§12.4 向量组的极大无关组与向量组的秩

极大无关组的定义 • 极大无关组的判定 • 向量组的秩 §12.4向量组的极大无关组与向量组的秩 27 上一页下一页

那么称 是向量组T的一个极大无关组。 *§4 向量组的极大无关组与向量组的秩在第十一章中我们意已讲过了矩阵的概念。它于本节说讲的向量组的极大无关组及向量组的秩有什么联系呢？我们先引入其概念。定义1 设有向量组T，如果 (i) 在T中有r个向量 (ii) T中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。例1 设向量组因线性无关，而线性相关，既有所以是一个极大无关组。同样、也是极大无关组。 □ 由例1可看出，一个向量组的极大无关组有多个，但它们所包含向量的个数却是相同的，即有如下命题成立。命题12。9 在一个向量中，它的所有极大无关组所含向量的个数都相同。证设与都是向量组T的极大无关组。若s≠t，不妨设s＜t，则因为极大无关组，所以每一个都是的线性组合，由§3中的结论三知 28 上一页下一页

是矩阵A的列向量组。由定义知，向量组 必线性相关，这和是极大无关组相关矛盾。所以s=t。 □ 定义2 向量组T的极大无关中所含向量的个数称为向量组T的秩。且规定只含零向量的向量组的秩为0. 现在的问题是:给定一个向量组T我们如何求出T的一个极大无关组以及T的秩呢? 在第十一章的§6节中,我们已介绍了求一个矩阵的方法.为此,我们可以设想把一个向量组T中的向量作为矩阵A的列向量,尔后利用初等行变换把矩阵A化为阶梯形矩阵,那么阶梯形矩阵中非零行的行数r就是矩阵A的秩,也即为向量组T的秩;而所有非零的行所对应的r个向量所组成的向量组,就是矩阵列向量组的一个极大无关组.由此,还要再要证明如下二个命题. 命题12.10 矩阵A的列向量组通过初等行变换不改变相关性. 证设向量T: 若线性相关，即存在不全 29 上一页下一页

为零的一组数 ，使亦即齐次线性方程组有非零解. 上面的齐次线性方程组可写成现设由命题12.1知同解.所以向量组的线性相关性相同. □ 由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.又会命题11.11显然下面的命题成立. 命题12.11 矩阵A的秩=矩阵A向量组的秩=矩阵A行向量组的秩. 例2 设向量组 30 上一页下一页

求向量组的秩及其一个极大无关组,并求出另外的向量由该极大无关组线性表出的表达式.求向量组的秩及其一个极大无关组,并求出另外的向量由该极大无关组线性表出的表达式. 解因为由命题12.11知,向量组的秩等于3,且就是一个极大无关组.下面球关于极大无关组的线性表达式,先令即所以 31 上一页下一页

所以，由 线性表示的表达式唯一. □ 同理可求得 □ 一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯一呢?我们有下面的命题. 命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一. 证设是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意一个向量。若且又有那么因线性无关，则必有即 32 上一页回首页

§12.4 向量组的极大无关组与向量组的秩

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