1.1. Matematička logika

2. 1.1. Matematička logika • Osnovno sredstvo sporazumjevanja medu ljudima je jezik, Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr, slikarski, muzički, obični (govorni) i književni jezik, Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika, • Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomoću koga se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorječenosti, Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj, jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici. • Najsličniji maternatičkom jeziku su govorni i književni (pisani) jezik, Osnovu ovih jezika čini glas, slovo, riječ i rečenica, Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi (riječi) ili termini, Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenljive. • Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj, veličine kojima se vrijednost ne mijenja, npr, -S; 0; 2; 2/3; 5; ; π; e ... • Promjenljive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa, Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenljive, Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih.

3. Primjer1.) x,y,z,a,b,c,...,α,A suoznakezapromjenljive 2.) n je oznakazaprirodanbroj, Vrijednostipromjenljive n sukonstante1,2, … Složenimatematičkiizrazi se dobijajukad se konstante I promjenljivepovežusimbolima ( oznakama) zaračunskeoperacije, kaoštosunpr, +, -, ·, : , Priformiranjuslođenihizrazadozvoljena je I upotrebazagrada, s timdaizrazimasmisla. Primjer 1,) izrazisu: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y I sl, 2,) nisuizrazi: 2+, x(y+) I sl, Dakle, izrazi su riječi ili sklopovi riječi koji ne čine rečenicu, Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od više promjenljivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomoćnih simbola, Viijednost matematičkog izrazi je konstanta koja se dobije nakon što se u izrazu svi simboli promjenljivih zamjene odgovarajućim vrijednostima (konstantama) i izvrše naznačene operacije. Matematičke formule su rečenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne može, nedvosmisleno i jednoznačno, utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve važe ovi principi: • principi uključenja trećeg, što znači da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit, • princip kontradikcije, što znači da nema iskaza koji je i istinit i neistinit. • Primjer • Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 4<1+2, 2+3=7, x+x=2x, x+x=3x za x#0, x+2=5 za x=3, x+2=5 za x=8, x+y=y+x i si,

4. Nisu iskazi formule: x+2=5, x+y=z, x+x=3x i si, jer nisu definisane vrijednosti promjenljivih njima, pa se ne može nedvosmisleno i jednoznačno utvrditi da li su tačne ili netačne, • Iskazi su i ove rečenice: Južna i Zapadna Morava se spajaju i grade Moravu; Subotica je grad sa najviše stanovnika u Jugoslaviji, prema popisu od 1981, godine, • Nisu izkazi rečenice: Broj 2 je zelen; Ekononomija je slatka; Misuniverzum je najljepša žena na svetu, i si, Prve dve rečenice nemaju smisla, dok se za treću ne može pouzdano (nedvosmisleno) utvrditi vrijednost istinitosti, jer je ljepota stvar ukusa, tj, za nekoga je Misuniverzuma najljepša a za nekoga nije, • Matematičke formule koje sadrže promjenljive kojima vrijednost nije definisana i za koje se zbog toga ne može jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne forme, iskazne funkcije, ili predikati, Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenljivih uvrste konstante, tj, vrijednosti promjenljivih, Za predikate sa jednom, dve, tri, itd, promjenljivih se kaže da su dužine: jedan, dva, tri, itd. • Predikati su ove formule: x+2=5, x>5, x+y=z, x+x=3x i sl. • Svaki iskaz se može obilježiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi, p, q, r, s, a, b,,,,

5. Ako je neki iskaz p tačan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti označava ovako: τ p=T ili τp=1 (čitaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina), • Ako je p netačan (neistinit, lažan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, piše se ili τp= ili τp=0 (čitaj: tau od p jednako ne te ili nula), • U matematici se tačan iskaz naziva stav, • Iskaz je prost ako sadrži samo jednu informaciju, • Dva ili više prostih iskaza povezanih znacima logičkih operacija tvore složeni iskaz, Osnovni medu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije ┐, koja se odnosi na jedan iskaz, U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih složenih iskaza, • Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (čitaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita, • Tablica vrednosti istinitosti za konjukciju za sve moguće varijante vrijednosti istinitosti iskaza piq: ili kraće • Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (čitaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (uključiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita.

6. Eksluzivna (isključiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (čitaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit. • Tablica vrijednosti istinitosti za disjunkciju: • Pod izrazom "disjunkcija" najčešće se podrazumjeva inkluzivna, pa je u slučaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti, • Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se može čitati ovako: • p implicira q, • iz p slijedi q, • p je dovoljan uslov za q, • q je potreban uslov za q, • p je uzrok za q, a q je posljedica p, • p je predpostavka, a q je tvrdnja,

7. Tabla istinitosti za implikaciju: • Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosri istinitosti, p q se može čitati ovako: • p je ekvivalentno sa q, • iz p slijedi q i iz q slijedi p, • ako je p onda q i obratno, • p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd, Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju: Ekvivalencija iskaza p i q se može definisati i kao konjunkcija implikacija p =>q i q=> p, tj, važi:

8. Negacija datog iskaza p je iskaz ┐ p (čitaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno, Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju: • Napomena • ┐(┐ p)=p, tj, negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednošću istinitosti kao što je ima dati iskaz, • ┐ ( p q ) = p q i ┐ ( p q ) = p q, tj, negacijaekvivalencije je ekskluzivnadisjunkcijaiobratno. • Dakle, vezivanjem prostih iskaza, označenih iskaznim slovima p, q,,,,,pomoću znakova logičkih operacija dobili smo složene iskaze, Vezujući ove složene iskaze pomoću znakova logičkih operacija dobijamo još složenije, Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logičke formule. • Uobičajeno je da se iskazne formule definišu ovako: • Iskazna slova su iskazne formule, • Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A Λ B), (AvB), (A =>B), (AB), ┐a takođe iskazne formule, • Iskazne formule mogu se obrazovati samo konačnim brojem primjena 1) i 2), uz mogućnost korišćenja konvencije o brisanju zagrada.

9. Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj. • Iskazna formula koja je istinita za svaku moguću varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija, Ako je iskazna formula tautologija piše se: A=T ili A ≡ T ili A~T. • Dvije formule A i B su identički jednake ako i samo ako je formula AB tautologija. • Ako se kvantitativno želi izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici). • Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za svako", onda se riječi "za svako" označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor). • Formula (  x A) P(x) znači: za svako x iz skupa A predikat P(x) je tačan. • Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove riječi označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor). • Formula ( xA) P(x) znači: predikat P(x) je tačan za bar jedno x iz skupa A. • U vezi s kvantorima, pored ostalih, značajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) računa: • ┐( x) P(x)  ( x) ┐P(x) ; ┐( x) P(x)  ( x) ┐P(x)

10. Kvantori, zajedno sa riječi i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih riječi pomoću kojih se u matematici polazeći od izvjesnih rečenica, grade nove složene rečenice. • Na kraju ovog poglavlja dajemo objašnjenje nekih značajnijih pojmova u vezi s rasuđivanjima i dokazivanjima u matematici. • Definicija je rečenica, ili skup rečenica, kojom se određuju sadržina nekog pojma. • Pojam je misaoni sadržaj termina ili simbola, Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove, Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objašnjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, tačka), Izvedeni pojmovi su oni koje objašnjavamo pomoću osnovnih i drugih izvedenih pojmova. • Pretpostavke (hipoteze) su rečenice (formule) od kojili se polazi, kao taćnih u nekom rasuđivanju. • Posljedice su rečenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logičkim rasuđivanjem i zaključivanjem. • Aksiome su polazne rečenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tačne i čija se istinitost ne dokazuje. • Teoreme su izvedene (dokazane) rečenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvrđenjima. • Dokaz je put logičkog rasuđivanja i zaključivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili već dokazana teorema.

11. 1.2. Skupovi • Skup (mnoštvo, množina) je jedan od osnovnih pojmova u matematici, te se stoga ne definiše, Skup čine njegovi elementi, Pojam elemenata je takode jedan od osnovnih pojmova u matematici. • Ako je npr. a elemenat skupa S, onda pišemo a S (čitaj: a je elemenat skupa S, ili a pripada skupu S), Ako a nije elemenat skupa S, onda pišemo a S. • Skup se određuje nabrajanjem (enumeracijom) svih njegovih elemenata ili navođenjem osobina koje posjeduju svi njegovi elementi, Skup se može prikazati i na tzv, Venovom dijagramu, tako što se svi njegovi elementi predstave tačkama unutar jedne zatvorene linije, pri čemu se tačke ne moraju prikazati, već se može pretpostaviti da su u dijagramu. • Primjer Skupprvihšest prirodnih brojeva se može predstaviti na sva tri pomenuta načina: 1. Nabrajanjem datih elemenata datog skupa: A = {1,2,3,4,5,6}, ovaj način se naziva i tabelarno notiranje skupa, 2. Navođenjem osobina koje posjeduju svi elementi datog skupa: A ={x|x<7, x N, ovaj način se naziva i sintetičko notiranje skupa, (čitaj: A je skup elemenata x sa osobinama x < 7 i x elemenata skupa prirodnih brojeva ),

12. 3. Venovim dijagramom: • Skup koji nema elemenata je prazan (vakantan) i označava se saøili sa {ø} ili sa V (pazi: {} nije prazan skup, već skup sa jednim elementom, a taj elemenat je oznaka za prazan skup: kao što je npr, O={ø, ∆, }skup sa tri elementa, a njegovi elementi su matematičke oznake. • Neprazan skup ima konačno ili beskonačno mnogo elemenata. Opšti prikaz ovih skupova je: * A = {a1, a2,...,an}, za skup sa beskonačno mnogo elemenata; * B = {b1, b2, ...,bn}, za skup sa beskonačno mnogo elemenata. • Kardinalni (glavni ) broj skupa S pokazuje koliko taj skup ima elemenata, Npr. Za S = {a1, a2,...,an}, kardinalni broj je k(S)=n • Skupovi sa istim brojem elemenata nazivaju se ekvipotentni, dok se skupovi sa istim (istovrsnim) elementima smatraju ekvivalentnim. • Ordinarni broj elemenata ai S pokazuje položaj (redni broj - i) elementa ai u skupu S, 1. 2. se ne smije pisati A=x 3. jer su elementi prvog skupa {2} i {3} , a drugog su 2 i 3 4. {1,2} = {2,1}

13. 5. {a,a,a,b,b,c} = {a,b,c} 6. {1,1,1,1} = {1} • Za skup A kažemo da je podskup skupa B, ako i samo ako je svaki elemenat skupa A ujedno i elemenat skupa B, u oznaci A B, ("biti podskup" nazivamo inkluzija ili sadržavanje ). • Sintetički inkluziju prikazujemo ovako: Obratno čitamo: B je nadskup skupa A, • Ako je A podskup skupa B, a pri tome postoje elementi u B koji nisu sadržani u A, onda kažemo da je A pravi podskup (dio) skupa B, u oznaci A B • Ako je A podskup skupa B i obratno, onda su A i B identični (jednaki, ekvivalentni), U tom slučaju se kaže da je A nepravi podskup skupa B i obratno, tj, • Iz prethodno napisanog zaključujemo, da je svaki skup samom sebi nepravi podskup, da je prazan skup podskup svakog skupa pa i samog sebe, i da je prazan skup pravi podskup svakog nepraznog skupa. • Ako je A B, onda su A i B uporedivi i to se može prikazan Venovim dijagramima ovako (slika 1-2): SLIKA; 1-2

14. Ako A B i B A, onda su A i B neuporedivi (vidi sliku l-3), • Ako je S= ø , onda S ima 2°=1 podskup, i to: S1= ø =S, pri čemu je S1nepravi podskup skupa S, SLIKA; 1-3 Samo su neki elementi iz A ujedno i Nijedan elemenat iz A elementi skupa BI obratno nije elemenat skupa B • Ako je S={a1}, onda S ima 21=2 podskupa, i to: S1= ø , S2=(a1},=S, pri čemu je S2 nepravi podskup skupa S, • Ako je S={a1, a2},onda S ima 22=4 podskupa, i to: S1= ø, S2=(a1}, S3={a2), S4={a1, a2),=S, pri čemu je S4 nepravi podskup skupa S, • Ako je S={a1 ,a2, a3), onda S ima 23 =8 podskupova, i to: S1= ø , S2={a1), S3=(a2), S4=(a3), S5=(a1, a2), S6={a1, a3), S7={a2, a3}, S8={a1, a2, a3},=S, pri čemu je S8 nepravi podskup S. • Možemo zaključiti: ako skup ima n elemenata, tj, ako je S=(a1, a2 ,...,an), onda on ima 2n podskupova, od kojih 2n-1, pravih i jedan nepravi, • Partitivni skup skupa S je skup svih njegovih podskupova, u oznaci P(S),

15. Skup izvan koga se u datom problemu ne vrše razmatranja naziva se univerzalni ili osnovni skup, u oznaci U(x), pri čemu je x oznaka za elemente univerzalnog skupa (vidi sl, 1-4,), SLIKA; 1-4; Univerzalni skup U(x) pri čemu je S = U(x) Primjer; Ako je dat skup S = {x, {y}}, onda partitivni skup skupa S izgleda ovako; , pri čemu je; x S, ali y S, ø P(S), {x} S, {x} P(S), { {x} } P(S), itd. • Unija skupova A i B je skup, u oznaci A U B, koji sadrži sve elemente iz A i one elemente iz B koji nisu sadržani u A, tj, sadrži sve one elemente koji pripadaju skupu A ili skupu B, Sintetički prikazano:

16. Na slici 1-5 šrafirano područje predstavlja uniju datih skupova, SLIKA; 1-5 • Napomena • Primjer Ako su dati skupovi A={1, 2, 3, 4 }, B= {a, b, 2, 5, 6, 9 }, i C= { a, x, y, 1, 2, 4, 7, 8, 9}, onda je A U B U C={a, b, x, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Presjek skupova A i B je skup, u oznaci A∩B, koji sadrži zajedničke elemente skupova A, Sintetički prikazano:

17. Na slici 1-6 šrafirano područje predstavlja presjek datih skupova, Napomena SLIKA; 1-6 • 5.) Skupovi koji nemaju zajedničkih elemenata nazivaju se disjunktni skupovi; Primjer Za skupove iz predhodnog primjera važi: • Diferencija skupova A i B je skup, u oznaci A \ B, koji sadrži sve one elemente iz A koji ne pripadaju skupu B (popularno se kaže: A bez B), Sintetički prikazano:

18. Na slici 1-7 šrafirano područje predstavlja diferenciju datih skupova Napomena SLIKA; 1-7 Primjer : Akosudatiskupovi:A={a, b, c, 1}; B={1, 2, b, e, f, g} iC={a, c, x, y, 2, 3, 4} onda je: (A \ B) \ C = ø A\ (B \ C ) = {a, c}

19. U vezi s diferencijom se javlja i pojam komplementa, Naime, ako je A B, onda se pod komplementom skupa A u odnosu na skup B podrazumjeva skup Cb (A), koji sadrži one elemente skupa B koji ne pripadaju skupu A (vidi si, 1-7/IV), Sintetički napisano: Napomena

20. 1.3. Relacije • Skup je uređen ako je poredak njegovih elemenata utvrđen (određen), Par elemenata (objekata, brojeva) a i b za koje je određeno koji elemenat je prvi a koji je drugi po redu nazivamo uređen par ili uređena dvojka, u oznaci (a, b) pri čemu (a, b) ≠ (b, a) za a ≠b, odnosno: (a, b) = (x, y) (a=x b=y), • Elemenat a uređenog para (a, b) se naziva prva koordinata, komponenta ili projekcija, a elemenat b njegova druga koordinata, • Tri elementa a, b i c za koje je određeno koji je prvi, koji je drugi, a koji je treći, nazivamo uređena trojka, u oznaci (a, b, c) pri čemu je (a, b, c) = ((a, b), c), • Na sličan način se definiše uređena četvorka elemenata a, b, c, d, kraće (a,b,c,d)=((a, b, c), d), itd, • Uređena n-torka elemenata a1, a2,...,an, bila bi: (a,, a2,....,an) = ((a1, a2.........................an-1'), an), • Dekartov1 (Kartezijev ili direktni) proizvod nepraznih skupova A i B je skup svih uređenih parova elemenata, pri čemu je prvi u paru elemenat iz skupa A, a drugi elemenata iz skupa B, Oznaka za Dekartov proizvod je A x B (čitaj A puta B ili A krst B), pa je, u skladu s definicijom:

21. Na sličan način se definiše Dekartov proizvod tri skupa A, B, C, • Dekartov proizvod n skupova A1 A2,...,An bio bi: Primjer 1.) Za skupove A={ 1, 2, 3 } i B= { a, b, c, d } Dekartov proizvod je A x B je: A x B= { (1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d) } dok je : B x A= { (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3) } Napomena: A x B ≠ B x A za A ≠ B 2.) Za skupove A= { 1, 2, 3 } i B= { x, y } i C= { a, b, c } Dekartov proizvod je A x B x C biće:  A x B x C = { (1, x, a), (1, x, b), (1, x, c), (1, y, a), (1, y, b), (1, y, c), (2, x, a), (2, x, b), (2, x, c), (2, y, a), (2, y, b), (2, y, c), (3, x, a), (3, x, b), (3, x, c), (3, y, a), (3, y, b), (3, y, c) } • Uređene trojke ovog Dekartovog proizvoda se mogu odrediti i uz pomoć tzv, granastog dijagrama (sl 1-8) • Dekartov proizvod skupa A samim sa sobom naziva se Dekartov kvadrat skupa A, tj; A x A = A2

22. Slično je i A x A x A = A3 , itd. pa je i: A1 x A2 x ,..., x An = An , za A1 = A2 = ,..., = An = A Primjer 1.) Za skup A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c) } 2.) Za skup A = { 1, 2 } biće; A x A x A = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1,2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } Uređen par se može i grafički predstaviti kao na slici 1-9. SLIKA; 1-8

23. SLIKA; 1-9 • Dekartov proizvod se grafički može predstaviti kao na slici 1-10 ili 1-11, Npr. za A = {1, 2, 3 } i B = {a, b } biće: SLIKA; 1-10 SLIKA; 1-11 • Grafički prikazi na si, 1-11 su tzv, koordinatne slike skupova A x B i B x A, Dekartov koordinatni sistem je jedna slika Dekartovog proizvoda R x R rj, proizvoda skupa svih realnih brojeva sa skupom brojeva.

24. Svaki neprazan podskup Dekartovog proizvoda nazivamo relacija, Ako je riječ o Dekartovom proizvodu n skupova A1x A2 x ,…, x An onda za svaki podskup takvog proizvoda kažemo da je n—arna relacija ili relacija dužine n, Specijalno za n=1 radi se o tzv, unarnoj relaciji, tj, o relaciji dužine 1. • Za izučavanje matematike posebno su značajne tzv, binarne ili dvojične relacije, tj, relacije dužine 2,-koje su i najbliže našoj intuitivnoj predstavi o relacijama. • Dakle, svaki podskup p Dekartovog proizvoda skupova A i B, tj, p c: A x B, nazivamo binarna relacija, binarno pridruživanje, binarna korespondencija ili relacija dužine 2, pri čemu je p oznaka za relaciju, ali i za pravilo (ili skup pravila) po kome vršimo odabir uređenih parova iz Dekartovog proizvoda radi formiranja relacije. Npr, za p={(x, y) | x + y = 8; x,y e (1,2,3,5,6,7,8,9)} pravilo glasi: od uređenih parova skupa {(1,1),(1,2)(1,9),(2,1),(2,2),(2,9),...,(9,1),(9,2),...,(9,9)} formirati skup uređenih parova takvih da zbir njihove prve i druge komponente bude 8, pri čemu se obe komponente uzimaju iz skupa {1,2.9).Tako u navedenom primjeru relacija p glasi: {(1,7), (7, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)). • Za ilustracije u obrazovnom procesu ovaj odabir može biti i proizvoljan bez posebnih pravila koja imaju konkretni smisao, jer je relacija bukvalno bilo koji podskup Dekartovog proizvoda.2

25. Ako je p A x B, onda za p~'={(y, x) | (x, y) e p) kažemo da je inverzna relacija relacije p, tj. p"' C B x A, pri čemu je: ako je p = A x B onda je o~' = B x A, Ako je p c A x A, tj, p c A\ onda se kaže da je p binarna relacija u skupu A, a ako je p = A x A, onda se kaže da je p binarna relacija na skupu A. • Ako je (x, y) e p, onda se kaže da je x u relaciji sa, y ili su x i y u relaciji p, i to se označava sa x p y, tj, važi (x,y) e poxpy, Ako x nije u relaciji p sa y, onda se to označava sa 1 (x p y). • Skup svih prvih koordinata relacije p naziva se oblast definisanosti ili domen relacije p i može se označiti sa Dp. Skup svih drugih koordinata relacije p naziva se oblast vrijednosti, antidomen ili kodomen relacije p, i može se označiti sa Dp. • S obzirom da se binarne relacije najčešće koriste, to se dogovorno može podrnzumjevati kada se kaže relacija da se misli na binarnu, a kada se misli na neku drugačiju to treba naglasiti. Primjer 1.) Za skupove A = {1, 2, 3 } i {a, b, c, d } moguće binarne relacije p A x B su npr; Relacija je i ρ = A x B

26. Nije relacija skup {(1, a), (b, 2) } jer nije podskup skupa A x B ( a nije ni skupa B x A ), Inverzne relacije navedinih relacija bi bile: 2.) Za skup A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } moguće je formirati, između ostalih, sledeće relacije: ρ1 ={ (x, y) | x=y } = {(1, 1), (2 2), ,,,, (8, 8) }; ρ2 ={ (x, y) | x je djeljiv sa y } = { (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4,2), (4,4),(5,1),(5,5), (6, 1), (6, 2), (6,3), (6,6), (8, 1), (8, 2), (8, 4), (8, 8) } ρ3 ={(x, y) | x2 =y }= {1, 1), (2, 4) } ρ4 ={(x, y) | x + y = 8} = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) } Binama relacija p A x A može da posjeduje sledeće osobine: • Refleksivnost, ako je ispunjen uslov ( x A)(x ρ x), odnosno (x A)(x, x) ρ ), • Simeričnost, ako je ispunjen uslov (x A)(x ρ y =>y ρ x), odnosno ( x1y A){(x, y) ρ =>(y, x) ρ}, tj, važi ρ -1 = ρ • Tranzitivnost, ako je ispunjen uslov ( x,y, z A)(x ρ y y ρ z => x p z) tj, ( x, y z A){(x, y) ρ (y, z) ρ => (x, z) ρ},

27. Antisimeričnost, ako je ispunjen uslov ( x, y z A)(x ρ y y ρ x => x=y) tj. ( x, y A){(x, y) e ρ (y, x) ρ =>x=y}, pri čemu važi p p-1(x, x) | x A) • Binarna relacija ρ u skupu A koja posjeduje osobine refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti naziva se relacija ekvivalencije. Primjer • U skupu A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} je definisana relacija x ρ y x ≡ y (mod 3), tj, x je kongruentno (saglasno, slično, podudarno) sa y po modulu 3, jer pri dijeljenju sa 3 daju isti ostatak,3 Koje osobine ima ova relacija? Riješenje: P={(1,1), (1,4), (1,7), (2,2), (2,5), (2,8), (3,3), (3,6), (4,1), (4,4), (4,7), (5,2), (5,5), (5,8), (6,3), (6 6), (7,1), (7,4), (7,7), (8,2), (8,5), (8,8)), tj, grafički (sl. 1-12) SLIKA; 1-12

28. Refleksivnost - Lako se uočava da je p refleksivna relacija, jer je svaki elemenat skupa A u relaciji sa sobom. • Simetričnost - ρ je simetrična relacija jer se primjećuje da kad god je neki elemenat u relaciji sa drugim onda je i obratno, tj. ne postoje jednosmjerne veze. Ne predstavlja prepreku čak ni činjenica da između nekih elemenata ne postoji veza. tj. da nisu u relaciji. Provjera: • Tranzitivnost - ρ je tranzitivna relacija, što se zaključuje nakon provjere različitih situacija, npr. • Antisimetričnost - Zaključujemo da ρ nema osobinu antisimetričnosti, što se lako potvrđuje navođenjem bar jednog primjera npr. • Prema tome, ρ je relacija ekvivalencije jer posjeduje osobine refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti. • Ako je ρ relacija ekvivalencije u skupu A, onda svaki podskup elemenata A, koji su međusobno svaki sa svakim u relaciji, ρ, čini klasu ekvivalencije Cx . U prethodnom primjeru klase ekvivalencije su: (1, 4, 7}, {2, 5, 8), (3, 6). Ovdc su elementi skupa A razvrstani u tri klase (vrste).

29. Bilo koja dva elementa u jednoj klasi su u relaciji i nema dva elementa različitih klasa koji su u relaciji. Dakle, klase ekvivalencije su međusobno disjunktni skupovi. • L nija svih klasa ekvivalencije je skup A, dok se skup svih klasa ekvivalencije naziva količnički skup ili particija (skupa A i njegove relacije ekvivalencije), u oznaci A/ ρ ili A/~-1 Za posmatrani primer, bice: A/~=( (1, 4, 7), {2. 5, 7), (3, 6}}. • Binarna relacija ρ u skupu A koja posjeduje osobine refleksivnosri, antisimetrinosu i tranzitivnosti naziva se relacija poretka. Takva je npr. skupovna inkluzija, jer važi: • Relacija ≤je takode relacija poretka. Ako je ≤ relacija poretka za skup A, onda se kaže da je skup A uređen relacijom ≤. • Ako je ρ relacija poretka za skup A i ako su relacijom ρ uporediva bilo koja dva njegova elementa, onda se kaže da je A potpuno, totalno ili linearno uređen i naziva se lanac. Ako su uporedivi samo neki elementi skupa A, onda se kaže da je A djelimično ili parcijalno uređen relacijom ρ . Potpuno uređeni su npr. skupovi brojeva N, Z, Q i R, relacijom ≤. Primjer. U skupu A je definisana relacija ≤, tj. ρ= {(x, y) | x ≤ y ; x, y A Ovu relaciju predstavlja slijedeci skup uredjenih parova; ρ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4) }. Graficki prikazano ρ izgleda ovako (sl. 1-13 ) SLIKA; 1-13

30. Ova relacija je refleksivna, jer je svaki elemenat skupa A u relaciji sa sobom. Ova relacija je antisimetrična jer , y A za koje je xρy yρx važi da je x=y, npr. Međutim tačna je i slijedeća formula: Ova relacija je i tranzitivna jer zadovoljava uslov: Prema tome. data relacija je relacija poretka. • U određenim slučajevima posmatrana relacija može istovremeno biti i relacija ekvivalencije i relacija poretka. Primjer U skupu A={1, 2, 3 } definisana je relacijaρ={(x, y) | x=y, x, y A } Ovu relaciju predstavlja slijedeci skup uredjenih parova; ρ={(1, 1), (2, 2), (3, 3) } • Ova relacija je refleksivna jer je svaki elemenat skupa A u relaciji sa sobom SLIKA; 1-14

31. Ova relacija je simetrična što dokazujemo slijedećom tabelom: Pošto je formula x ρ y => y ρ x tantologija zaključujemo da je ρ simetrična relacija. • Osobina simetričnosti se može ispitati i ovako: Pošto je tablica simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu, zaključujemo da je ρ simetrična relacija. • Tabelarno možemo provjeriti i postojanje osobine tranzitivnosti: Pošto je formula x ρ y y ρ z => x ρ z tautologija, zaključujemo da je ρ tranzitivna relacija a zatim i da je ρ relacija ekvivalencije.

32. Tabelarno možemo provjeriti i postojanje osobine antisimetričnosti. Pošto je formula tautologija, zaključujemo da je ρ antisimetricna relacija, a zatim da je i relacija poretka. • U vezi s relacijama javljaju se i slijedeći pojmovi: • Komplement relacije ρ A x B je skup uređenih parova ρ = A x B\ ρ • Ako je ρ1 A x B i ρ2 B x C onda se nova relacija ρ1oρ2 A x C naziva kompozicija ili proizvod relacijaρ1 i ρ2, tj. - ρ1oρ2={(x,z) | ( y) {(x,y) ρ1(y, z) ρ2 )}

33. Primjer • U prethodnom primjeru komplement relacije ρ je: ρ =((2,1), (3,1), (3,2), (4,1),(4,2),(4,3)) • Date su relacije ρ1={(x,y) | x, y A; y=2x} i ρ2=((x,y) | x, y A; y=x + 3) u skupu A={1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9, 10). Odrediti ρ1op2. Rješenje:

34. 1.4. Preslikavanja • Binarna relacija skupova A i B u kojoj se svaki x A javlja samo jedanput kao prva komponenta u paru, naziva se preslikavanje ili funkcija, u oznaci ƒ : A B ili ƒ je oznaka za operator preslikavanja (funkcije) i predstavlja zakon, postupak ili pravilo ( odn. skup pravila) po kome se svakom elementu skupa A pridružuje (dodeljuje ili korespondira) jedan i samo jedan elemenat skupa B, tj. znači; postoji tačno jedan. • Ako je (x,y) ƒ, x A, y B, onda se x kao prva komponenta naziva original, argument ili nezavisna promjenljiva, a y= ƒ(x) kao druga komponenta se naziva slika (lik) funkcija ili zavisna promjenljiva. • Skup svih originala x predstavlja oblast definisanosti, definicioni skup ili domen funkcije, u oznaci Df, pn čemu je Df= A. Skup svih slika y=f(x) predstavlja skup vrijednosti funkcije, antidomen ili kodomen funkcije, u oznaci Df, pri čemu . • Ako je f: A→B i , onda je riječ o tzv. preslikavanju skupa A u skup B, u oznaci f: A B , a ako je , onda je riječ o preslikavanju skupa A na skup B, poznatom pod nazivom sirjekcija, u oznaci f: A B .

35. Ako je f: A→B i ako različitim originalama odgovaraju uvek različite slike, tj. ako važi: • onda se radi o jednoznačnom preslikavanju, ili 1-1 preslikavanju, ili injektivnom preslikavanju, koje kraće nazivamo injekcija i označavamo sa • Ako je sirjekcija, tj. preslikavanje f: A B, ujedno i injekcija, onda se takvo preslikavanje naziva bijektivno, biunivokoili obostrano jednoznačno preslikavanje, poznato pod nazivom bijekcija, u oznaci: • Preslikavanje f: R→R naziva se realna funkcija • Primjer 1.) Za A= {1, 2, 3} i B= {a, b, c, d} važi A x B = {(1, a), (1,b), (1, c), (1,d), (2, a), (2,b), (2, c), (2,d), (3, a), (3,b), (3, c), (3,d) } Binarne relacije su npr. • Od ovih relacija: ρ1 nije preslikavanje jer D ρ1 = {1, 2} ≠ A, tj. D ρ1 A; p2 i ρ3 nisu preslikavanja jer se 1 A kao prva komponenta javlja dva puta i tako daje različite slike; p4 je preslikavanje: f: AB ali nije injektivno; ρ5 je injektivno preslikavanje, tj.

36. Za A= {1, 2, 3, 4} i B= {a, b, c, } važi A x B = A x B = {(1, a), (1,b), (1, c), (2, a), (2,b), (2, c), (3, a), (3,b), (4, a), (4,b), (4, c) }  • Binarne relacije su npr. ; • Od ovih relacija ρ3 i ρ4 su preslikavanja, i to ali nije injektivno; , ali nije bijektivno.   • Za A= {1, 2, 3} i B= {a, b, c, } važi A x B = {(1, a), (1,b), (1, c), (2, a), (2,b), (2, c), (3, a), (3,b), (3, c)} Od ovih relacija ρ3 , ρ4 ,ρ5 su preslikavanja, i to;

37. Napred su preslikavanja prikazana skupovno, međutim, mogući su i slijedeći načini njihovog prikazivanja: Primjer 1.)f: {1, 2, 3 } → { a, b, c }= {(1, b), (2, c), (3, a) } se može prikazati i ovako (sl. 1-15): SLIKA; 1-15 ili tabelarno, ovako: ili f = ili u koordinatnom sistemu (sl. 1-16 ) SLIKA; 1-16 ili analitički ovako: f (1) = b, f (2) = c, f (3) = a 2.) , se može prikazati i ovako: analitički kao y = f (x) = 2x, x N, ili tabelarno ovako: f = , odnosno ovako: ili grafički, u koordinatnom sistemu, ovako ( sl. 1-17 )

38. SLIKA; 1-17 3.) Ako bi bilo y=f(x)=2x, x R, onda bi grafički prikaz bio u obliku linearne funkcije (sl. 1-18 ) SLIKA; 1-18

39. Uopšteno posmatrano, za y=f(x)= {(x1, f(x1 )), (x2 , f(x2 ),...}moguć je tabelarni prikaz, ovako: ili ovako: ili šematski prikaz , ovako (sl. 1-19): SLIKA; 1-19 SLIKA; 1-20 Ili u koordinatnom sistemu, ovako (sl. 1-21 ): Neka su data preslikavanja: f: A → B i g: B → C onda se preslikavanje f o g = h : A→ C naziva proizvod, kompozicija ili slaganje preslikavanja f sa preslikavanjern g, tj. : Napomena g o f ≠ f o g, čak je moguć slučaj da postoji f o g, a ne postoji g o f ili obratno. SLIKA; 1-21

40. Primjer 1.) Neka je: f(x)=5x + 1, g(x)=-2x - 5, h(x)=-3x + 2, tada je: (fog)(x) = g(f(x)) = g (5x +1) = -2(5x + 1) -5 = -10x - 7, dok je ((fog)oh) (x) = h (g (f(x)) = h (-10x - 7) =h(-10x - 7) = -3 (-10x-7) + 2 = 30x + 23. Do istog rezultata se dolazi i ovako: (goh)(x) = h(g(x)) = h(-2x -5) = -3 (2x -5) + 2 = 6x + 17, dok je: (fo(goh)) (x) = (goh) (f(x)) = (goh) (5x + 1) = 6 (5x + 1) + 17 = 30x + 23 = h(g(f(x))). • Ako je ƒ bijektivno preslikavanje, tj. , onda se preslikavanje naziva inverzno preslikavanje preslikavanja ƒ, koje zadovoljava uslov: Ako je onda važi 2.) Neka je A = {1, 2, 3} i neka je 3.) Neka je , tada će biti:

41. 5.) Neka je , tada će biti: • Napomena Međusobno inverzne funkcije imaju zamjenjene koordinate u uređenim parovima, pa, ako se grafički predstavljaju u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu imaju simetrične dijagrame u odnosu na pravu koja ide kroz sredinu I i III kvadranta, tj. u odnosu na pravu y=x.

42. 1.5. Operacije i algebarske strukture • Preslikavanje f skupa An u (ili na) skup A, tj. f : An→ A, naziva se operacija dužine n ili n-arna operacija. • Ako je n=1, onda se radi o operaciji dužine 1 ili o tzv. unarnoj operaciji, tj. o preslikavanju f: A → A. Takva je npr. operacija • Ako je n=2, onda se radi o operaciji dužine 2 ili o tzv. binarnoj operaciji, tj. o preslikavanju f: A2→ A, odnosno f:A x A→A. • Ako je n=3, onda se radi o operaciji dužine 3 ili o tzv. ternarnoj operaciji, tj. o preslikavanju f : A3→A, odnosno f: A x A x A→A. • Dalje će uglavnom biti riječi o binarnim operacijama, pa će se pod pojmom operacija pre svega podrazumjevari binarna operacija. Primjer 1.) Dat je skup A={1, 2). Za ovaj skup Dekartov proizvod A2 glasi: A x A= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}  Moguće binarne operacije su:  f1: A x A→ A={((1,1), 1), ((1,2), 1), ((2, 1),1), ((2. 2)1)) ili f2; A x A → A=(((1,1), 1), ((1,2), 2), ((2, 1),1), ((2, 2)2)) itd.

43. Uređenim parovima, elementima skupa A x A u ovom primjeru, na proizvoljan način su pridruživani elementi skupa A. Moguće je zamisliti i slučaj da se ovako pridruživanje mora obavili po određenom zakonu ili pravilu (vidi slijedeći primer). 2.) Dato je preslikavanje (operacija) f: N x N → N={(1,1), 2), ((1, 2), 3),…,((2, 5),7),...). Ovde je pridruživanje izvršeno po pravilu: broj 7 se pridružuje uređenom paru (2,5), tj. (2,5) → 7, odnosno f(2,5) = 7, jer je.+ 2 + 5 = 7, itd. • Da bi se operacija kao preslikavanje razlikovala od običnog preslikavanja, umjesto/se često koriste oznake, kao npr. *, o, . Ove oznake se nazivaju i operatori, a pored toga što služe kao oznake operacija, predstavljaju i skup pravila po kojima se svakom uređenom paru (x,y)AxAkao originalu, pridružuje jedan i samo jedan z A kao slika, odnosno rezultat operacije, tj. (x,y)→z , odnosno: *(x,y)=z; (x,y) AxA, z A, a može se pisati i ovako: x * y = z. • Ako se radi o operacijama koje imaju konkretno značenje (smisao), onda se *, o, zamjenjuju znacima +, -, •, :, , , => ,, , , \, i dr. Tako npr. važi: + (x,y) = x + y = z, tj. (x, y) z • (x,y) = x y = xy = z, tj. (x,y)z • Operacije mogu biti zadate (definisane): • skupovno; • analitički i • Kejlijevom tablicom.

44. Primjer Za skup A = {1, 2, 3, 4, 5} definisana je operacija u analitičkom obliku kao x*y = x + y-5. Skupovno se ova operacija može prikazati ovako: x * y = {((1,1),-3), ((1,2),-2),…, (5,5), 5))}. - dok se tzv. Kejlijevom tablicom može prikazati ovako: • Primjetimo da se u ovom primjeru kao rezultati operacije pojavljuju i brojevi koji nisu elementi datog skupa, a da definicija operacije podrazumjeva tzv. zatvorenost skupa u odnosu na operaciju, tj. podrazumjeva obaveznu pripadnost rezultata operacije datom skupu. Ovaj problem se rješava tako što se ovakve operacije tretiraju kao tzv. eksterne operacije, dok definicija operacije podrazumjeva tzv. interne operacije, a eventualnu upotrebu eksterne operacije naglasiti. Primer eksterne operacije je i oduzimanje u skupu prirodnih brojeva, jer rezultat oduzimanja dva prirodna broja nije uvjek prirodan broj, ali u skupu Z (celih brojeva) oduzimanje je interna operacija. • Osobinu.zatvorenosti skupa A u odnosu na operaciju * kraće pišemo ovako: • Pored osobine (O1) zatvorenosti skupa u odnosu na operaciju, koju smo rekli da moraju posjedovati,interne operacije mogu posjedovati i sledeće osobine: • O2: Osobina asocijativnosti, tj. • O3: Postojanje neutralnog elementa, tj. • e je oznaka za neutralni (jedinični) elemenat i ako postoji mora biti jedinstven za sve elemente skupa A. Tako je npr. broj 0 neutralni elemenat za sabiranje, a broj 1 neutralni elemenat za množenje. x + 0 = 0 + x = x, x • 1 = 1 · x = x

45. Postoje slučajevi da je zadovoljen uslov e * x = x, ali ne i x * e = x, tada kažemo da e lijevineutralni ili jedinični ememenat, i obratno; ako je zadovoljen samo uslov x * e = x, onda za c kažemo da je desni neutralni elemenat. • O4: Postojanje inverznog elementa, tj. • x-1 je oznaka za inverzni elemenat, koji nije jedinstven, za sve elemente skupa A, tj. različitim elementima odgovaraju različiti inverzni elementi (ako postoje). Tako npr. broj -5 je inverzni elemenat (suprotni broj) broja 5 za operaciju sabiranja u skupu Z, jer je 5 + (-5)=-5 + 5=0; X=5, x-1=-5, e=0 • Iz činjenice da je x + x-1=0 slijedi da je x-1=-x, pa se -x koristi kao oznaka za suprotni broj broja x. • Isto tako je npr. broj 2/3 inverzni elemenat (recipročni broj) broja 3/2 za operaciju množenja u skupu Q, jer je: 3/2 • 2/3=2/3 • 3/2=1, x=3/2, x-1=2/3, e=1. • Iz činjenice da je x • x-1=1 sledi da je x-1=1/x, pa se 1/x koristi kao oznaka za recipročni broj broja x. • Postoje slučajevi da je zadovoljen uslov x-1* x = e, ali ne i uslov x * x-1= e, tada za x-1 kažemo da je lijevi inverzni elemenat elementa x, i obratno: ako je zadovoljen samo uslov x * x-1= e; tada za x-1 kažemo da je desni inverzni elemenat elementa x. • O5: Osobina komutativnosti, tj. • O6: Osobina distributivnosti za dve operacije, npr. operacije o prema operaciji *, tj.:

46. Neprazan skup i bar jedna operacija u njemu čine cjelinu koju nazivamo operacijsko-rclacijska ili algebarska struktura, u oznaci (A, *), (A o), (A,*, o). (N, +), (Q, •) i dr. • Algebarska struktura (A, *), skupa A i njegove operacije *, naziva se grupoid ako je * interna operacija skupa A, tj. ako je A zatvoren u odnosu na operaciju *. • Grupoid (A, *) čija operacija * posjeduje osobinu asocijauvnosu O2, naziva se polugrupa, semi grupa ili asocijativni grupoid. Ako * ima još i osobinu komutativnosti O5, onda se (A, *) naziva komutarivna ili Abelova polugrupa. • Polugrupa (A, *) za koju važe osobine O3 i O4, tj. u kojoj postoji jedinstven neutralni elemenat i u kojoj za svaki elemenat postoji odgovarajući inverzni elemenat, nazivase grupa. • Ako posjeduje još i osobinu kumutativnosti O5, onda se za takvu grupu kaže da je komutativna ili Abelova grupa. • Algebarska struktura (A, *, o), skupa A i dve operacije * i o u njemu, naziva se prsten, ako je operacija o distributivna prema operaciji *, ako je (A, *), Abelova grupa i ako je (A, o) polugrupa. • Prsten (A, * , o) u kome je (A, o) grupa naziva se tijelo. • Tijelo (A, *, o) u kome je (A, o) Abelova grupa naziva se polje.

47. S obzirom na mnoštvo apstraktnih pojmova, možda će njihova preglednost biti bol|a ako se prikažu tabelarno ovako: Napomena Sa je označeno postojanje odgovarajuće osobine. Primjer Ispitati algebarsku strukturu (Z, *), ako je operacija * definisana analitički ovako: x * y=x + y + 3. Rješenje: O1: Lako se zaključuje da je skup Z zatvoren u odnosu na operaciju *, jer za bilo koja dva broja a, b Z i rezultat operacije a*b = a + b + 3e Z. O2: * posjeduje osobinu asocijativnosti, jer za bilo koja tri broja a, b, c, Z važi: (a * b) * c = a *(b* c), tj. (a + b + 3)* c = a * (b + c + 3), (a + b + 3) + c + 3 = a + (b + c + 3) + 3, a + b + c + 6 = a + b + c + 6

48. O3: Ako je a Z, onda iz a * c=a slijedi: a + c + 3 = a c = -3. a iz e * a = a slijedi: e + a + 3 = a e= -3. Prema tome e = -3 Z je neutralni elemenat operacija * u skupu Z, jer za bilo koji a Z važi: a * (-3) = -3 * a = a, tj. a + (-3) +3 = -3 + a + 3 = a. O4: Ako je a Z, i e=-3 Z, onda iz a * a-1= e slijedi: a + a-1+ 3 = -3 => a-1= -a -6.a iz a-1* a = e slijedi: a-1+ a + 3 = -3 => a-1= -a -6. Prema tome za svaki a Z postoji inverzni elemenat a-1= -a -6 Z, jer važi: a * a-1= e, tj. a + (-a -6) + 3 = -3i važi: a-1 * a = e, tj. -a - 6 + a + 3 = -3. Npr. za a=5, a-1 =-5 -6=-11 Z, pa je 5*(-11)=-11 * 5=-3, tj. 5 + (-11) + 3 = -11 + 5 + 3 = -3. O5:* posjeduje osobinu komutativnosti, jer za bilo koja dva broja a, b, Z važi: a * b = b * a, tj. a + b + 3 = b + a + 3. Prema tome algebarska struktura (A, *) je Abelova grupa. Ako su (A, *) i (B, o) grupoidi i ako je f: A → B takvo preslikavanje da važi: onda se kaže da je f homomorfizam grupoida (A, *), i grupoida (B, o), tj. da je grupoid (B,o) homomorfna slika grupoida (A, *).

49. Ako je pri tome f biunivoko preslikavanje tj. onda se kaže da je f izomorfizam grupoida (A, *) na grupoid (B, o), tj. da su ova dva grupoida izomorfna.5 • Ako je A=B, onda se specijalno za homomorfizam koristi naziv endomorfizam, a za izomorfizam se koristi naziv automorfizam Primjer Date su grupe (A, *) i (B, o), pri čemu je: A={1, 2, 16, 13); B={1, i, -1, -i }; * operacija iznalaženja ostatka djeljenja proizvoda elemenata iz skupa A sa 17; o operacija množenja elemenata iz B svakog sa svakim, tj. (x * y=x o y) (x, y B) i dato je preslikavanje Da li su (A, *) I (B, o) izomorfne? Rješenje: Rezultati operacija * i o prikazuje sledeće tabele: Neposrednim uvidom u rezultate operacija * i o zaključujemo da važi: f(x * y) = f(x) o f(y), za bilo koja dva broja x, y A, pa možemo konstatovati da su (A,") i (B, o) izomorfne grupe.

50. S obzirom da su obe operacije komutativne, zadatak se može resiti i ovako: • Podaci iz posljednje dve kolone ove tabele pokazuju da za svako x, y A važi: f(x y) = l(x) o f(y).