190 likes | 415 Vues
平面向量的数量积. 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义. 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 特别地,当 λ= 0 或 a=0 时 , λa=0. 定义:. 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向 量,记作 λa ,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当 λ>0 时 ,λa 的方向与 a 方向相同; 当 λ<0 时 ,λa 的方向与 a 方向相反;. 运算律:. 设 a,b 为任意向量, λ,μ 为 任意实数 ,则有:
E N D
平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
特别地,当λ=0或a=0时, λa=0 定义: 一般地,实数λ与向量a 的积是一个向 量,记作λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反;
运算律: 设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ① λ(μa)=(λμ)a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
当θ=0°时,a与b同向; O A B 当θ=180°时,a与b反向; A O B B 当θ=90°时,称a与b垂直, 记为a⊥b. b a O A 已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量a与b的夹角。 向量的夹角 B θ A O
我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图) F θ S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 定 义 注意:向量的数量积是一个数量。 |a| cosθ(|b| cosθ)叫做向量a在b方向上(向量b在a方向上)的投影。
向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负? 思考: a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ < 90°时a·b为正; 当90°<θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
B b θ A O a B1 是非零向量, 方向相同的 设 单位向量, 的夹角,则 重要性质: 特别地
例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。 解:a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×(-1/2)= -10 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2
的长度 等于 与 B b 的乘积。 θ A O a B1 |b|cosθ a·b的几何意义:
7.对任意向量 a 有 练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. √ 2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a · b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a · b= b · c,则a=c × 6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立. × √
其中, 是任意三个向量, 二、平面向量的数量积的运算律: 数量积的运算律: 注:
证明运算律(3) 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, b a a+b 则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c . c N M O
例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 证明:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b) =(a+b)·a+(a+b)·b =a·a+b·a+a·b+b·b =a2+2a·b+b2.
例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b =a·a+b·a-a·b-b·b =a2-b2.
例4、 的夹角为 解:
C B A O 即 ,∠ACB=90° 3、用向量方法证明:直径所对的圆周角为直角。 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量 ,即 。 解:设 则 , 由此可得: