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Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Dipartimento di Informatica e Sistemistica. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CALCOLO DIRETTO DELL’EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO. Alessandro DE CARLI Anno Accademico 2006-07. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO. INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE.

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  1. Dipartimento di Informatica e Sistemistica TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CALCOLO DIRETTO DELL’EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO Alessandro DE CARLI Anno Accademico 2006-07

  2. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE • ASSEGNATI N COPPIE DI VALORI DELLA ASCISSA Ti E DELLA CORRISPONDENTE ORDINATA Yi , L’INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE CONSENTE DI CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA CURVA CONTINUA, ANCHE NELLA DERIVATA PRIMA E SECONDA, CHE PASSA IN PUNTI ASSEGNATI • L’INTERPOLAZIONE È EFFETTUATA TRAMITE UNA CUBICA I CUI COEFFICIENTI SONO CALCOLATI IN FUNZIONE DEI VALORI ASSEGNATI Ti E Yi (ASCISSE E ORDINATE) • IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DELLA CURVA INTERPOLANTE È FISSATO DALL’UTENTE • I VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE, INSIEME CON I COEFFICIENTI RELATIVI AI SINGOLI TRATTI DI CURVA INTERPOLANTE, POSSONO ESSERE CALCOLATI APPLICANDO LE ISTRUZIONI DEL MATLAB INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 2

  3. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO L’ISTRUZIONE MATLAB PER CALCOLARE I VALORI DELLA CURVA INTERPOLANTE È y = spline(T,Y,t) IN CUI: y È IL FILE RELATIVO AI VALORI DISCRETIZZATI DELLA CURVA INTERPOLANTE T È IL FILE RELATIVO ALLE ASCISSE DEI VALORI ASSEGNATI T = [ T1 T2 • • • • TN ] Y È IL FILE RELATIVO ALLE CORRISPONDENTI ORDINATE Y = [ Y1 Y2 • • • • YN ] t È IL FILE RELATIVO ALLA BASE DEI TEMPI CON PASSO DI DISCRETIZZAZIONE dt INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 3

  4. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO DERIVATA PRIMA DERIVATA SECONDA t1 DERIVATA TERZA t2 t4 t3 t5 INTERPOLAZIONE CON SPLINE yi(t) = ai t3 + bi t2 + ci t + di 0 < t < ti a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4 a5 b5 c5 d5 INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 4

  5. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO IN CUI: … d1 d2 d3 d4 … … c1 c2 c3 c4 … KK = … b1 b2 b3 b4 … … a1 a2 a3 a4 … CALCOLO DELLA SPLINE INTEPOLANTE LA SPLINE INTERPOLANTE È COSTITUITA DALLA COMBINAZINE LIARE DELLA SEGUENTI VARIABILI DI TIPO CANONICO: • GRADINO • RAMPA LINEARE • RAMPA QUADRATICA • RAMPA CUBICA I COEFFICIENTI DELLA INTERPOLAZIONE LINEARE SONO CALCOLATI IN MODO DA GARANTIRE LA CONTINUITÀ DEL VALORE ISTANTANEO, DELLA DERIVATA PRIMA E DELLA DERIVATA SECONDA. A TALE SCOPO VIENE UTILIZZATA L’ISTRUZIONE MATLAB: K0 = spline(T,Y); KK=K0.coefs; 5 INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE

  6. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO • m(t)= Wm(t) u(t)= GTm(t) 0 0 1 1 0 0 0 0 6 ai 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 Gi = m0= 2 bi 0 W = W = 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ci 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 di 1 1 di ci Gi = m0i = 2 bi 6 ai LA SPLINE INTERPOLANTE PUÒ ESSERE CACOLATA ANCHE COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTENA DINAMICO CON 4 POLI NELLE ORIGINE m(0)= m0 u(t) 0 < t < Ti+1 - Ti 6 INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE

  7. AUTOMAZIONE INDUSTRIALE DATI DI PROVA COEFFICIENTI MATRICE KK ai KK(i:i,4:4) bi KK(i:i,3:3) ci KK(i:i,2:2) di KK(i:i,1:1) i Ti Yi 1 0.0 0.6 -0.5786 2.6799 -2.9953 0.6000 2 0.5 -0.3 -0.5786 1.8120 -0.7494 -0.3000 3 2.0 0.7 0.1498 -0.7919 0.7808 0.7000 4 3.1 0.8 0.1242 -0.2977 -0.4177 0.8000 5 -0.2 -0.3005 0.5967 0.2999 -0.2000 5.5 6 0.5 0.9232 -0.4849 0.4341 0.5000 6.7 7 0.1 0.9232 0.1300 -0.3467 0.1000 8.9 8 10.0 0.0 ISTRUZIONI MATLAB PER IL CALCOLO DEI COEFFICIENTI K0=spline(T,Y); KK=K.coefs; INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE 7

  8. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO .8 .6 .4 .2 0 2 4 6 8 10 t (sec) t4 t6 -.2 -.4 t1 t3 t5 t7 -3.4718 -3.4718 0.8985 0.7453 -1.8028 0.5591 0.5591 t2 5.3598 3.6239 0.8985 -0.5954 1.1934 -0.9699 0.2601 G2= G1= G3= G4= G5= G6= G7= -2.9953 -0.7494 -0.4177 0.2999 -2.9953 -0.3467 0.7808 0.6000 -0.3000 0.7000 0.8000 -0.2000 0.5000 0.1000 u(t1) = G1 exp(Wt1) m0 u(t2) = G2 exp(Wt2) m0 u(t3) = G3 exp(Wt3) m0 u(t4) = G4 exp(Wt4) m0 u(t5) = G5 exp(Wt5) m0 u(t6) = G6 exp(Wt6) m0 u(t7) = G7 exp(Wt7) m0 G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 8 INTERPOLAZIONE TRAMITE SPLINE

  9. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO • x(t) = Ax(t) + b u(t) x(0) = x0 y(t) = cTx(t) u(t) = t2/2 u(t) = t3/6 u(t) = 1 u(t) = t CALCOLO CONGIUNTO DELLA EVOLUZIONE LIBERA E DELLA EVOLUZIONE FORZATA DI UN SISTEMA DINAMICO COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA A STATO AUMENTATO SISTEMA DINAMICO LINEARE E STAZIONARIO VARIABILE DI FORZAMENTO DI TIPOESPONENZIALE 9 CALCOLO DELL’EVOLUZIONE

  10. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO • • m(t)= Wm(t) x(t) = Ax(t) + b u(t) y(t) = cTx(t) u(t)= GTm(t) u(t) 1 0 1 1 W = G = m0 = t (sec) u(t) 1 0 1 0 0 0 0 u(t) 0 G = m0 = W = 0 0 1 0 0 W = m0 = G = 1/2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 u(t) 0 0 1 0 0 0 G = m0 = W = 0 0 0 1 0 0 1/6 1 0 0 0 0 1 1 x(0)= x0 m(0)= m0 u(t) y(t) 10 CALCOLO DELL’EVOLUZIONE

  11. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO x(0)= x0 m(0)= m0 u(t) y(t) • • m(t)= Wm(t) x(t) = Ax(t) + b u(t) y(t) = cTx(t) u(t)= GTm(t) A bGT x0 x(t) x(t) = S = x0 = 0 W m0 m(t) A BGT cT 0 0 W x(t) = e S t x0 I 0 x0 x(t) y(t) u(t) 11 CALCOLO DELL’EVOLUZIONE

  12. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO (eAteWt)b eAt e St = 0 eWt EVOLUZIONEDELLA VARIABILE DI FORZAMENTO u(t) = GeWtm(t) EVOLUZIONELIBERA E FORZATA DELLE VARIABILI DI STATO DEL SISTEMA DINAMICO x(t) = F(t) x0 + Y(t) m0 EVOLUZIONELIBERA E FORZATA DELLA VARIABILE DI USCITA DEL SISTEMA DINAMICO y(t) = cTx(t) F(t) A-1(eAt – I)b Y(t) 12 CALCOLO DELL’EVOLUZIONE

  13. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE IPOTESI 1 - È ASSEGNATO L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO 3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO PER CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMANEN-TE OCCORRE CONOSCERE IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x0 RELATIVO AD UN ISTANTE DEFINITO PROCEDURA 1 - VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTATO CHE FORNISCE L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO NONCHÉ L’EVOLUZIONE LIBERA E DELL’EVOLUZIONE FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO 2 - VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO L’ANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 13 CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE

  14. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 3 - VENGONO CONCATENATE LE SINGOLE SOLUZIONI IN FUZIONE DELLA SOLA INCOGNITA x0 4 - VIENE RISOLTA L’EQUAZIONE LINEARE CHE FORNISCE IL VALORE DELL’INCOGNITA x0 5 - VIENE CALCOLATO IN FUNZIONE DI x0 L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE PERMENTENTE CHE COINCIDE CON LA VARIABILE DI USCITA DEL SISTEMA DINAMICO ESEMPIO CALCOLO DELLA OSCILLAZIONE PERMANENTE DI UN SISTEMA DINA-MICO IL CUI FORZAMENTO È OTTENUTO DA UN RELÈ IN CUI LA DU-RATA DEL CICLO DI COMMUTAZIONE È PREFISSATA L’APPROCCIO CONVENZIONALE CONSISTE NEL FISSARE IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E LA CONDIZIONE DI PERIODICITÀ. VIENE APPLICATO UN METODO ITERATIVO DI RICERCA DELLA SOLUZIONE ASPETTI INNOVATIVI DEL METODO METODO DI CALCOLO DI TIPO DIRETTO IN CUI LA PRECISIONE DEL RISULTATO È INDIPENDENTE DAL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE E DALLA CONDIZIONE SCELTA PER LA VERIFICA DELLA PERIODICITÀ 14 CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE

  15. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CONDIZIONE DI PERIODICITÀ 0 m02= -a2 t2 a1 t1 a2 0 m01= a1 x(t1) = F(t1) x0 +Y(t1) m01 x(t2) = F(t2) x(t1)+Y(t2) m02 = x0 x0 x(t1) x0 F(t2) F(t1) x0= F(t2)(F(t1) x0+Y(t1) m01 )+Y(t2) m02 Y(t2) Y(t1) CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI x0 = (F(t2)F(t1) – I)-1(F(t2)Y(t1) m01 +Y(t2) m02 ) TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO y(t) = cTx(t) = cT(F(t) x0+Y(t) m01 ) PER 0 < t < t1 y(t) = cTx(t) = cT(F(t) x(t1)+Y(t) m02 ) PER 0 < t < t2 15 CALCOLO DELL’OSCILLAZIONE PERMANENTE

  16. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CALCOLO DIRETTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE IPOTESI 1 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO 2 - È ASSEGNATO L’ANDAMENTO DELLA NON LINEARITÀ 3 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO È SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO PER CALCOLARE L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMI-TE OCCORRE CONOSCERE LA DURATA DEL PERIODO T* E IL VALORE DELLE CONDIZIONI INIZIALI x 0(T*) IN CORRISPONDENZA DELL’ISTAN-TE INIZIALE DI UN PERIODO PROCEDURA 1 - VIENE RICAVATA LA MATRICE DEL SISTEMA A STATO AUMENTA-TO CHE FORNISCE L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZA-MENTO E L’EVOLUZIONE LIBERA E FORZATA DEL SISTEMA DINAMICO 2 - VIENE CALCOLATO IL VALORE NUMERICO DELLA SOLUZIONE PER OGNI INTERVALLO DI TEMPO IN CUI È STATO SUDDIVISO L’ANDA-MENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 16 CALCOLO DEL CICLO LIMITE

  17. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 3 - VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI PERIODICITÀ 4 - VIENE RICAVATA LE CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 5 - VIENE ASSEGNATO UN VALORE DI TENTATIVO ALLA DURATA T DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE 6 - VIENE CALCOLATO IL CORRISPONDENTE VALORE NUMERICO DEL VETTORE CONDIZIONI INIZIALI X(0) 7 - VIENE CONTROLLATO SE RISULTA VERIFICATA LA CONDIZIONE DI VARIAZIONE DEL SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 8 - SE TALE CONDIZIONE NON RISULTA VERIFICATA VIENE MODIFICATO IL VALORE DEL PERIODO T.LA PROCEDURA RIPARTE DAL PASSO 6 9 - SE RISULTA VERIFICATA RISULTA DETERMINATO IL PERIODO T* DELLA OSCILLAZIONE DI CICLO LIMITE E IL CORRISPONDENTE VALORE X*(0) DELLE CONDIZIONI INIZIALI 10 –UNA VOLTA DETERMINATI I VALORI DI T* E DI X*(0) , VIENE CALCOLATO L’ANDAMENTO DELLA OSCILLAZIONE TRAMITE IL MODELLO DINAMICO PRECEDENTEMENTE RICAVATO 17 CALCOLO DEL CICLO LIMITE

  18. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO a a T/2 T/2 0 m0= - CONDIZIONE DI PERIODICITÀ a x0(T)= x0(0)= - x0(T/2) CONDIZIONE DI INVERSIONE DI SEGNO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO y(0) = y(T/2) = 0 0 m0= CALCOLO DIRETTO DELLE CONZIONI INIZIALI a x0(0)= ( F(T/2) + I )–1Y(T/2) m0 x(T/2) = F(T/2) x0(T)+Y(T/2) m0 x(T) = F(T/2) x(T/2)-Y(T/2) m0 =x0(T) x0 x(t1) x0 CONDIZIONE DI PERIODICITÀ F(T/2) F(T/2) Y(T/2) Y(T/2) 18 CALCOLO DEL CICLO LIMITE

  19. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO y*(t) = 0 e(t) u(t) y(t) 1 s3 + 3 s2 + 3 s + 1 + - -1 1 0 1 0 1 0 G= W = 1 0 -1 1 0 0 A = cT = b = -1 0 0 -1 0 1 y(0) tempo T/2 T*/2 0 T* ESEMPIO CICLO LIMITE 19 CALCOLO DEL CICLO LIMITE

  20. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO CALCOLO DIRETTO DEL CONTENUTO ARMONICO DI UNA OSCILLAZIONE PERMANENTE IPOTESI 1 - È ASSEGNATA LA DURATA DI UN PERIODO E L’ANDAMENTO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 2 - LA VARIABILE DI FORZAMENTO PUÒ ESSERE SUDDIVISA IN ALCUNI TRATTI CON ANDAMENTO DI TIPO CANONICO 3 - È ASSEGNATO IL MODELLO LINEARE DEL SISTEMA DINAMICO 4 - È GIÀ STATO CALCOLATO IL VALORE CONDIZIONI INIZIALI X0 IN CORRISPONDENZA DELL’ ISTANTE INIZIALE 5 - È NOTO L’ORDINE DELL’ARMONICA DI CUI SI DEVONO CALCOLARE LE COMPONENTI ARMONICHE IL VALORE DELLE COMPONENTI ARMONICHE COINCIDE CON L’EVOLUZIONE FORZATA DELLE VARIABILI DI STATO DI UN SISTEMA DINAMICO IN CUI: 1 - LA MATRICE DINAMICA È CARATTERIZZATA DA DUE POLI COMPLESSI DI VALORE COINCIDENTE CON LA PULSAZIONE DELLA ARMONICA DI CUI DEVONO ESSERE CALCOLATE LE COMPONENTI 20 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

  21. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO 2 - L’EVOLUZIONE DINAMICA PARTE DA CONDIZIONI INIZIALI s NULLE 3 - IL VALORE DELLE VARIABILI DI STATO ALLA FINE DI UN PERIODO COINCIDE CON LE COMPONENTI ARMONICHE DELLA OSCILLAZIONE PERIODICA AGGREGANDO AL MODELLO DINAMICO DEL SISTEMA IN ESAME QUELLO DEL: 1 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLA EVOLUZIONE FORZATA 2 - SISTEMA DINAMICO CHE CONSENTE IL CALCOLO DIRETTO DELLE COMPONENTI ARMONICHE VIENE CALCOLATA: 1 - L’OSCILLAZIONE PERMANENTE 2 - L’ANDAMENTO PERIODICO DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO 3 - LE COMPONENTI ARMONICHE COME EVOLUZIONE LIBERA DI UN SISTEMA DINAMICO A STATO AUMENTATO ESTESO AL CALCOLO DELLA EVOLUZIONE E DELLE COMPONENTI ARMONICHE 21 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

  22. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO VANTAGGI DEL METODO DIRETTO PER IL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO: 1 - NEL CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE COINCIDE CON QUELLO DI DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI FORZAMENTO; 2 - L’ANDAMENTO DELLA FORMA D’ONDA PERIODICA NON SUBISCE APPROSSIMAZIONI COLLEGATE ALLE MODALITÀ DI ELABORA-ZIONE DELL’ALGORITMO DI CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO; 3 - IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE DIPENDE SOLO DALLE DISCONTINUITÀ DELLA VARIABILE DI DORZAMENTO E NON DALL’ORDINE DELL’ARMONICA ; 4 - LE ARMONICHE DI ORDINE SUPERIONE SONO CALCOLATE CON UNA PRECISIONE CHE DIPENDE SOLO DALLA LUNGHEZZA DI PAROLA UTILIZZATA NELLE ELABORAZIONI NUMERICHE. 22 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

  23. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO s0= 0 x0 m(0)= m0 T   ( ) ( ) s n (1)= sn (2)= cos sin y(t) dt y(t) dt t t 0 0 • • x(t) = Ax(t) + b u(t) m(t)= Wm(t) • s(t)=Qs(t)+r y(t) u(t)= GTm(t) y(t) = cTx(t) s(1) u(t) y(t) 2 2 2 0 r = n n n s(2) T T T Q = 0 0 2 - n T 2 2 2 T T T T y(t) = cTx(t) = cT(F(t) x0+Y(t) m0 ) 23 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

  24. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO S 0 D = [r cT 0] Q • d(t) = Dd(t) x0 x(t) x0 m0 0 (t) = d0 = s(t) 0 • x(t) x(t) x0 A b 0 • m(t) m(t) m0 0 W 0 = • s(t) s0 d(t) r cT 0 Q d(0) = d0 VARIABILI DI STATO FORZAMENTO COMPONENTI IN FASE E IN QUADRATURA 24 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

  25. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO P W M PULSE WIDTH MODULATION ATTUATORE ON-FF m(t) y(t) u(t) SISTEMA DA CONTROLLARE T 2s+6 1 1 s (s+1)(s+3) tempo s2+.5s+1.5 1 CONDIZIONI INIZIALI METODO DIRETTO 2 ITERAZIONI: 2 TRACCIAMENTO METODO INDIRETTO 18 ITERAZIONI: 1 TRACCIAMENTO 2 AGGIORNAMENTO DELLE CONDIZIONI INIZIALI 25 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

  26. TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO t 0 10 20 30 40 50 ordine delle armoniche T PROCEDURA: 1 VENGONO CALCOLATE LE CONDIZIONI INIZIALI X0 PER IL TRACCIAMENTO DELL’ANDAMENTO PERIODICO 2 VENGONO INSERITE LE CONDIZIONI INIZIALI X0 NEL VETTORE D(T) PER IL CALCOLO DELLE COMPONENTE ARMONICHE DI ORDINE N 3 VIENE RIPETUTO IL CALCOLO ENTRO LO SPETTRO DI INTERESSE 4 VIENE RICOSTRUITO L’ANDAMENTO UTILIZZANDO LE ARMONICHE 26 CALCOLO DEL CONTENUTO ARMONICO

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