Dane informacyjne

2. Dane informacyjne Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Adama Mickiewicza w Brodach ID grupy: 98/66 _MF_G2 Opiekun: Grażyna Nowak Kompetencja: matematyczno – fizyczna Temat projektowy: „Geometria trójkąta” Semestr/rok szkolny: semestr V /rok szkolny 2011/2012

3. Cele projektu

4. Zebranie i usystematyzowanie podstawowych wiadomości o trójkątach. • Poznanie twierdzeń opisujących własności trójkątów • Poznanie podstawowych związków trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym • Kształcenie umiejętności stosowania poznanej wiedzy w rozwiązywaniu zadań geometrycznych

5. Doskonalenie umiejętności samodzielnego korzystania z różnych źródeł informacji, gromadzenie, selekcjonowanie i przetwarzanie zdobytych informacji. • Doskonalenie umiejętności prezentacji zebranych materiałów. • Wyrabianie odpowiedzialności za pracę własną i całej grupy.

6. Spis treści: • Cele projektu. • Wstęp – definicja i podstawowe własności trójkąta • Definicje pojęć związanych z trójkątem • Klasyfikacja trójkątów • Własności trójkątów • Okrąg opisany na trójkącie, okrąg wpisany w trójkąt • Trójkąt równoboczny i jego własności • Pole i obwód trójkąta • Związki trygonometryczne w trójkącie prostokątnym • Twierdzenia związane z trójkątem • Przykłady zadań.

7. Definicja i podstawowe pojęcia związane z trójkątem

8. Co tojest trójkąt ?

9. towielokąt, który ma: • trzy boki • trzy wierzchołki • trzy kąty Trójkąt A, B, C – wierzchołkia, b, c – bokiα, β, γ – kąty

10. Środkowa- odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. a a S – środek ciężkości Każdy trójkąt ma 3 środkowe ( po jednej z każdego wierzchołka). Środkowe przecinają się w stosunku 2:1w punkcie zwanymśrodkiem ciężkości.

11. Wysokość– odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem, prostopadły do tego boku Każdy trójkąt ma3wysokości ( po jednej z każdegowierzchołka). Wysokości przecinają się w punkcie zwanymortocentrum.

12. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą poza trójkątem W trójkącie ostrokątnym wszystkie wysokości leżą wewnątrz trójkąta W trójkącie prostokątnym dwie wysokości leżą na bokach trójkąta

13. Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

14. TWIERDZENIE O DWUSIECZNEJ TRÓJKĄTA

15. Klasyfikacja trójkątów

16. Ze względu na boki: równoboczny równoramienny różnoboczny b – ramiona a - podstawa • Ma każdy bok innej długości • Kąty mają różne miary • Ma wszystkie boki równe • Wszystkie kąty mają po 60° • Ma dwa boki równe • Kąty przy podstawie • mają taką samą miarę

17. 90 < o g g a b a b a < 90° < 180° a = 90° a b < 90° < 90° b < 90° b < 90° g g < 90° < 90° g Ze względu na kąty: Trójkąt ostrokątny- ma wszystkie kąty ostre Trójkąt rozwartokątny-ma jeden kąt rozwarty i dwa ostre Trójkąt prostokątny-ma jeden kąt prosty i dwa ostre

18. Własności trójkątów

19. Warunek trójkąta: Aby z trzech danych odcinków można było zbudować trójkąt, to suma długości dwóch dowolnych odcinków musi być większa od długości trzeciego z nich. a + b >c a + c >b b + c >a • To znaczy w każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a, bi c muszą zachodzić powyższe nierówności zwane też nierównościami trójkąta.

20. Jeśli chociaż jedna z nierówności nie jest spełniona, to trójkąt o podanych bokach nie istnieje np. 2, 3, 6 6 > 2+ 3

21. Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180° • α +ß +γ = 180° Ciekawostka: Autorem tego twierdzenia był prawdopodobnie Pitagoras

22. Miara kąta zewnętrznego trójkąta jest równa sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do niego nieprzyległych. • Kąt przyległy do kąta wewnętrznego trójkąta nazywamy kątemzewnętrznym trójkąta.

23. Cecha BBB (bok, bok, bok) dwa trójkąty są przystające, gdy boki jednego z nich mają te same długości, co boki drugiego. Cechy przystawaniatrójkątów : Dwa trójkąty nazywamy przystającymi, jeżeli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta i odpowiednie kąty są równe Pamiętaj!!! Naprzeciw odpowiadających sobie kątów leżą odpowiadające sobie boki.

24. Cecha BKB ( bok, kąt, bok ) dwa trójkąty są przystające, gdy dwa boki jednego z nich mają te same długości, co dwa boki drugiego, a kąty pomiędzy tymi bokami w jednym i drugim trójkącie są równe.

25. Cecha KBK ( kąt, bok, kąt ) dwa trójkąty są przystające, gdy dwa kąty jednego z nich są równe dwóm kątom drugiego,aboki zawarte pomiędzy tymi kątami w jednym i drugim trójkącie są równe

26. Kiedy dwie figury są podobne? • Mówimy, że figura F jest podobna do figury F', jeżeli: • boki jednej  figury są proporcjonalne do odpowiednich  boków drugiej  figury, to znaczy ich stosunek / iloraz / jest wielkością stałą. Stała ta nazywa się skalą podobieństwa i oznaczamy ją k. • odpowiednie kąty mają  jednakowe miary. F', F

27. g1 b1 g c1 c b b a b1 a a1 a1 a1 b1 c1 = = abc Cechy podobieństwa trójkątów I cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to trójkąty są podobne: II cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli miary 2 kątów jednego trójkąta, są równe miarom 2 kątów drugiego trójkąta to trójkąty są podobne. a = a1b = b1 III cecha podobieństwa trójkątów Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty między nimi zawarte są przystające, to trójkąty są podobne.

28. Okrąg opisany na trójkącie Okrąg opisany na trójkącie – okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta

29. Okrąg wpisany w trójkąt Wszystkie boki trójkąta są styczne do okręgu wpisanego w ten trójkąt.

30. Trójkąt równoboczny

31. Trójkąt równoboczny to taki, który ma wszystkie boki równej długości.

32. Własności trójkąta równobocznego • Ma wszystkie boki równej długości • Ma wszystkie kąty równe po 60° • Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne • Wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta • Wysokości trójkąta równobocznego są równe i dzielą się w stosunku 1:2 • Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie

33. Wzory opisujące wielkości w trójkącie równobocznym: a – bok trójkąta h – wysokość P – pole trójkąta R – promień okręgu opisanego na trójkącie r- promień okręgu wpisanego w trójkąt

34. b c h a a h a a c b a Pole i obwód trójkąta dowolny trójkąt Ob - obwód P - pole Ob = a + b + c trójkąt prostokątny trójkąt równoboczny Ob = a+b+c Ob = 3a

35. Wzór Herona– wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości jego boków. CIEKAWOSTKA Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany. Niech oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

36. Trygonometria Jest to dział matematyki, któregoprzedmiotem badań są związki miarowe między bokami i kątami trójkątów

37. Funkcje trygonometryczne – funkcje matematyczne wyrażające stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych. Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (kosinus), tangens, cotangens (kotangens),

38. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Sinusem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta do długości przeciwprostokątnej. Cosunisemkąta α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej. Tangensem kąta α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi α do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta. Cotangensemkąta α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi.

39. Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

40. Wartości podstawowe dla kątów: 30°,45°, 60°

41. Za pomocą funkcji trygonometrycznych można obliczać boki trójkąta prostokątnego, znając długość jednego boku i jeden kąt ostry. Przykład: W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma 30° a przyprostokątna leżąca naprzeciw niego ma 4 cm. Oblicz pozostałe boki tego trójkąta. Dane: szukane: wzory: a = 4cm b, c sinα=a/c α= 30° tgα=a/b Odp. Pozostałe boki trójkąta mają długość: 8 cm i

42. Twierdzenia opisujące własności trójkątów

43. Twierdzenie Pitagorasa

44. Wersja geometryczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

45. Wersja algebraiczna: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

46. CIEKAWOSTKA Zaskoczyć może informacja, że twierdzenie Pitagorasa było w praktyce stosowane na długo przed Pitagorasem.Znane źródła starogreckie nie zawierają żadnych wzmianek o stosowaniu twierdzenia Pitagorasa do obliczeń, ale właśnie ze starożytnego Egiptu pochodzą wiadomości o harpedonaptach (gr. - dosł. rozciągacze sznura) - urzędnikach-mierniczych, którzy w ewidentny sposób z twierdzenia Pitagorasa korzystali. Posługiwali się bowiem sznurem ze związanymi końcami, na których w równych odstępach nawiązanych było 12 węzłów.W pierwszy i czwarty węzeł wkładano tyczki i po naciągnięciu tego odcinka sznura tyczki wbijano w ziemię a następnie w ósmy węzeł wsuwano trzecią tyczkę i wbijano ją w ziemię tam, gdzie pozwalały na to naciągnięte obie pozostałe części sznura.W ten sposób wyznaczano w terenie kąt prosty.

47. Pitagoras Pitagoras z Samos, żył w latach 570-496 p.n.e. • Grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków. „Najkrótsze wyrazy – „tak” i „nie” – wymagają najdłuższego zastanowienia.” - Pitagoras

48. Poglądy i osiągnięcia pitagorejczyków Pitagorejczycy uważali, że "wszystko jest liczbą"; każdemu bytowi można było przyporządkować liczbę np. mierząc czy ważąc. 10 była przedstawiana jako "arcyczwórka" – trójkąt, na którego każdym boku mieściły się cztery kamyki, pozostawiał miejsce na dziesiąty wewnątrz; patrz również Pitagoras.

49. Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Posługiwał się twierdzeniem nazwanym współcześnie jego imieniem, ale dowód tego matematycznego faktu sformułowany został znacznie później. Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też • dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym, • wprowadzenie średniej arytmetycznej, • konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego, • muzyczny strój pitagorejski (to zupełnie co innego niż komat) – harmoniczne interwały w muzyce, można przedstawić za pomocą prostych stosunków liczbowych.

50. TRÓJKĄT PITAGOREJSKI • to trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi Najwcześniej znanym trójkątem pitagorejskim był trójkąt o bokach długości 3, 4, 5 tak zwany trójkąt egipski. Nazywa się go trójkątem egipskim, ponieważ był używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego w terenie. Trójkąt pitagorejski o bokach, których długości są liczbami względnie pierwszymi nazywa się trójkątem pitagorejskim pierwotnym. Trójkę liczb naturalnych a, b, c wyrażających długości boków trójkąta prostokątnego nazywa się trójką pitagorejską. Jeśli dwie spośród liczb a, b, c mają wspólny podzielnik, to ma go też trzecia liczba. Pitagoras wymyślił też prawidłowość dotyczącą znajdywania liczb całkowitych dla trójkątów pitagorejskich. Wyraża się ona wzorem: (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)²