Stabilność

1. Stabilność Stabilność to jedno z najważniejszych pojęć teorii sterowania W większości przypadków, stabilność jest warunkiem koniecznym praktycznego zastosowania systemu Interesujemy się stabilnością systemu, bo chcemy:  ustabilizować system niestabilny  uczynić „bardziej” stabilnym system stabilny Istnieje kilka możliwych definicji stabilności – większość z nich odwołuje się do pojęcia punktu/stanu równowagi

2. Dla systemów opisanych równaniem stanu System ciągły System dyskretny jest punktem/stanem równowagi, jeżeli mówimy, że punkt/stan jest stanem systemu dla pewnej chwili początkowej t0 lub k0 i pozostaje nim dla wszystkich chwil następnych przy zerowej wartości wejścia To oznacza, że spełnia równanie System ciągły System dyskretny Inaczej: system znajdujący się w stanie równowagi pozostanie w nim, jeżeli nie będzie na niego oddziaływać żadne wejście

3. Uwaga 1: Istnienie stanu równowagi dla systemu nie zapewnia jego stabilności Niestabilny stan równowagi Stabilny stan równowagi Uwaga 2: Stan równowagi a stan stacjonarny System ciągły – stan równowagi System dyskretny – stan równowagi System ciągły – stan stacjonarny System dyskretny – stan stacjonarny

4. Dla systemu liniowego stan równowagi może być znaleziony przez rozwiązanie równania System dyskretny System ciągły jest zawsze stanem równowagi systemu liniowego, ale Wniosek: stan mogą istnieć również inne stany równowagi jest jedynym stanem równowagi systemu liniowego, jeżeli Stan System dyskretny System ciągły Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Macierz jest nieosobliwa dla wszystkich wartości Taki stan równowagi nazywamy odosobnionym/izolowanym (ang. isolated) stanem równowagi

5. Jeżeli, System ciągły System dyskretny Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą jeden dla dowolnej wartości Macierz ma co najmniej jedną wartość własną równą zero dla dowolnej wartości system dynamiczny liniowy ma nieskończenie wiele stanów równowagi W takim przypadku możemy napisać, że stan równowagi spełnia równanie System dyskretny System ciągły co pokazuje, że nieskończenie wiele wektorów własnych postaci jest stanami równowagi

6. Formalne definicje stabilności podamy dla systemów ciągłych, lecz są one poprawne również dla systemów dyskretnych (zamiana czasu ciągłego t na dyskretny k Stabilność Stan jest stanem stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli dla dowolnej istnieje wartość taka, że jeżeli wówczas dla wszystkich Stan , który jest stabilny w powyższym sensie jest nazywany stabilnym wsensie Lapunowa’a Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie stabilnym Niestabilność Stan jest stanem niestabilnym równowagi dla chwili , jeżeli nie jest on stabilny

7. Ilustracja stabilności dla systemu rzędu drugiego

8. Stabilność asymptotyczna Stan jest stanem asymptotycznie stabilnym równowagi dla chwili , jeżeli jest stabilny (w sensie Lapunowa) i jeżeli istnieje wartość taka, że jeżeli wówczas Jeżeli dla stabilności w powyższym sensie wartość jest niezależna od wyboru chwili to stan to stan nazywamy jednorodnie asymptotycznie stabilnym Ilustracja asymptotycznej stabilności dla systemu rzędu drugiego

9. Podane definicje stabilności dotyczą stabilności wewnętrznej – sformułowane dla zerowych wartości wejścia Stabilność zewnętrzna - definicje Stabilność BIBO Jeżeli jakiekolwiek wejście systemu spełniające warunek (tzn. wejście jest ograniczone) dla wszystkich wywołuje wyjście systemu spełniające warunek dla wszystkich , wówczas system jest stabilny w sensie ograniczone-wejście-ograniczone-wyjście (ang. bounded-input-bounded-output, BIBO)

10. Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna - kryteria Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają niedodatnie części rzeczywiste i jeżeli wartości własne leżące na osi urojonej (mające zerowe części rzeczywiste) są jednokrotne (nie powtarzają się) Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu mają ujemne części rzeczywiste Dodatek A – przykłady zastosowania metody wartości własnych do badania stabilności

11. Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności na kryteria stabilności dla systemu liniowego stacjonarnego dyskretnego; ograniczymy się do stanu równowagi Stabilność wewnętrzna - kryteria Stabilność (w sensie Lapunow’a) Stan systemu liniowego stacjonarnego jest stabilny w sensie Lapunow’a wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu nie leżą na zewnątrz okręgu jednostkowego i jeżeli wartości własne leżące na okręgu jednostkowym są jednokrotne Stabilność asymptotyczna Stan systemu liniowego stacjonarnego jest globalnie asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne macierzy systemu leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego

12. Stabilność zewnętrzna – kryteria Przełożenie (bez dowodów) podanych warunków stabilności BIBO na kryteria dla systemu liniowego stacjonarnego ciągłego i dyskretnego Stabilność BIBO – system ciągły System ciągły liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle w lewej półpłaszczyźnie zespolonej Stabilność BIBO – system dyskretny System dyskretny liniowy stacjonarny jest opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy bieguny macierzy transmitancji leżą ściśle wewnątrz okręgu jednostkowego Dodatek B – przykład spełniania kryteriów stabilności wewnętrznej i zewnętrznej

13. Podsumowanie:  Każdy system stabilny asymptotyczne w sensie Lapunow’a jest stabilny w sensie BIBO  System stabilny w sensie Lapunow’a może być - niestabilny w sensie BIBO - stabilny w sensie BIBO  System stabilny w sensie BIBO nie musi być stabilny w sensie Lapunow’a

14. Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

15. Dodatek A

16. Przykład 1. Dany jest system dynamiczny z wartościami współczynników Zbadać stabilność wewnętrzną systemu

17. Wielomian charakterystyczny macierzy Dla przykładu Wartości własne macierzy Wnioski:  System a ma wszystkie wartości własne w lewej półpłaszczyźnie zespolonej i jest zatem globalnie asymptotycznie stabilny  System b ma jedną wartość własna na osi urojonej i jest zatem stabilny w sensie Lapunow’a  System c ma podwójną wartość własną na osi urojonej i jest zatem niestabilny

18. Wyniki symulacji System a.  Macierz nieosobliwa, zatem stan równowagi Weźmy: warunek początkowy wejście

19. Wyniki symulacji System b.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele Weźmy: warunek początkowy wejście Wektor własny związany z wartością własną ma postać gdzie, q dowolna liczba Dowolny wektor początkowy równy temu wektorowi własnemu będzie stanem równowagi Jeżeli wybierzemy inny warunek początkowy system osiągnie pewien stan równowagi zgodny z podanym warunkiem dla stanu równowagi

20. Wynik symulacji

21. Wyniki symulacji System c.  Macierz osobliwa, stanów równowagi nieskończenie wiele, brak stabilnych Weźmy: warunek początkowy wejście

22. Dodatek B

23. Stabilność wewnętrzna a zewnętrzna Przykład 2. Dany jest system dynamiczny Zbadać stabilność wewnętrzną i zewnętrzną systemu Wyliczenie wartości własnych wielomianu charakterystycznego macierzy

24. Wartości własne Wniosek: system jest niestabilny wewnętrznie Model zewnętrzny

25. Wskutek skrócenia pary biegun-zero bieguny systemu system jest zewnętrznie stabilny (BIBO – stabilny) Wyniki symulacji dla wejścia – skok jednostkowy i zerowych warunków początkowych Niestabilność stanów

26. Stabilność wyjścia