SPLINES CÚBICOS

1. SPLINES CÚBICOS Autor: Marcos, ZAMARREÑO JUANAS Titulación: Ingeniería Superior Informática Grupo: T41

2. Índice • Introducción. • Interpolación. • Tipos de Interpolación • Interpolación por Splines Cúbicos

3. Introducción • Los Splines (bosquejo en ingles) fueron creados en 1946, por Schoenberg y permiten representaciones matemáticas de superficies (que sería imposible realizar a mano) partiendo de información relativa a algunos de sus puntos. Su construcción consiste en obtener una función de interpolación que pase por esos puntos. Son especialmente importantes en la aviación y en la industria del automóvil.

4. Interpolación • La interpolación consiste en obtener una función que corresponda a una serie de datos conocidos. • Una de las clases de funciones mejor conocidas es la de los polinomios es una clase muy útil ya que la derivada y la integral de un polinomio son fáciles de determinar, con frecuencia se usan para aproximar las funciones continuas.

5. Tipos de Interpolación • Polinomio de Lagrange. • De Diferencias Divididas de Newton. Tratan el mismo polinomio y solo se difieren por la forma de obtenerse. Consisten en un polinomio de grado n-1 que pasa por los n puntos conocidos. • Interpolación Fragmentaria: Consistente en dividir el intervalo en una serie de subintervalos y en cada uno construir un polinomio diferente.

6. Interpolación por Splines Cúbicos • Es la aproximación polinómica fragmentaria más común; utiliza polinomios de grado tres entre cada par de puntos consecutivos.

7. Interpolación por Splines Cúbicos • Dada una función f definida en [a,b] y un conjunto de puntos: a=x0<x<…<xn=b

8. Interpolación por Splines Cúbicos • Un interpolante de trazador cúbico S para f es una función que cumple con las siguientes condiciones: • S(x) es un polinomio cúbico denotado por Sj(x) en el intervalo [xj, xj+1] para cada j = 0,1,2,..., n-1. 2.S(xj)=f(xj) para cada j = 0, 1, 2,..., n. 3. Sj (xj+1)= Sj+1 (xj+1) para cada j = 0, 1, 2,..., n-2; (lo que asegura la continuidad). 4.S’j (xj+1)= S’j+1 (xj+1) para cada j = 0, 1, 2,..., n-2; (lo que asegura diferenciabilidad en los puntos). 5.S’’j (xj+1)= S’’j+1 (xj+1) para cada j = 0, 1, 2,..., n-2; (lo que asegura que no hay cambios de concavidad en los nodos o puntos)