，解析:（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，三棱锥B-A1B1C1与三棱柱ABC-A1B1C1等底等高， ∴三棱锥B-A1B1C1的体积 （2）由题意，四边形AA1B1B和四边形BB1C1C都是正方形,且D、E分别是正方形AA1B1B和正方形BB1C1C的中心.∴D、E分别是A1B和BC1的中点，∴DE∥A1C1，且DE= A1C1， ∴VB-B1DE= VB1-A1BC1= VB-A1B1C1= 【点评】求三棱锥的体积，关键求出底面积和高.有时候需要转换顶点和底面.

4 考点柱体方法点拨：找垂直关系是关键. 自学范例4 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形的实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）.有下列四个命题

解析设正四棱柱底面边长为b，高为h1，正四棱锥高为h2，则原题图1中V水=b2h2- b2h2= b2h2，图2中V水=b2h1-b2h2=b2(h1-h2)，所以 b2h2=b2(h1-h2)，所以h1= h2，故A错，D对.对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，对水占容 A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）答案B、D

器内空间的一半，所以水面也恰好经过点P，故B对.对于C，假若C对，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为 b2h2＞ b2h2，矛盾.

5 考点类比推理自学范例5：如图（1），在平面内有面积关系 = ，写出图（2）中类似的体积关系，并证明你的结论. PA′·PB′ PA·PB S△PA′B′ S△PAB 方法点拨：利用平几与立几的维数上的变化，进行升维类比.

解析：类比得 = . 如图，设C′、C到平面PAB的距离分别为h′、h. 则 = ，故 = = = . PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC h′ h PC′ PC 1 3 1 3 V P-A′B′C′ V P-ABC · S△PA′B′·h′ · S△PAB·h′ VP-A′B′C′ VP-ABC PA′·PB′·h′ PA·PB·h 返回章目录

8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识要点考点剖析

1.《考试说明》要求借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.1.《考试说明》要求借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.异面直线间所成角的论证和计算是重点. 3.在此不应当进行过难过深的要求，只求能“运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题”. 返回节目录

1 考点点共线与线共面自学范例1 如右图所示，点A平面BCD， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，若EH与FG交于点K，求证：K在直线BD上. 方法点拨：点共线公理2，线共点公理3.

解析∵EH∩FG=K ∴K∈EH，K∈FG， 又∵E、H分别在直线AB、AD上， ∴EH平面ABD，∴K∈平面ABD，同理K∈平面CBD 又∵平面ABD∩平面CBD=BD，∴K在直线BD上. 【点评】本题实质上属于“三线共点”问题.一般先证明其中两条直线的交点是某两个平面的公共点，再证明第三条直线是这两个平面的交线，进而“点在两面之交线上”.应用公理与定理证明简单命题时，应当多注意用集合语言表述.

2 考点两直线的位置关系方法点拨：两直线位置关系，可分为三类：相交、平行、异面. 自学范例2 设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（　　） A. 若AC与BD共面，则AD与BC共面 B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C.若AB=AC，DB=DC，则AD=BC D.若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC 答案C

解析A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；C不正确，如下图所示；D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明.解析A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾；C不正确，如下图所示；D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明.

3 考点异面直线所成的角方法点拨：求异面直线所成的角有两种方法，一是平移法解三角形；二是向量法. 自学范例3 在棱长都是a的四面体A-BCD中，E、F分别为AD、BC的中点，（1）求异面直线AF和CE所成的角的余弦值；（2）求证：EF为AD、BC的公垂线.

解析（1）连接FD，过E作EG∥AF交FD于G，则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角（或补角）.解析（1）连接FD，过E作EG∥AF交FD于G，则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角（或补角）. 连CG，在△CEG中，EGAF， ∵AF = a CE = a，CG = a ∴EGa，由余弦定理得cos∠CEG = (2)∵AB =AC，BF =FC ∴AF⊥BC 同理DF⊥BC，而AF∩FD =F∴BC⊥面AFD ∵EF 面AFD ∴BC⊥EF 于F 同理AD⊥EF于E ∴EF为AD和BC的公垂线. 【点评】平移是求异面直线所成的角的通法. 返回章目录

8.4 平行与垂直（1） 知识要点考点剖析

1.直线与平面的位置关系有三种 　　直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交. 2.直线与平面所成的角　　①直线与平面平行时，所成角为0°;②直线与平面垂直时,所成角为90°;③直线与平面斜交时，所成角为该直线与其在面内的射影所成的锐角.综上,线面成角范围为：［0°，90°］. 3.线面平行的判定定理　　平面外一条直线与此平面内的一条直线平行、则该直线与此平面平行.

4.线面平行的性质定理 　　一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 5.平面与平面有两种位置关系，定义为　　有公共交线称为相交；无公共交线称为平行. 6.面面平行的判定定理　　一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 7.面面平行的性质定理　　两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. 返回节目录

1 考点线线平行、线面平行与面面平行方法点拨：欲证线面平行，先证线线平行；欲证线线平行，可先证线面平行；欲证面面平行，先证线面平行.通常线线平行，线面平行在同一题中多次转化. 自学范例1如图所示,四面体ABCD 被一平面所截，截面与AB、AC、CD、 BD分别交于E、F、G、H，且截面 EFGH是一个平行四边形. 求证：BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH.

解析证明：∵截面EFGH是一平行四边形， ∴EF∥GH， 又∵GH平面BCD ∴EF∥平面BCD,又平面ABC过直线EF且与平面BCD相交于BC, ∴EF∥BC ∴BC∥平面EFGH，同理可证AD∥平面EFGH. 【点评】欲证线面平行，可先证线线平行；欲证线线平行，可先证线面平行，线线平行与线面平行的多次转化在同一道题中经常出现.转化的思想是解题的关键.

2 考点线面所成的角方法点拨：求线面所成的角关键是找面的垂线，找到那个小直角三角形.要注意先证后算，学了向量后一目了然. 自学范例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是BB1和BC的中点，AB=4，AD=2，AA1=6. （1）求异面直线B1D和MN所成角的余弦值；（2）过MN作平面α，使平面α∥平面B1CD；（3）求直线BB1与平面B1CD所成的角的余弦值.

解析∴∠DB1C就是B1D和MN所成角或其补角. ∵DC⊥平面BCC1B1 ∴DC⊥B1C 在△DCB1中，B1C=2，B1D=2，DC⊥CB1 ∴cos∠DB1C=，即B1D与MN所成角的余弦值为. (2)只须在平面ABB1A1内过点M作AB的平行线ME交AA1于E,作NF∥AB交AD于F,连接EF,则平面MEFN就是平面α.（证明略）

第八章 立体几何