Econometria

1. Econometria Propriedadesfinitas dos estimadores MQO EstimaçãodaVariância do estimador de MQO

2. Econometria Propriedadesfinitas dos estimadores MQO

3. Algumas considerações • Parâmetros, estimativas e estimadores • Propriedades de um estimador – a distribuição amostral • Propriedades de “Amostras Finitas” • Propriedades “assintóticas” ou de “grandes amostras”.

4. Algumas considerações • Resultados de Amostras finitas: • Não viés • Distribuição precisa de algumas estatísticas de testes. Hipóteses fortes necessárias: regressores não estocásticos e distúrbios normalmente distribuídos.

5. MQO

6. Derivando as Propriedades Desta forma, b = um vetor de parâmetros + umacombinação linear de distúrbios, cada um vezes um vetor. b é um vetor de variáveisaleatórias. Regressores (X) nãosãoestocásticos. A análise é feitacondicional a X, ouseja, osresultadosnãodependem de um X particular. O resultado é geral, independente de X.

7. Propriedades do estimador de MQO • b não é viesado! Valor esperado de b: E[b|X] = E[ +(XX)-1X|X] =  +(XX)-1XE[|X] =  + 0 E[b] = EX{E[b|X]} = E[b]. (Lei das expectativasiteradas!!!)

8. Propriedades do Estimador MQO Um resultadoimportantesobreespecificação Omissãode variáveis: y = X11 + X22 +  (modeloverdadeiro) Doisconjuntos de variáveis. O queacontece se o segundoconjunto de variáveis é excluídodaminharegressão?

9. Propriedades do Estimador MQO Qual a esperança do estimadordestaregressãomenor? E[b1|(y = X11 + X22 + )] b1 = (X1X1)-1X1y = = (X1X1)-1X1(X11 + X22 + ) E[b1] = 1 + (X1X1)-1X1X22 O estimador é viesado.

10. Propriedades do Estimador MQO Um resultado importante sobre especificação (inclusão de uma variável irrelevante): • y = X11 + X22 +  (modelo verdadeiro, mas 2 é igual a 0). O que acontece se a regressão for computada usando X1 e X2? E[b1.2| 2 = 0] = 1 O estimador não será viesado. Contudo, perde-se eficiência.

11. Propriedades do Estimador MQO Aplicação empírica: Quantidade = 1Preço + 2Renda +  Se regredimos Quantidade em Preço. O que encontramos?

12. Propriedades do Estimador MQO Usualmente, 1 < 0, 2 > 0, Cov[Preço,Renda] > 0. Desta forma, a regressão que omite variável (omite renda), irá super-estimar o coeficiente de preço (podendo até reverter o sinal do coeficiente).

13. Outro exemplo prático Determinar os efeitos que fumar durante a gravidez exerce sobre a saúde do recém-nascido. A medida de saúde do recém nascido é o peso de nascimento (bwght). Como outros fatores que afetam o peso de nascimento, além de fumar, estão provavelmente correlacionados com o fumo, devemos levar em consideração tais fatores. Por exemplo, uma renda maior geralmente permite acesso a pré-natais melhores, bem como uma melhor nutrição da mulher. Considere o modelo:

14. Outro exemplo prático

15. Outro exemplo prático

16. Equações estimadas

17. Resultados O efeito de fumar é relativamentemenorquando a renda familiar é adicionadanaregressão, mas a diferençanão é grande. Istodecorre do fato de faminc e cigsnãoseremmuitocorrelacionados e do coeficente de faminc ser praticamentepequeno. (A variávelfamincestáemmilhares, logo, R$10,000 a maisaumenta o peso de nascimentosomenteem 0,93 quilos). Corr(faminc, cigs)=-0,173

18. Viés de variável omitida A variável omitida é faminc Espera-se que o efeito de faminc sobre o peso de nascimento seja positivo (β2>0) Corr(faminc, cigs)=-0,173 O coeficiente passou de -0,463 para -0,513.

19. Direção do viés

20. Outro exemplo prático

21. Outro exemplo prático

22. Outro exemplo prático

23. Outro exemplo prático

24. Direção do viés

25. Variância do Estimador MQO • Hipótesessobresosdistúrbios: • i tem média zero e não é correlacionado com qualqueroutroelemento j • Var[i|X] = 2. A variância de inãodepende do dado daamostra. Nãodepende de X.

26. Variância do Estimador MQO

27. Variância do Estimador MQO

28. Erros de especificação Omitindovariáveisrelevantes: Suponhaque o modelocorreto é y = X11 + X22 + . Computar MQO omitindoX2. É fácilprovarque: Var[b1] é menorque a Var[b1.2]. TemosumamenorvariânciaquandoomitimosX2. (OmitindoX2 , 2 = 0 possousarmaisinformação extra paraestimação). Mesmoque a informaçãonãosejacorreta, reduz a variância.

29. Erro de especificação (Nãoháalmoçográtis!!) E[b1] = 1 + (X1X1)-1X1X221. Desta forma, b1 é viesado.(!!!) O viéspodereverteraté o sinal do coeficiente. b1deve ser maispreciso A variância é menorcontudo o viés é positivo. Se o viés é pequeno se favorece a regressãomaissimples. SuponhaX1X2 = 0. Viésvaiembora A informaçãonãoestácorreta, é irrelevante. b1 é igual a b1.2.

30. Erro de especificação: Inclusão de variável irrelevante Os resultados são contrários aos encontrados acima. Inserir resultados supérfluos aumenta a variância. (reduz precisão) Não causa viés, se X2 é supérflua, 2 = 0, e E[b1.2] = 1.

31. Teorema de Gauss-Markov O EMQO é o melhorestimador linear dentrodaclasse de estimadoreslinearesnãoviesados. 1. Estimador linear • Nãoviesado: E[b|X] = β Teorema: Var[b*|X] – Var[b|X] é umamatrizdefinidanãonegativaparaqualqueroutroestimador linear nãoviesadob*quenãosejaigual a b. Definição: b é eficientenaclasse de estimadores.

32. Teorema de Gauss-Markov Resultado geral para a classe de estimadores lineares e não viesados

33. Teorema de Gauss-Markov Como achar a Matriz de variância-covariância de b*?

34. Teorema de Gauss-Markov Como D é umamatrizdefinidanãonegativa, temosque a var(b*/x) é sempremaiorque a var(b/x).

35. Fixar X ou Condicionar em X? O papel da hipótese dos regressores não estocásticos, Incondicional: Tomar a média em torno de X: Os resultados valem para X estocástico bem como para X não estocástico.

36. Econometria 2. EstimaçãodaVariância do estimador de MQO

37. Contexto A variânciaverdadeira de b é 2E[(XX)-1] Como usamosos dados daamostraparaestimarestamatriz? Como queremosformarintervalos de confiança das estimativasdaregressãobemcomoformularhipóteses, temosqueterestimativasdavariabilidadedadistribuição.

38. Estimando 2 Usaremos os resíduos ao invés dos distúrbios: Análogo amostral: ee/n para /n Observação imperfeita de i = ei + ( - b)xi Viés para baixo de ee/n. E[ee] = (n-K)2

39. Esperança de e’e

40. Valor esperado do quadrado dos resíduos Traço: soma dos elementos da diagonal

41. Estimando σ2 O estimadornãoviesado é s2 = ee/(n-K). s2 = ee/(n-K) =M/(n-K). • Est [Var (b/X)] = s2[(XX)-1 • “Erropadrão” de coeficiente individual é a raizquadrada do elementoda diagonal.

42. X’X (X’X)-1 s2(X’X)-1

43. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ordinary least squares regression ........ LHS=G Mean = 226.09444 Standard deviation = 50.59182 Number of observs. = 36 Model size Parameters = 7 Degrees of freedom = 29 Residuals Sum of squares = 778.70227 Standard error of e = 5.18187 <= sqr[778.70227/(36 – 7)] Fit R-squared = .99131 Adjusted R-squared = .98951 --------+------------------------------------------------------------- Variable| Coefficient Standard Error t-ratio P[|T|>t] Mean of X --------+------------------------------------------------------------- Constant| -7.73975 49.95915 -.155 .8780 PG| -15.3008*** 2.42171 -6.318 .0000 2.31661 Y| .02365*** .00779 3.037 .0050 9232.86 TREND| 4.14359** 1.91513 2.164 .0389 17.5000 PNC| 15.4387 15.21899 1.014 .3188 1.67078 PUC| -5.63438 5.02666 -1.121 .2715 2.34364 PPT| -12.4378** 5.20697 -2.389 .0236 2.74486 --------+-------------------------------------------------------------