Площі фігур

1. Площі фігур Дидактичний матеріал до уроку геометрії з досвіду роботи вчителя математики Снов“янської ЗОШ І – ІІ ст Чернігівського району Чернігівської області Колько Н.М.

2. Геометрія - це наука про властивості фігур • Геометрія – слово грецьке, означає «землемірство»

3. З давніх часів обчислювання площ було одним з найважливіших застосувань геометрії. У Стародавньому Єгипті заплави річки Нілу землероби почали обробляти приблизно в п’ятому тисячолітті до н.е. Тоді і виникла потреба в обчисленні площ. На підставі документів, що дійшли до нас, вже у Х Υ – ХΥІ ст. до н.е. єгиптяни вміли вимірювати площі прямокутника, трикутника і трапеції за відомими тепер правилами. Обчислення площі або поверхні фігури називається « квадратурою», що в перекладі з латинської означає надання квадратної форми. У стародавніх єгиптян квадратура якоїсь фігури зводилася до побудови квадрата, що мав таку саму площу. Звідси зрозуміле походження слова «квадратура».

4. Геометрична фігура проста можна розбити Скінченну кількість плоских трикутників Площа Додатна величина Числове значення якої має властивості Рівні фігури Якщо фігура розбивається Площа квадрата Сторона дорівнює одиниці вимірювання Мають рівні площі На частини , що є простими фігурами Дорівнює одиниці То площа фігури = сумі площ її частин Поняття площі

5. Плоским трикутником називають скінченну частину площини, обмежену трикутником

6. Геометричну фігуру називатимемо простою, якщо її можна розбити на скінченну кількість плоских трикутників.

7. Площа – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості: • рівні фігури мають рівні площі; • якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; • площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці.

8. За одиницю вимірювання площ приймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці вимірювання відрізків.

9. 1 мм 2– площа квадрата зі стороною 1 мм • 1 см 2 – площа квадрата зі стороною 1 см • 1 дм 2– площа квадрата зі стороною 1 дм • 1 м 2 – площа квадрата зі стороною 1 м • 1 ар - площа квадрата зі стороною 10 м, • 1 гектар – площа квадрата зі стороною 100м

10. Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони S = a 2 Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі S = d2 Квадрат

11. Площа прямокутника дорівнює добутку його сусідніх сторін S =a b Площа прямокутника дорівнює половині квадрата його діагоналі , помноженій на синус кута міжними S =d2 sin φ Прямокутник

12. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до неї S = a hа S = b hв Площа паралелограма дорівнює добутку його сторін на синус кута між ними S = a b sin α Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними S =d1 d2 sinφ Паралелограм

13. Площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними S =d1 d2 sinφ Площа чотирикутника , в який можна вписати коло, дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола S = p r Площа чотирикутника, навколо якого можна описати коло, знаходиться за формулою S = Півпериметр р = (a +b + c + d ) Чотирикутник

14. Площа ромба дорівнює добутку його сторону на висоту S = a h Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей S =d1 d2 Площа ромба дорівнює добутку квадрата його сторони на синус кута ромба S = а2 sin α від грецького «ромбос» - бубон ( у стародавні часи цей ударний музичний інструмент мав форму ромба). Ромб

15. Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту S =( a + b)h Площа трапеції дорівнює половині добутку її діагоналей на синус кута між ними S =d1 d2 sinφ Площа рівнобічної трапеції, діагоналі якої перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти S = h2 Трапеція

16. Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони S = a hа S = b hв Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними S =bсsin α Формула Герона Площа трикутника виражається через добуток його сторін та радіус описаного кола Трикутник

17. Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра на радіус вписаного кола S= pr Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів S =a b Площа рівностороннього трикутника виражається через його сторону Трикутник

18. Герон Александрійський ( мабуть І ст. н.е.) – давньогрецький математик – енциклопедист, який працював в Александрії. Праці його мали головним чином прикладний характер. Він був видатним механіком, його навіть називали « Герон – механік». У творах « Пневматика» і «Механіка» описав автомат для відкривання дверей, автомат для продажу «священної води», пожежний насос тощо. Багато уваги Герон приділяв питанням геодезії і практичному застосуванню геометрії. У кращій з математичних праць «Метрика», він виклав практичні правила для обчислення площ та об’ємів геометричних фігур, які застосовували давньогрецькі, римські та середньовічні землеміри і техніки.

19. Формула Герона красива, симетрична, зручна, легко запам’ятовується, справжня формула – красуня! Цікава й історія її творення. Називають її ім'ям Герона Олександрійського (Старшого) не зовсім заслужено, бо вперше відкрив і обґрунтував її Архімед. А Герон тільки через чверть тисячоліття після того вмістив її у своїй праці «Метрика». Тому справедливіше було б називати її формулою Архімеда або принаймні Архімеда – Герона. Отже, про формулу Герона можна було б написати цілу поему. • Формула Герона досить корисна, бо за її допомогою можна розв’язувати багато цікавих і важливих задач. І все таки користуватися нею бажано тільки тоді, коли вона справді доцільна.

20. С В А D К N Задача Знайти площу трапеції, у якої паралельні сторони 20 см і 60 см, а непаралельні – 13 см і 37 см

21. І спосіб За формулою Герона S KCD = 240 (см 2) S KCD = KD·CN, KD = 60 – 20 = 40 (см), CN = 12 (см) За формулою площі трапеції S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2). • Відповідь: S = 480 (см2).

22. ІІ спосіб З трикутника CKD за теоремою косинусів CD2 = CK2 + KD2 – 2 CK · KD cos < CKD знайдемо cos < CKD = cos α і sin α. тоді CN = CK sin α. CN =12 (см). За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2). • Відповідь: S = 480 (см2).

23. ІІІ спосіб • Нехай КN = х, тоді ND = 40 – х. Для ∆ CKN і ∆ CND застосуємо теорему Піфагора і знайдемо CN : CN 2 = 132 – х2, CN2 = 372 – (40 -х)2 . З рівняння 132 – х2 = 372 – (40 -х) 2 х = 5, CN =12 (см) . За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2). • Відповідь: S = 480 (см2).

24. ІУ спосіб • Продовжимо АВ і СD до перетину в т. О. ∆АОD ˜ ∆ВОС (за кутами ). Тоді OD =1,5 ∙ 37 = 55,5 (см), ОА =1,5 ∙13 = 19,5 (см). За формулою Герона знайдемо SAOD= 540 (см2). SABCD= SAOD. SABCD=480 (см2). • Відповідь: S = 480 (см2).

25. M B C L N А D O R G F P Задача Один веселий кулінар зробив торт у вигляді правильного шестикутника АВСDFG . Після цього він перетворив його у круглий торт, з’ївши залишки. Поміркувавши, він вирішив, що попередня форма торта була кращою, і , знову з’ївши залишки, отримав нарешті правильний шестикутник LMNOPR . Яку частину початкового торта з’їв кулінар?

26. Вчитись можна тільки весело. Щоб перетравити знання, треба поглинати їх з апетитом! Анатоль Франс