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第一节 定积分的概念与性质

第一节 定积分的概念与性质. 一、两个实例. 1. 曲边梯形的面积. 2. 变速直线运动的路程. 二、定积分的定义. 三、定积分的几何意义与物理意义. 四、定积分的基本性质. 在以下各性质中，假定函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a ,b] 上都是连续的（ k 为常数）。. 性质 1. （此性质可以推广到有限个可积函数的代数和的情形）. 性质 2. 特别，. 性质 3 若 a<c<b ，则. 实际上，对于 a ,b,c 三点的任何其它相对位置，性质 3 仍然成立。.

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第一节 定积分的概念与性质

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Presentation Transcript

  1. 第一节 定积分的概念与性质 一、两个实例 1. 曲边梯形的面积 2. 变速直线运动的路程 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义与物理意义 四、定积分的基本性质 在以下各性质中，假定函数f(x)和g(x)在区间[a ,b]上都是连续的（k为常数）。 性质1 （此性质可以推广到有限个可积函数的代数和的情形）

  2. 性质2 特别， 性质3 若a<c<b，则 实际上，对于a ,b,c三点的任何其它相对位置，性质3仍然成立。 性质4 若在[a ,b]上， 则 特别地,若在[a ,b]上， 则

  3. 从性质4还可推得，若a<b，则 性质5（估值定理） 设M和m分别为函数f(x)在区间[a ,b]上的最大值和最小值，则 性质6（积分中值定理） 若函数f(x)在区间[a ,b]上连续，则在[a ,b]上至少存在一点 ，使 积分中值定理的几何意义:曲边梯形的面积等于一同底的矩形(高为 )的面积( 时)

  4. 两个结论： y y=f(x) （1）若函数f(x)在区间[-a ,a]上连续且为奇函数，则 O a b x y y=f(x) (积分中值定理几何意义图) -a a O x （2）若函数f(x)在区间[-a ,a]上连续且为偶函数，则 y y=f(x) -a a O x

  5. 例3 利用上述公式求下列定积分： （1） （2）已知 ，求

  6. 第二节 牛顿-莱布尼兹公式 一、变上限的定积分 定理1 若函数f(x)在区间[a ,b]上连续, 则积分上限的函数 在x处可导，且 。 定理1也叫原函数存在定理（因为它表明：当f(x)在[a ,b]上连续时，f(x)存在原函数 ） 不定积分与定积分的关系： 例1 求

  7. 例2 求 二、牛顿-莱布尼兹公式 定理2（微积分学基本定理） 若F(x)为连续函数f(x)在区间[a ,b]上的一个原函数，则 此公式称为微积分学基本公式，或牛顿-莱布尼兹公式。 也记作 例3 计算

  8. 例4 计算 例5 计算 例6 计算 。其中 例7 计算由曲线y=sinx , x轴和直线x=0, x= 所围成的图形面积A y 1 O x -1

  9. 例8 一辆汽车开动t秒时的速度是v(t)=4t3米/秒。问：（1）开动3秒后车速是多少？（2）前3秒内汽车走了多远？

  10. 布置作业： P182: 5. 6. 7. P187: 1. 3. 4. 5. 6. 7. 8(2)(3)(5)(10)

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