Gestion du portefeuille 04-05 – Sélection du portefeuille

1. Gestion du portefeuille04-05 – Sélection du portefeuille Université Laval GSF 2101 Chapitre 6 à 8

2. Plan de la séance • Risque et rendement • Courbe d’indifférence • Aversion au risque • Portefeuille • Frontière du portefeuille • Portefeuille optimal • Courbe de marché des capitaux • Allocation du capital • Diversification et risque

3. Risque et rendement • Tout investisseur recherche un rendement élevé sur sa période de placement • Par contre: en placement, un rendement espéré élevé est normalement accompagné de risques élevés. • Problème : • En général, un investisseur aime le rendement mais n'aime pas le risque. • Mais il sait évaluer les deux, donc choisir en maximisant le rendement espéré et minimisant le risque

4. Risque et rendement • Si les rendements futurs d'un titre i sont : • lors le rendement espéré de ce titre est

5. Risque et rendement • Les risques que comportent un titre peuvent être représentés par la variance de ses rendements. • Le symbole s2i est utilisé pour représenter la variance et se calcule comme suit:

6. Risque et rendement • La variance mesure la moyenne des écarts au carré entre chaque rendement probable et le rendement moyen. • Les écarts sont mis au carré afin d'obtenir une mesure pratique tout en évitant les valeurs négatives. • En prenant la racine carrée de la variance, nous obtenons une mesure en %. Nous appelons cette mesure l'écart-type

7. Risque et rendement • Données historiques : • Avec des données historiques, le rendement moyen est calculé de la façon suivante • et l'écart-type est calculé de la façon suivante:

8. Courbe d’indifférence • Définition : • Une courbe d'indifférence est une courbe reliant un ensemble de points dans un plan dont les axes sont le risqued’une part et le rendement d’autre part, entre lesquels un investisseur est indifférent.

9. Courbe d’indifférence • Le rendement espéré d'un actif i est représenté par E[ri], et le risque d'un portefeuille est représenté par l’écart-type de ses rendements, soit si. • Important : • Deux investisseurs peuvent avoir différentes préférences mais deux courbes d'indifférence d'un même individu ne peuvent se croiser. • Plus l’individu est averse au risque, plus la pente est importante (beaucoup plus de rendement pour un peu plus de risque) • Hypothèse de non satiété : plus de rendement est toujours préféré à moins de rendement

10. Courbe d’indifférence E[ri] a b p sri

11. Aversion au risque • Définition : Un investisseur est averse au risque si : E[ra] = E[rb] et sa< sb • Cela implique que l'investisseur préfère a à b. • Sur un plan avec le risque en abscisse et le rendement en ordonnée, pour tout portefeuille p, tous les portefeuilles situés au nord-ouest de p sont préférables à p et tous les portefeuilles situés au sud-est de p lui sont inférieurs

12. Aversion au risque • Définitions : On dit qu'un investisseur est: • Averse au risque si, entre deux actifs ayant le même rendement espéré, il préfère le moins risqué; • Neutre au risque s'il préfère toujours l'actif avec le rendement espéré le plus élevé peu importe le risque; • Amant du risque si, entre deux portefeuilles ayant le même rendement espéré, il préfère celui comportant le plus de risque

13. Portefeuille • Si nous avons un portefeuille de titres, pour estimer le risque de celui-ci, il faut tenir compte de la covariance et des corrélations entre les rendements des titres du portefeuille. • Voici les rendements futurs suivants pour deux titres

14. Portefeuille • La covariance entre deux titres 1 et 2 : • s dénote les différents états qui peuvent survenir dans l'avenir • psreprésente la probabilité de chacun de ces états • L’espérance de rendement : E[r1] = 13.45% et E[r2] = 10.70%

15. Portefeuille • La covariance entre les rendements des titres 1 et 2 est donc

16. Portefeuille • La corrélation entre deux titres se calcule comme suit: • De par sa construction, • Si l'écart-type du titre 2= 11:62%, La corrélation entre les titres 1 et 2 est ainsi

17. Portefeuille • Remarque 1 :

18. Portefeuille • Rendement : • Si un portefeuille p est construit avec les titres 1 et 2 avec les proportions w1 et w2 et w1+w2 = 1, alors le rendement espéréde ce portefeuille est donné par • De la même façon, un portefeuille comprenant n titres avec les proportions w1;w2; …;wnet w1+w2+…+wn = 1,alors

19. Portefeuille • Risque : • Si un portefeuille p est construit avec les titres 1 et 2 avec les proportions w1 et w2 et w1+w2 = 1, alors l’écart-type des rendementsde ce portefeuille est donné par • De la même façon, un portefeuille comprenant n titres avec les proportions w1;w2; …;wnet w1+w2+…+wn = 1,alors

20. Portefeuille • Risque d’un portefeuille de 2 actifs • Si p représente un portefeuille composé des actifs x et y et que wx dénote la proportion investie dans x, alors • Question : • Comment varie sp étant donné wxetrx,y?

22. Inversons les axes

23. Portefeuille • Rendement d’un portefeuille de 2 actifs • Le rendement espéré de p est donné par • Question : • Comment varie E[rp] et rp étant donné wxetrx,y ?

26. Frontière du Portefeuille • Approche de Markowitz: • Étant donnés les rendements, écarts-types et corrélations de tous les titres risqués disponibles sur le marché, nous pouvons construire une frontière du portefeuille, i.e. les limites de l'ensemble de toutes les combinaisons ( sp;E[rp] ) réalisables. • Cette frontière aura la même forme que les courbes tracées précédemment lorsque la corrélation était imparfaite

28. Frontière du Portefeuille • Approche de Markowitz • Seulement la partie supérieure (au-dessus du rendement espéré correspondant au portefeuille ayant le niveau de risque minimal) du graphique précédent nous intéresse. • Cette portion du graphique représente la frontière efficiente du portefeuille. • Chaque point sur la frontière efficiente représente le portefeuille atteignant le rendement espéré le plus élevé pour un niveau de risque donné. • Peu importe leur tolérance au risque, les investisseurs ne devraient détenir que des portefeuilles d'actifs risqués situés sur la frontière efficiente.

30. Frontière du Portefeuille • Remarque : frontière efficiente et courbes d’indifférences • S'il n'existe aucun actif sans risque, les investisseurs se • choisiront différents portefeuilles risqués sur la frontière efficiente. • Le choix de chaque individu s'arrêtera au portefeuille se situant sur la plus haute courbe d'indifférence atteignable

33. Portefeuille Optimal • Qu'arrive-t-il s'il est possible de prêter et d'emprunter à l'aide d'un actif sans risque avec un rendement rf? • Le portefeuille d'actifs risqués est le même pour tous les investisseurs et est représenté par msoit le portefeuille du marché, (marketportfolio). • Le portefeuille optimal du marché m est le portefeuille ayant le ratio de Sharpe le plus élevé

34. Courbe du marché des capitaux - CML • Si le portefeuille m représente le portefeuille détenu par l'investisseur moyen, un portefeuille pondéré selon la capitalisation boursière, alors la droite passant par l'actif sans risque f et le portefeuille m représente la courbe du marché des capitaux (capital market line (CML)). • En théorie, le portefeuille d'actifs risqués de tout investisseur devrait être m et le portefeuille de tout investisseur devrait se situer sur la CML.

36. Allocation du capital • Lorsque le portefeuille de tout investisseur est composé de l'actif sans risque et d'un portefeuille d'actifs risqués dans un monde sans contrainte, le portefeuille d'actifs risqués est le même pour tous les investisseurs. • La tolérance au risque de chaque investisseur détermine quelle proportion du portefeuille est placée dans l'actif sans risqueet dans le portefeuille risqué pour constituer son portefeuille entier • wp dans le portefeuille d'actifs risqués et 1- wpdans l'actif sans risque

37. Courbe d’allocation du capital E[ri] E[rp] Portefeuille risqué p E[rc] Portefeuille entier c rf Titre sans risque sri sp

38. Allocation du capital • La courbe d'allocation du capital (capital allocation line (CAL)) représente toutes les combinaisons risque-rendement qu'un portefeuille constitué de l'actif sans risque et d'un titre risqué peut procurer. • Nous faisons l'hypothèse ici qu'il est possible d'emprunter au taux sans risque afin de placer plus que ce que l'on possède dans le titre risqué

39. Allocation du capital • L'actif sans risque a un rendement espéré rf avec un écart-type sf= 0 et le titre risqué a un rendement espéré E[rp] avec un écart-type sp. • Si la proportion investie dans p est donnée par wp, alors le rendement espéré du portefeuille entier (c) est donné par • et le risque du portefeuille est donné par

40. Allocation du capital • Remarques : • Notez que nous pouvons exprimer wp en fonction de sp et sc: • et nous pouvons décrire le rendement espéré de c de la façon suivante:

41. Allocation du capital • La courbe d'allocation de capital (CAL) • représente toutes le possibilités risque-rendement du portefeuille c. • Cette courbe est une droite ayant rf comme ordonnée à l'origine et une pente de • Le terme est le ratio de Sharpe du portefeuille p, soit le rendement excédentaire par unité de risque de p

42. Allocation du capital • La courbe d'allocation de capital (CAL) • représente toutes le possibilités risque-rendement du portefeuille c. • Cette courbe est une droite ayant rf comme ordonnée à l'origine et une pente de • Le terme est le ratio de Sharpe du portefeuille p, soit le rendement excédentaire par unité de risque de p

43. Courbe d’allocation du capitalEmprunt et placement E[ri] Portefeuille risqué p Portefeuille avec emprunt à rf E[rp] Portefeuille avec placement à rf rf sri sp

44. Courbe d’allocation du capitalEmprunt et placement E[ri] E[rp] rf Portefeuille emprunteur Portefeuille préteur sri sp

45. Courbe d’allocation du capitalEmprunt et placement E[ri] Portefeuille risqué p Portefeuille à remprunt E[rp] r emprunt Portefeuille à rplacement r placement sri sp

46. Diversification et risque • Définitions : • Le risque systématique, de marché ou non diversifiablecorrespond au risque dont on ne peut se débarrasser en mélangeant plusieurs titres ensemble. • Le risque non systématique, unique ou diversifiable correspond au risque qui tend à disparaître quand plusieurs titres sont mélangés ensemble

47. Diversification et Risque Risque sri Risque diversifiable Risque Systématique Nombre d’actions

48. Restrictions du modèle • Restrictions sur les ventes à découvert • Impossibilité d'emprunter au taux sans risque • Taux d'emprunt plus élevé que le taux d'épargne