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设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:

z. S 1. S 2. C. o. y. x. 二、空间曲线及其方程. 1. 空间曲线的一般方程. 设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:. S 1 : F ( x , y , z ) = 0 S 2 : G ( x , y , z ) = 0. S 1 , S 2 的交线 C 上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此. (2). 即为交线 C 的方程, 称为 空间曲线 C 的一般方程. x 2 + y 2 =1. x + y + z =2. z. y. x. 0.

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设有两块曲面 S 1 , S 2 , 它们的方程依次为:

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Presentation Transcript

  1. z S1 S2 C o y x 二、空间曲线及其方程 1. 空间曲线的一般方程 设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为: S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0 S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此 (2) 即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.

  2. x2+y2=1 x+y+z=2. z y x 0 例5:柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2 的交线是一个圆, 它的一般方程是

  3. 2. 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数. x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t) 当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.

  4. z O M t h A M y x 例6:如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程. 解:取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).

  5. z O M t A M y x (1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t. 从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注:还可以用其它变量作参数.

  6. z O M h t A M y x 例如:令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为: x = acos  y = asin  z = b 当从0变到0 +是, z由b0变到 b0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2时, M点上升高度h = 2 b, 在工程上称 h = 2 b为螺距.

  7. F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0 (4) z 由方程组(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5) 空间曲线 C 在 x O y 面上的 投影 曲线必定包含于: C o o y H (x, y) = 0 z = 0 x 3. 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.

  8. 注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.

  9. 椭圆柱面 例7:已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解:联立两个方程消去 z ,得 两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为

  10. z O y x2 + y2  1 x ( 圆柱面) 例8: 设一个立体由上半球面　　　　　　　　和锥面 所围成, 求它在xoy面上的投影. 解:半球面与锥面的交线为 由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1 于是交线C在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 z = 0 这是xoy面上的一个圆. 所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2  1

  11. §6 二次曲面的标准方程 由x, y, z的二次方程: 1.定义 ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j为常数且a, b, 不全为零. c,d,e,f 研究方法是采用平面截痕法.

  12. z O o y x 2. 几种常见二次曲面. (1) 椭球面 1 用平面z = 0去截割, 得椭圆 2 用平面z = k去截割(要求 |k |  c), 得椭圆 当 |k |  c时, |k |越大, 椭圆越小; 当 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.

  13. 3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆: 　　特别:当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2, 表示球心在原点o, 半径为a的球面.

  14. z y o x (2) 椭圆抛物面: 1 平面 z = k ,(k  0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆. k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大. 2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线

  15. 3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.

  16. §1 n 阶行列式的定义 一、二阶行列式的概念 a11 a12 (1) 1.定义1 设有数表 a21 a22 　　称数a11 a22－a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为： 副对角线 主对角线 (－) (＋)

  17. a11 x1+ a12 x2 = b1 对于 (1) a21 x1+ a22 x2 = b2 2、二元一次 方程组的求解公式 当a11 a22－a12 a21  0时， 得唯一解

  18. a11 x1+ a12 x2 = b1 a21 x1+ a22 x2 = b2 记 方程组(1)的解可以表示为： (2) ——克莱姆(Gramer)法则

  19. (3) 二、三阶行列式 设有数表 1.定义2 引进记号： 主对角线 副对角线 (+) (+) (+) (－) (－) (－) 称为对应于数表(3)的三阶行列式

  20. 例 如：

  21. (4) 当 易证： 对于线性方程组

  22. 方程组有唯一解，记 则方程组(4)的解为： ——克莱姆法则

  23. 三、排列与逆序数 <1> 由自然数1, 2, …, n 组成的一个有序数组i1, i2, …, in称为一个n级排列。 定义3 　　例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，它们是 1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 3 2 1; n级排列的总数为n!个。

  24. <2> 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is > it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。 一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1, i2, … in)，简记为 。 1 3 2 2 1 3 例如： (1 2 3)=0, 3 1 2 (3 1 2)=2, (4 5 2 1 3)=7,

  25. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 (4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。 例如： 6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4 ( =11) ( = 8) 1 4 3 2 1 2 3 4 ( =0) ( = 3)

  26. 定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性 结论：在 n (  2) 级排列中，奇偶排列各有　个。

  27. 四、n阶行列式的定义 分析：  =2  =0  =2  =3  =1  =1

  28. 类似地：

  29. 定义4 n阶行列式

  30. 0 0 0 例1计算下列n阶行列式

  31. 0

  32. 0

  33. 考察： 2 1 3 1 2 3 ( = 0) ( =1) 3 1 2 1 3 2 ( = 2) ( =1) 行排列 列排列

  34. 定理2n阶行列式的定义也可写成 推论：

  35. 其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3 则 4 5 2 1 3是 奇排列。 例2： 选择 i 和 k ，使 成为5阶行列式中一个带负号的项 解: 可将给定的项改为行标按自然顺序，即 若取 i = 1，k ＝ 4， 则 (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列， 该项则带正号， 对换1，4的位置， 故 i = 4，k = 1 时该项带负号。

  36. §2 行列式的性质 一、行列式的性质 性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变 即： D = DT 则 行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。

  37. 证： 设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij 显然有 bij = aji (i, j=1, 2, …; n) 则

  38. 性质2互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号性质2互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号 则 D=－M

  39. — 证：在 M中第 p行元素 第 q行元素 = – D

  40. 　　推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。　　推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。 交换行列式这两行，有D = －D，故D = 0 证明:

  41. 　　性质3若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：

  42. 证明： 　　推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。 　　推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。

  43. 　　性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。　　性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。 即:

  44. + 证明：

  45. 　　性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。　　性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。 即：

  46. 记号： 用 ri 表示 D 的第 i 行 cj 表示 D 的第 j 列 ri  rj表示交换 i、j 两行 ri × k 表示第 i 行乘以 k ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行 ri  k 表示第 i 行提出公因子 k

  47. 例1计算行列式 解：

  48. c1 c2 r2－ r1 例2计算行列式 解： D

  49. r2  r3 r3 + 4 r2 r4 －8 r2 r4＋ 5r1

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