MECHANIKA PŁYNÓW

1. Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Wydział Melioracji i Inżynierii Środowiska KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I SANITARNEJ MECHANIKA PŁYNÓW dr inż. Paweł Zawadzki www.up.poznan.pl/kiwis/dydaktyka/mechanikaplynow.html

2. p1, T1 v2 Rozważmy  wypływ gazu ze zbiornika, w którym panuje wysokie ciśnienie, do obszaru o niższym ciśnieniu. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Zakładamy, że jest to ustalony wypływ adiabatyczny gazu doskonałego a więc bez wymiany ciepła (ec=0), pracy mechanicznej (lt=0) a przy małej gęstości gazu mogą być pominięte człony wyrażające energię potencjalną (g·z=0). Przy tych założeniach równanie bilansu energii sprowadza się do postaci:

3. p1, T1 v2 Różnicę entalpii i2 – i1można zastąpić wyrażeniem , za ciepło właściwe cppodstawiamy zależność oraz , dzięki czemu: Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Jest to równanie Bernoulliego dla gazów idealnych i przemian adiabatycznych wzdłuż strumienia.

4. p0, T0 v1 Parametry nieruchomego gazu w zbiorniku przy v = 0, nazywamy parametrami spiętrzenia. W szczególności temperatura i ciśnienie odpowiadające temu stanowi nazywane są temperaturą spiętrzenia i ciśnieniem spiętrzenia i oznaczamy symbolami Toi po. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Jeżeli parametry gazu na zewnątrz zbiornika oznaczamy indeksem”1”, to równanie przybiera postać:

5. p0, T0 v1 Prędkość wypływu gazu ze zbiornika możemy wyznaczyć: Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Korzystając z równania izentropy:

6. p0, T0 v1 Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Otrzymamy wzór St. Venanta-Wantzela:

7. p0, T0 v1 Wydatek masowy wypływu gazu przez otwór obliczamy z zależności: Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Podstawiając w powyższym równaniu zależność na prędkość gazu v1 otrzymujemy:

8. p0, T0 v1 Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Z analizy wzoru St. Venanta-Wantzela wynika, że maksymalna prędkość gazu vmaxteoretycznie może wystąpić przy jego rozprężeniu do próżni absolutnej, gdzie i = 0 a więc także p1 = 0:

9. Przykład 1. Jak zmienia się masowe natężenie masowego natężenia wypływu gazu w funkcji ilorazu ciśnień p1/p0 = x dla stałych parametrów gazu w zbiorniku? Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze  = 1,4 (wykładnik adiabaty) p0 = 2 MPa

10. Ze spadkiem ciśnienia p1, wielkość M(x) początkowo rośnie, a po osiągnięciu wartości maksymalnej Mmax dla x = β, maleje do zera. Badania doświadczalne wskazują, że dla p1/p0 < β masowe natężenie nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej. Przedstawiona rozbieżność nazywana jest „paradoksem Saint Venanta-Wantzela”. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

11. Wielkość β można wyznaczyć z warunku na ekstremum funkcji M(x): czyli stąd ekstremum funkcji występuje gdy x = p1/p0 = β: Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

12. Przykład 2. Określ wartość x = p1/p0 = β przy, której obserwowany maksymalny wypływ powietrza ze zbiornika. Dla powietrza  = 1,4 Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

13. Jeśli do równania za iloraz p0/p1 podstawimy wielkość β otrzymamy: Wstawiając prędkość maksymalną wprost do wzoru na masowe natężenie wypływu otrzymamy: Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

14. Kryterium do obliczania prędkości i wydatku przy wypływie gazu przez otwory i dysze zbieżne stanowi stosunek ciśnienia zewnętrznego p1do ciśnienia w zbiorniku p0 a mianowicie: gdy p1/p0 > β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów gdy p1/p0 < β, to prędkość i wydatek wyliczamy z wzorów Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

15. p0, T0 v1 Przykład 3. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze  =  = 1,4 (wykładnik adiabaty) p0 = 0,2 MPa T0 = 300 K p1 = pa = 0,1013 MPa dla masowe natężenie przepływu nie zmienia się i jest równe wartości maksymalnej. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

16. Przykład 3. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

17. Przykład 4. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć temperaturę wypływającego strumienia, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane jak w przykładzie 3. - z rów. bilansu energii dla dwóch przekrojów otrzymujemy zależność na temperaturę wypływającego strumienia gazu Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

18. Przykład 4. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika

19. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika p0, T0 v1 Przykład 5. Przez otwór w zbiorniku wypływa powietrze. Obliczyć prędkość wypływu v1, jeżeli dane są parametry gazu w zbiorniku. Dane: R = 287 J/(kg K) powietrze  =  = 1,4 (wykładnik adiabaty) p0 = 0,15 MPa T0 = 300 K p1 = pa = 0,1013 MPa dla masowe natężenie przepływu obliczamy z równania Saint Venanta-Wantzela.

20. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 5.

21. Wypływ adiabatyczny gazu ze zbiornika Przykład 6. Obliczyć gęstość gazu w zbiorniku Dane jak w przykładzie 5.

22. Zauważmy, że w wyjściowym równaniu izentropy po lewej i po prawej stronie występuje wyrażenie określające kwadrat prędkości dźwięku: Parametry krytyczne gazu

23. Wstawiając te wielkości do równania otrzymamy: gdzie a0 jest prędkością dźwięku w warunkach spiętrzenia (stagnation), gdy v = 0, przy tzw. parametrach spiętrzenia gazu w zbiorniku p0, ρ0, T0. Parametry krytyczne gazu

24. Parametry krytyczne gazu Z równania wynika, że przy wypływie gazu ze zbiornika gdy wzrasta prędkość gazu v1 maleje prędkość dźwięku a1. Parametry gazu, przy których prędkość przepływu gazu równa jest lokalnej prędkości dźwięku tj. v1 = a1, nazywane są parametrami krytycznymi: p ρ, T, v, a.

25. Z równania tego można wyznaczyć prędkość krytyczną gazu (v1 = v), równą krytycznej prędkości dźwięku (a1 = a). Parametry krytyczne gazu

26. Parametry krytyczne gazu Warto zwrócić uwagę, że prędkość krytyczna gazu określona wzorami równa jest maksymalnej prędkości występującej przy wypływie gazu przez otwór a więc jest to prędkość krytyczna.