Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G)

Grafy spełniające nierówność Γ(G) < IR(G) Krzysztof Turowski

Uwagi początkowe • Największy zbiór nienadmierny nie może być zbiorem dominującym. • Dobrym obszarem poszukiwania wydają się grafy postaci: gdzie owal oznacza graf o minimalnym zbiorze dominującym ściśle ustalonej postaci np. graf pełny, cykl, ścieżkę.

Uwagi początkowe • Dlaczego akurat te rodziny podgrafów?Ponieważ mają one ściśle narzucone ograniczenia na Γ(G), co można wykorzystać konstruując graf docelowy. • Dlaczego akurat takie połączenia między podgrafami?Ponieważ dają nam one oczywiste ograniczenie z dołu na IR(G).

Γ(G) < IR(G): Przykład grafu • Rzeczywiście można znaleźć przykłady grafów takiej postaci z daną własnością:Poniższy graf ma Γ(G) = 2, IR(G) = 3:

Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G) • Okazuje się, że każdy graf złożony z dwóch grafów Kn o wierzchołkach połączonych parami przez n – k krawędzi ma własność Γ(G) < IR(G), o ile tylko n > k ≥ 3. • W takim grafie mamy Γ(G) = 2, natomiast IR(G) = k > Γ(G).

Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G) • Co więcej, nawet jeśli mamy dwa grafy Km i Kn połączone krawędziami tak, że: • Istnieje w Km wierzchołek niepołączony z Kn • Istnieje w Kn wierzchołek niepołączony z Km • Istnieje zbiór nienadmierny N  V(Km): |N| > 2 to IR(G) ≥ |N| > 2 = Γ(G) . • Ponadto istnieje wówczas zbiór nienadmierny N’  Kn: |N’| = |N|

Rodziny grafów spełniających Γ(G) < IR(G) • Możemy też spróbować zastąpić jeden z grafów pełnych ścieżką lub cyklem. • Wtedy mamy np. graf Cm (Pm) i Kn połączone ze sobą pewną liczbą krawędzi. Do tego: • Istnieje w Kn wierzchołek niepołączony z Pm/Cm • Istnieje zbiór nienadmierny N  V(Km) • Dla Cm i Kn: Γ(G) ≤ m/2 + 1Dla Pm i Kn: Γ(G) ≤ m/2 + 2 • IR(G) ≥ |N|

Γ(G) < IR(G): Przykład grafu • Przykładowo dla poniższego grafu:m = n = 6, |N| = 5 i Γ(G) = 4, IR(G) = 5 • Dla grafu Km+Pn najmniejszy graf mam = n = 7

Uwagi i spostrzeżenia • Zestawy: cykl – cykl lub cykl – ścieżka mają w każdym przypadku Γ(G) = IR(G). • Każda z przedstawionych powyżej rodzin grafów ma jedną cechę wspólną: są to grafy gęste, tzn. |E(G)| = Θ(|V(G)|2). Jednak – jak się okazuje – nie jest to warunek konieczny. • Przykładowa rodzina grafów rzadkich (dla których |E(G)| = Θ(|V(G)|)) jaką znalazłem, to grafy złożone z P2m i Kn, gdzie m >> n.

Uwagi i spostrzeżenia • Na koniec podgrafy grafów Mm,n takie, że: • Dla pewnych k liczb i  {1, 2, …, m} wierzchołki u1,i, u2,i, … um,i są niepołączone • m – k > n ≥ 2 • Wówczas w grafie jest: • m – k podgrafów Kn • n podgrafów Km • Γ(G) = n, a IR(G) = m – k + n – 2. • Z kolei V(G) = mn i E(G) = Θ(m2n).

Dziękuję za uwagę

Grafy spełniające nierówność Γ (G) < IR(G)